Вычислительные аспекты теории рядов в опубликованных работах и неопубликованных материалах Леонарда Эйлера

Шухман, Елена Владимировна

автореферат диссертации по истории, специальность ВАК РФ 07.00.10
диссертация на тему: Вычислительные аспекты теории рядов в опубликованных работах и неопубликованных материалах Леонарда Эйлера

Год: 2012
Автор научной работы: Шухман, Елена Владимировна
Ученая cтепень: кандидата физико-математических наук
Место защиты диссертации: Оренбург
Код cпециальности ВАК: 07.00.10

Диссертация по истории на тему 'Вычислительные аспекты теории рядов в опубликованных работах и неопубликованных материалах Леонарда Эйлера'

Полный текст автореферата диссертации по теме "Вычислительные аспекты теории рядов в опубликованных работах и неопубликованных материалах Леонарда Эйлера"

На правах рукописи

Шухмаи Елена Владимировна

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ РЯДОВ В ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТАХ И НЕОПУБЛИКОВАННЫХ МАТЕРИАЛАХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА

Специальность 07.00.10 - История науки и техники

1 (НР 2012

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 2012

005011233

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Оренбургский государственный педагогический университет»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор, Матвиевская Галина Павловна

Официальные оппоненты:

Малых Алла Ефимовна, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Пермский государственный педагогический университет», заведующая кафедрой высшей математики

Петрова Светлана Сергеевна, кандидат физико-математических наук, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, старший научный сотрудник кабинета истории и методологии математики и механики

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет путей сообщения»

Защита состоится 15 марта 2012 г. в 1400 на заседании диссертационного совета Д 002.051.05 при Федеральном научном бюджетном учреждении Институте истории естествознания и техники им. С.И. Вавилова РАН (ИИЕТ) по адресу: 117861, Россия, г. Москва, ул. Обручева, д. 30а, корпус В.

С диссертацией можно ознакомиться в Отделе истории физико-математических наук или Дирекции Федерального научного бюджетного учреждения Института истории естествознания и техники им. С.И. Вавилова РАН.

Автореферат разослан 10 февраля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

Лютер Ирина Олеговна

Общая характеристика работы

Бесконечные ряды в современной математике находят многочисленные применения как универсальный инструмент для представления широкого класса функций, выполнения аналитических преобразований, приближенных вычислений в различных задачах.

В XVIII веке существенный вклад в развитие теории бесконечных рядов внес великий ученый Леонард Эйлер (1707-1783). Работы Эйлера по теории бесконечных рядов достаточно хорошо изучены в историко-математической литературе. Наиболее полно эти вопросы рассмотрены в кандидатской диссертации А.Н. Гусева, в монографиях Дж. Ферраро и B.C. Варадараджа-на. Обзор и классификация работ Эйлера по теории рядов приведены редактором тома 16* полного собрания сочинений Эйлера («Leonhardi Euleri Opera omnia») Г. Фабером. Некоторые результаты Эйлера по теории рядов представлены в трудах У. Данхема, Й. Гофмана, Р. Райфа, Э. Сандифира, М. Клайна. Исследования Эйлера, касающиеся вопросов суммирования рядов, рассмотрены в работах В.В. Лихина, С.С. Петровой и М.В. Чирикова. Использование тригонометрических рядов подробно изучено А. Б. Паплауска-сом, вопросы интерполяции — И.А. Головинским. Работы Эйлера, связанные с дзета-функцией, рекуррентными рядами, непрерывными дробями, рассмотрены В.Д. Павлидис (Горловой). Работы, относящиеся к гамма- и бета-функциям, исследованы И.В. Игнатушиной. Отдельные вопросы теории рядов и ее практического применения в трудах Эйлера описаны в кандидатских диссертациях М.И. Пулатовой и С.И. Черток. Общий обзор применений рядов для приближенных вычислений в работах Эйлера выполнен в кандидатской диссертации Ф.П. Жирнова. Приближенные методы для решения дифференциальных уравнений с помощью рядов рассмотрены в трудах Н.И. Симонова. Приближенные методы математического анализа и вариационного исчисления, в том числе аппроксимация, численное дифференцирование и интегрирование с помощью рядов, изучены Ж.Ю. Личиковой.

щим объемом около 4 ООО страниц, которые хранятся в Санкт-Петербургском филиале Архива РАН (фонд 136, опись 1, №129-140). Записные книжки позволяют восстановить ход рассуждений ученого, проследить процесс возникновения и эволюции идей, установления математических фактов и утверждений, разработки методов решения различных задач, а также уточнить датировку его научных открытий. Исследованиями неопубликованных заметок Эйлера занимались В.И. Смирнов, Г.К. Михайлов, Г.П. Матвиевская, Э. Кноблох и др. Им удалось обнаружить много результатов, которые не отражены в опубликованных работах ученого.

Отметим, что труды Эйлера содержат большое количество вычислительных результатов, которые приведены без строгого доказательства и промежуточных выкладок. Выбирая наиболее эффективные методы вычислений, Эйлер во многом полагался на свою необыкновенную интуицию. В наше время появилась возможность исследовать результаты Эйлера с помощью вычислительной техники. Вычислительный эксперимент позволяет изучить различные методы решения одной и той же задачи, установить причины выбора Эйлером конкретного приема вычислений, объективно сравнить эффективность различных методов, разработанных Эйлером. Исследования результатов Эйлера с помощью вычислительных экспериментов появились только в последнее десятилетие в работах E.H. Осьмовой и В. Гаучи.

Таким образом, актуальность темы исследования определяется тем, что изучение опубликованных работ, писем и заметок из записных книжек Эйлера по теории рядов и ее применению к приближенным вычислениям позволяет проследить развитие идей Эйлера в рассматриваемой области, выявить наиболее эффективные приемы вычислений, которые могут оказаться полезными и в настоящее время, а также обнаружить неопубликованные результаты, принадлежащие ученому.

Объектом исследования выступают опубликованные и неопубликованные материалы Эйлера (труды, письма, записные книжки), связанные с бесконечными рядами.

Предметом исследования является применение рядов для приближенных вычислений в работах Эйлера.

Цель диссертационного исследования состоит в изучении результатов Эйлера, относящихся к вычислительным аспектам теории рядов.

В работе решались следующие задачи:

— обзор истории возникновения и развития теории рядов и ее применения для приближенных вычислений с древнейших времен до середины XVIII в.;

— исследование основных достижений Эйлера в области теории бесконечных рядов по его опубликованным и неопубликованным материалам;

— изучение опубликованных и неопубликованных материалов Эйлера, связанных с применением рядов для приближенных вычислений значений интегралов, решений обыкновенных и дифференциальных уравнений, значений трансцендентных функций и математических констант.

Метод исследования основан на историко-научном и математическом анализе опубликованных сочинений Эйлера, его переписки, а также неопубликованных заметок из его записных книжек. Для анализа результатов Эйлера, связанных с точностью вычислений, и сравнения эффективности разработанных им численных методов использовался вычислительный эксперимент.

Научная новизна работы состоит в том, что:

во-первых, впервые в историко-математической литературе достаточно полно исследованы опубликованные и неопубликованные результаты Эйлера, включая ранее не описанные заметки из его записных книжек, связанные с формулой суммирования Эйлера-Буля, эйлеровыми произведениями, методами вычисления логарифмических и тригонометрических функций, констант 7Г, е, Эйлера-Маскерони 7 и Эрдёша-Борвейна а, что позволило уточнить датировки, восстановить вывод некоторых результатов, а также установить приоритет Эйлера в их открытии;

во-вторых, впервые проведено исследование с помощью вычислительного эксперимента абсолютной погрешности различных разложений, использованных Эйлером для вычисления констант 7Г и 7, причем большая часть экспериментальных результатов подтверждена строгими доказательствами.

Практическая значимость результатов диссертационной работы заключается, прежде всего, в том, что они могут служить основой для дальнейших исследований результатов Эйлера с помощью вычислительного эксперимента. Такие исследования могут выполняться студентами в рамках учебных курсов по вычислительной математике. Кроме того, результаты исследования дают новый материал для курсов по истории математики, могут использоваться при написании учебников по истории методов вычислений, теории рядов и т.д.

Основные положения, выносимые на защиту:

— Важнейшим достижением Эйлера в теории рядов стало открытие формул суммирования, которые нашли широкое применение в приближенных вычислениях, прежде всего, для оценки остатков в вычислительных формулах. Ранее неисследованные заметки из записных книжек ученого, относящиеся к выводу и применению формулы суммирования Эйлера-Буля, позволили установить приоритет Эйлера в открытии важных комбинаторных соотношений: рекуррентного правила для вычислений чисел Эйлера I рода в треугольнике Эйлера, а также связи многочленов Эйлера с производящей функцией для последовательности степеней.

— Эйлер широко использовал бесконечные произведения и непрерывные дроби в тесной связи с рядами. С бесконечными произведениями связаны его важнейшие открытия в теории рядов: вычисление точных значений рядов обратных четных степеней, пентагональная теорема, тождество для дзета-функции. Записные книжки включают тождества, не вошедшие в опубликованные работы, в частности, эйлеровы произведения, соответствующие всем вполне мультипликативным функциям по модулю 8.

— Эйлер усовершенствовал способы вычисления приближенного значения п с помощью рядов для арктангенса. Он предложил новый ряд для вычисления арктангенса, который для небольшого числа суммируемых членов дает ббльшую погрешность, но в пределе имеет лучшую сходимость, чем ряд Грегори-Лейбница. Эйлер вывел несколько общих тождеств для представления арктангенсов в виде суммы арктангенсов меньших аргументов, получил конкретные разложения, удобные для вычислений значения п, в том числе некоторые неопубликованные им тождества, которые были переоткрыты значительно позже и использовались для вычисления 7г в XIX и XX вв. Кроме того, с помощью формулы суммирования Эйлер получил асимптотический обвертывающий ряд для вычисления 7Г.

— Для вычисления константы е Эйлер использовал как, известное еще Ньютону, разложение ех в степенной ряд, так и несколько непрерывных дробей, а также последовательность рациональных приближений, полученных им на основе дробно-рациональных приближений (диагональных аппроксимаций Паде) для функции е1. Используя аппарат непрерывных дробей, Эйлер доказал иррациональность константы е и ее некоторых степеней. Неопубликованное разложение в ряд е31081111 позволило Эйлеру вычислить приближенное значение константы Гельфонда е7Г.

- Эйлер впервые в истории математики рассмотрел константу Эйлера-Маске-рони 7, вычислил ее приближенное значение с точностью до 15 десятичных цифр после запятой, открыл множество тождеств, связывающих значение константы со значениями сумм обратных степеней. Вычислительный эксперимент подтвердил, что Эйлер использовал для вычисления 7 наиболее быстро сходящийся ряд.

- Эйлер стал первым математиком, который исследовал константу

с»

Эрдёша-Борвейна а = £ ^¿г Не позднее 1737 г. Эйлер нашел основные

П=1

тождества для вычисления этой константы, что позволило определить ее значение с точностью до 15 десятичных цифр после запятой.

- Эйлер впервые строго доказал единственность представления натурального числа в двоичной системе счисления с помощью рядов и бесконечных произведений, использовал алгоритм перевода десятичных дробей в недесятичные, применял запись чисел в системах счисления с основаниями 2 и 24, обозначая в последнем случае цифры латинскими буквами, как это принято в настоящее время.

Апробация результатов диссертационного исследования. Основные результаты докладывались автором на семинарах по истории математики Оренбургского педагогического университета (2006-2011 гг.); всероссийской научно-практической конференции «Математика. Информационные технологии. Образование» (Оренбург, 2006 г., 2008 г., 2011 г.); международной научной конференции «Леонард Эйлер и современная наука» (Санкт-Петербург, 2007 г.); международной научной конференции «Проблемы историко-научных исследований в математике и математическом образовании» (Пермь, 2007г.); 5-ых Международных Колмогоровских чтениях (Ярославль, 2007 г.); 19-ой международной научной конференции им. академика М.Кравчука (Киев, 2008 г.); международной научной конференции «Современная математика и математическое образование, проблемы истории и философии математики» (Тамбов, 2008 г.); семинаре по истории и методологии математики и механики Московского государственного университета (Москва, март и ноябрь 2011 г.); V международной научной конференции «Математика. Образование. Культура.» (Тольятти, 2011 г.); межрегиональной научно-практической конференции молодых ученых Оренбургской области (Оренбург, 2011 г.). По теме диссертационного исследования автором опубликовано 18 работ общим объемом 5,9 п.л., в том числе 5 в журналах из перечня ВАК («История науки и техники» и «Вестник Оренбургского государственного университета»)

объемом 2,4 п.л.

Структура диссертации. Диссертация общим объемом 185 с. состоит из введения, трех глав, заключения, списка отечественных и зарубежных источников, содержащего 215 наименований, а также приложения, которое содержит копию статьи Я.В. Успенского «Об асимптотическом ряде Эйлера» («Sur une série asymptotique d'Euler»).

Содержание и основные результаты работы

Во Введении обоснована актуальность темы исследования, приведен обзор источников по проблеме исследования, сформулирована цель и задачи диссертации, показана научная новизна и практическая значимость полученных результатов, приведены выносимые на защиту научные положения, представлены сведения об апробации результатов, объеме и структуре диссертации.

Первая глава («Возникновение, становление и развитие теории бесконечных рядов до середины XVIII в.») состоит из двух разделов. В первом разделе исследован ранний период развития теории бесконечных рядов до середины XVII в., и показано, что на протяжении многих веков ее становление было обусловлено, прежде всего, возрастающими потребностями эффективных вычислений для решения прикладных математических задач. Математики Древней Греции и арабского Востока применяли ряды для вычисления площадей фигур и объемов тел. В XV-XVI вв. индийские математики получили разложения тригонометрических функций в степенные ряды и смогли вычислить отношение длины окружности к ее диаметру с точностью до семнадцати десятичных цифр. В XVII в. ряды стали применяться для приближенного выражения логарифмов (В. Броункер, Н. Меркатор) и тригонометрических функций (Дж. Грегори). В это же время были сформулированы основные понятия теории рядов: сходимость, расходимость и остаток ряда (П. Менголи).

Во втором разделе рассмотрены достижения в теории рядов в конце XVII-начале XVIII вв. Большой вклад в теорию рядов внесли создатели дифференциального и интегрального исчисления И. Ньютон (получил разложение степени бинома, предложил методы обращения рядов и других преобразований) и Г. Лейбниц (установил связь с бесконечными рядами общих задач анализа, открыл признак сходимости знакочередующихся рядов с мо-

нотонно убывающими и стремящимися к нулю членами, получил множество разложений иррациональных функций в ряды, применил ряды для решения дифференциальных уравнений). Отдельные признаки сходимости рядов были разработаны Я. Бернулли и И. Бернулли. Общий метод для разложения дифференцируемой функции в ряд был впервые опубликован Б. Тейлором, хотя в XX веке было установлено, что аналогичные формулы встречались в рукописях Дж. Грегори и И. Ньютона. Теория рекуррентных рядов была разработана А. де Муавром. Некоторые методы суммирования рядов предложены X. Гольдбахом и Дж. Стирлингом. К. Маклорен показал однозначность разложения в ряд Тейлора, обосновал интегральный признак сходимости рядов, а также вывел общую формулу суммирования рядов.

Вторая глава («Вклад Эйлера в теорию рядов») посвящена исследованию опубликованных работ и неопубликованных материалов Эйлера по теории рядов.

В первом разделе показано, что Эйлер использовал понятийный аппарат теории рядов, практически эквивалентный современному, однако многие понятия теории рядов в его работах использовались без явного определения. Эйлер придерживается алгебраической трактовки ряда как математического объекта, для которого определены различные формальные операции (без исследования вопросов сходимости).

Впервые в истории математики в мемуаре 1731 г. Е201 «Суммирование бесчисленных прогрессий» Эйлер дает строгое определение частичной суммы ряда, которую называет суммационным членом. Отметим, что суммаци-онный член ряда по Эйлеру — более общее понятие, чем современное понятие частичной суммы ряда, поскольку он рассматривал не только целые значения индексов, но и дробные, а также иррациональные.

В диссертации рассмотрены предложенные Эйлером некоторые критерии сходимости, известные в современной математике, в частности, аналоги принципа сходимости Больцано-Коши, интегрального признака Коши-Мак-лорена, признака сравнения знакоположительных рядов, а также необходимое условие сходимости ряда.

Важным вкладом Эйлера в теорию рядов стало понятие обобщенной суммы ряда, приведенное впервые в письме к X. Гольдбаху от 7 августа 1745 г. как «конечного выражения, из разложения которого возникает ряд».

1 Здесь и далее для работ Эйлера указывается год представления статьи и ее порядковый номер в библиографическом списке Г. Энестрёма.

Эйлер также занимался исследованием двойных рядов: в статье 1771 г.

Е477 «Размышления о происхождении особенного ряда» ввел двойную дзета-

функцию С(т,п) = ^ и получил большое количество тождеств для

введенного двойного ряда.

Во втором разделе приведены примеры использования Эйлером таких операций над рядами, как подстановка, арифметические действия, вычисление иррациональных функций от членов ряда, перестановка и группировка членов, дифференцирование и интегрирование. Понятия абсолютной и равномерной сходимости не были известны Эйлеру, указанные действия часто выполнялись с условно сходящимися и расходящимися рядами.

В третьем разделе рассмотрены основные результаты Эйлера, связанные с интерполированием рядов. Уже в самой ранней работе по теории рядов 1729 г. Е19 «О трансцендентных последовательностях, то есть таких, что общий член не может быть выражен алгебраически» Эйлер получил интегральное представление для члена последовательности факториалов п\ = 1

= /(—1пх)"йх, которое легло в основу теории гамма-функции. В «Диффе-о

ренциальном исчислении» (1755 г.) Эйлер рассмотрел общую задачу интерполирования как поиска члена ряда, соответствующего дробному или даже иррациональному индексу, и получил общие интерполяционные формулы для рядов и бесконечных произведений.

В четвертом разделе изучены различные методы суммирования расходящихся рядов, предложенные Эйлером, в том числе с использованием производящей функции, преобразования рядов с помощью подстановок, поиска суммы в виде решения дифференциального уравнения, а также поиска суммы в виде непрерывной дроби.

В пятом разделе рассмотрено открытие Эйлером формул суммирования (в настоящее время называемых формулами Эйлера-Маклорена и Эйлера-Буля), позволяющих получать удобные для вычислений асимптотические ряды, а также оценивать точность расчетных формул.

Формула суммирования Эйлера-Маклорена была впервые представлена в статье 1732 г. Е25 «Общий метод суммирования прогрессий» в виде: я = / Ь йп + \ + ^ - + зоной.*' - • • где « обозначает общий член ряда, соответствующий номеру п, а « — частичная сумма первых тг членов. В более поздних работах Эйлер установил связь коэффициентов в формуле суммирования с числами Бернулли, вычислил их значения вплоть до тридцатого

коэффициента 86158^76005, применил формулу для вычисления сумм рядов обратных степеней от 2 до 15, частичных сумм гармонического ряда, ряда логарифмов, показательных и тригонометрических функций. Также он показал, что ряд в формуле суммирования в общем случае расходится, но часто получается хорошее приближение, если оборвать вычисления на члене, наименьшем по абсолютной величине (это правило верно для обвертывающих рядов). Таким образом, Эйлер понимал особенности применения асимптотических обвертывающих рядов для приближенных вычислений, несмотря на отсутствие четкого определения обвертываемости и асимптотичности.

Важным открытием Эйлера стала также другая формула суммирования, которая в настоящее время называется формулой суммирования Эйлера-Буля. Впервые эта формула получена Эйлером в статье 1736 г. Е55 «Усовершенствованный общий метод суммирования рядов» и более подробно исследована в «Дифференциальном исчислении» (1755 г.). Общая формула для частичной суммы ряда 5, у которого член с номером х имеет вид грс, записывается следующим образом:

5 _ _ ар*+1 йг сРг _ 7рГ+1 сРг 6рх+1 о"г _ ерх+1 <Рг

р— 1 р — I с1х р— 1 ¿х2 р — 1 йх3 р — 1 ёх4 р — 1 йхь " '

Глс д _ ,1 /Ч__Е±1 рЧ4р+1 г _ рЧ11р'+11р+1

ГДе " - Р ~ 1-2(р-1)2> ' ~ 1-2-3(р—I)3' 0 _ 1-2-3-4(р—I)4 И Т-Д-

Многочлены, стоящие в числителях выражений а, ¡3,7,... в формуле Эйлера-Буля, в современной комбинаторике называют многочленами Эйлера, а их коэффициенты — числами Эйлера I рода. В диссертации рассмотрены ранее не изученные заметки из записных книжек, связанные с формулой суммирования Эйлера-Буля и ее частным случаем для знакопеременных рядов. Так, на л. 43 об. записной книжки №131 Эйлер приводит не вошедшие в опубликованные работы рекуррентное соотношение для чисел Эйлера I рода Е{1,з) = Е{1 — 1, л') • ] + Е(г — 1,— 1) • (г — и представление результатов вычислений в виде треугольной таблицы, которую в современной литературе называют «треугольник Эйлера». Здесь же он получил общее выражение для многочленов Эйлера: Л„(п) = (1 - п)"+1(п + 2"п2 + 3уп3 + 4V + 5V + ...),

оо

устанавливающее их связь с производящей функцией ^ купк для последовательности степеней 1V,2V,3V,... Заметки на л.144 об. — 145 об. записной книжки №131 позволили полностью восстановить ход рассуждений Эйлера при оценке остатка ряда аг^ ^ = ^ — ¿¡р + ф — ^ + • ■ • с помощью формулы суммирования Эйлера-Буля, не вошедший в опубликованные мемуары.

В работу 1738 г. Е74 «О различных методах выражения квадратуры круга приближенными числами» Эйлер включил только окончательный результат: остаток ряда после суммирования п членов не превосходит ¿¡„-^„(х+р^+р*-!)-

В шестом разделе представлены результаты Эйлера, относящиеся к использованию бесконечных произведений в тесной связи с рядами для представления функций, интегралов и трансцендентных констант, решения комбинаторных задач. Подробно описаны заметки из его записных книжек, связан-

00 / \

ные с эйлеровыми произведениями вида —д-у- = . > гДе Р ~~ простое

р -1

число, а с — вполне мультипликативная функция натурального аргумента. Были обнаружены несколько тождеств, не вошедших в опубликованные работы Эйлера, в частности, на л. 90 - 90 об. записной книжки №132 представлены все возможные эйлеровы произведения, соответствующие вполне мультипликативным функциям по модулю 8, в том числе и позже переоткрытое П. Дирихле разложение: ^1п(ЬИ/2) = =

— 35711131719232931 ~ 4 ' 6 ' 6 ' 12 ' 14 ' 16 ' 20 ' 22 ' 30 ' 30 ' - ' "

В третьей главе диссертации («Применение бесконечных рядов в опубликованных и неопубликованных работах Эйлера») выполнен анализ разнообразных применений рядов для приближенных вычислений в опубликованных и неопубликованных материалах Эйлера.

В первом разделе исследованы применения рядов для вычисления неопределенных интегралов (в случаях, когда интеграл не может быть выражен аналитически), для приближенного вычисления определенных интегралов, вычисления несобственных интегралов, решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. В основном, Эйлер либо заменял в выражениях функцию на бесконечный ряд, либо представлял в виде ряда результат и применял метод неопределенных коэффициентов. Эйлер использовал как степенные, так и тригонометрические ряды, а для решения уравнений в частных производных — ряды из производных произвольной функции.

Во втором разделе показано, что Эйлер изучил, обосновал и максимально обобщил методы приближенного решения уравнений с одной переменной с помощью рядов, разработанные ранее И. Ньютоном и Д. Бернулли.

В третьем разделе рассмотрены применения рядов для приближенных вычислений трансцендентных функций. На основе разложения 1п(1+а:) в ряд Тейлора в точке нуль Эйлер получил удобное для вычислений логарифмов

тождество = у + + + + В записной книжке Эйлера №130 обнаружены ранее не описанные заметки, в которых эта формула применена для вычисления натуральных логарифмов всех простых чисел от 2 до 109. Ме-муар 1739 г. Е128 «Метод, облегчающий подсчет синусов и тангенсов углов, как естественных, так и искусственных» Эйлер полностью посвятил выводу удобных расчетных формул для приближенного вычисления тригонометрических функций и их логарифмов. Аналогичные выкладки обнаружены на страницах его записной книжки №131.

В четвертом разделе исследованы материалы Эйлера, связанные с вычислением приближенного значения тг. Он предложил ряд для вычисления

, з

арктангенса: аг^ £ = -^—р

1 д. 2 ( \ , 24 ( «г У , 24^ ( I2 V А 3 ) 3 5 ) 3 5-7 )

имеющий, начиная с некоторого члена, зависящего от меньшую погрешность, чем ряд Грегори-Лейбница: аг^ Ь — Ь — ^ + ^ — у +... В диссертации проведено экспериментальное сравнение точности этих рядов, которое подтвердило все утверждения Эйлера относительно количества суммируемых членов, достаточного для достижения заданной точности вычислений. Получены оценки сверху и снизу для остатков рядов, выведены достаточные условия для определения интервалов, в которых большую точность дает каждый из этих рядов.

Для уменьшения объема вычислений Эйлер вслед за Дж. Мэчином предложил представлять арктангенсы в виде суммы арктангенсов меньших аргументов. В нашем исследовании были впервые систематически описаны заметки из записных книжек Эйлера, касающиеся вычисления числа тт с помощью таких представлений. Некоторые тождества не вошли в опубликованные работы ученого. Так, разложения | = аг^ | + ап^ | + аг^ | и | = 3 аг^ | + аг^ ^ + аг^ были переоткрыты значительно позже другими математиками и использовались для вычисления тг в XIX и XX вв. Ранее не исследованные заметки на л. 135 записной книжки №137 позволяют утверждать, что результаты, опубликованные лишь в 1862 г. в работе Е809 «Ряды, наиболее удобные для приближенного нахождения квадратуры круга», были получены Эйлером в 1760-1764 гг.

В «Дифференциальном исчислении» (1755 г.) Эйлер приводит асимптотический ряд (полученный с помощью формулы суммирования): тг = 4

+ рр+4 5^+9 + + + п + ТГ* ~ зШ? + + ••• - е2»"-1 > ГДе П ~~

фиксированное натуральное число, а Дь — числа Бернулли. Он высказал без строгого доказательства несколько утверждений о количестве суммируемых

членов этого ряда для получения необходимого количества верных цифр в значении 7г, которые были экспериментально подтверждены в диссертации. На основе выражения для оценки остатка в формуле суммирования доказана обвертываемость ряда с постоянной обвертывания |\/2. Доказательство строгой обвертываемости обсуждаемого ряда, не использующее формулу суммирования, представлено в малоизвестной работе Я.В. Успенского «Об асимптотическом ряде Эйлера», опубликованной в 1912 г. и приведенной в приложении к диссертации. В записных книжках Эйлера найдены два способа вывода асимптотического разложения для п.

В конце четвертого раздела рассмотрено развитие методов вычисления 7Г со времен Эйлера до наших дней.

В пятом разделе рассмотрены опубликованные и неопубликованные материалы Эйлера, относящиеся к вычислению константы е с помощью рядов и непрерывных дробей. Используя аппарат непрерывных дробей, Эйлер доказал иррациональность константы е и ее некоторых степеней. Кроме того, в диссертации впервые описано использование Эйлером в работе 1772 г. Е450 «Новые отношения, дающие приближение иррациональных величин» рациональных приближений для константы е, полученных на основе дробно-рациональных приближений (представляющих собой диагональные аппроксимации Паде) для функции е* « §±f « » Igiggggg и

~ 1680-840x+180xä-20x4^ ~ " ■ ' РаНев считалось, ™ Впервые Дробно-рациональные приближения для экспоненциальной функции были получены Ж.Г. Дарбу в 1876 г. На л. 206 об. записной книжки №131 обнаружена неопубликованная заметка с разложением в ряд earcsmx, с помощью которого Эйлер вычислил приближенное значение константы Гельфонда е*.

В шестом разделе выполнено систематическое описание опубликованных работ Эйлера и заметок из записных книжек, имеющих отношение к вычислению константы Эйлера-Маскерони у = lim 1 + | + + ^ — lnn =

n-voo п

= 0,5772156649... Эйлер впервые ввел эту константу при изучении частичных сумм гармонического ряда, вычислил ее приближенное значение с точностью до 15 десятичных цифр после запятой с помощью формулы суммирования, а также открыл множество тождеств, связывающих значение константы со значениями сумм рядов обратных степеней. Экспериментальное сравнение точности рядов для вычисления константы при одинаковом числе суммируемых членов подтвердило, что Эйлер использовал для вычислений наиболее быстро сходящийся ряд: 1 — 1п§—у = (С(3) — + (((5) — 1) +

+ тЫС(7)-1) + ...

В седьмом разделе показано, что Эйлер впервые рассмотрел константу

оа

Эрдёша-Борвейна а = £ —гг ~ 1,60669515241527 как пример трансцендент-

П=1

ного числа, которое не выражается через определенные интегралы от элементарных функций (предполагаются рациональные пределы интегрирования), и вычислил ее значение с точностью до 15 десятичных цифр после запятой. На основе изучения записных книжек и писем Эйлера установлено, что он не позднее 1737 г. нашел все основные тождества для вычисления константы:

00 00 ОО 00 00 . .

а = Е = Е Ег^ = 1+Е 2"(2"-1) = Е где d(n) - количе-

Л=1 Ш=1 П=1 П=1 П=1

ство натуральных делителей п. В работе 1775 г. Е565 «О наиболее трансцендентных количествах, которые не выражаются интегральными формулами» Эйлер выдвинул гипотезу о трансцендентности более общего выражения ви-

оо

да ^гг^! гДе х ^ 0, а > 1. Иррациональность таких чисел была доказана

п=0

П. Борвейном в 1987 г., вопрос об их трансцендентности остается открытым.

В восьмом разделе изучены результаты Эйлера в области недесятичных систем счисления. С помощью рядов и бесконечных произведений во «Введении в анализ бесконечных» (1748 г.) Эйлер впервые строго доказал единственность представления натурального числа в двоичной системе счисления. В диссертации впервые описана заметка на л. 208 об. записной книжки №131, включающая перевод числа 7Г, выписанного с 12 знаками после запятой, в двоичную систему счисления 7г и 11,00100100001111110110101001111010102. Здесь же Эйлер представляет это число в системе счисления с основанием 24: с, ciniaalla = З+^+^+^+^т+..., обозначая цифры латинскими буквами о = 1, Ь = 2, с = 3,... Ниже, видимо вспомнив про то, что необходим символ для обозначения нуля, Эйлер выписывает обозначения а— 0,6 = 1,с = 2,... и переводит в 24-ричную систему счисления число 1745ю =

В заключении обобщены результаты исследования и сделаны выводы, подтверждающие положения, выносимые на защиту.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Изучен исторический процесс возникновения и развития теории рядов с древнейших времен до середины XVIII в., обусловленный, прежде всего, возрастающими потребностями эффективных вычислений для решения прикладных математических задач.

2. На основе анализа опубликованных трудов, переписки и рукописных материалов Эйлера систематизированы и проанализированы с современной

точки зрения его результаты, связанные с теорией и вычислительными применениями бесконечных рядов.

3. Систематизированы и исследованы заметки из записных книжек Эйлера, включая ранее не описанные, связанные с формулами суммирования, бесконечными произведениями, методами вычисления логарифмических и тригонометрических функций, а также математических констант с помощью рядов.

4. Проведено исследование с помощью вычислительного эксперимента абсолютной погрешности различных разложений в ряды, использованных Эйлером для вычисления математических констант, а также подтверждены все высказанные им утверждения о количествах суммируемых членов рядов, необходимых для получения заданной точности вычислений.

5. Обоснованы оценки остатков рядов для вычисления арктангенса, подтверждающие результаты вычислительного эксперимента, доказана обвертыва-емость асимптотического ряда Эйлера для вычисления 7Г.

6. Определена более точная датировка получения некоторых результатов Эйлера, связанных с вычислением математических констант, и восстановлен ход рассуждений Эйлера при оценке остатка ряда для агЫ£ К

7. Впервые в историко-математической литературе установлен приоритет Эйлера в:

— открытии рекуррентного правила для вычислений чисел Эйлера I рода в треугольнике Эйлера, связи многочленов Эйлера с производящей функцией для последовательности степеней;

— полном исследовании всех возможных эйлеровых произведений, соответствующих вполне мультипликативным функциям по модулю 8;

— открытии некоторых разложений арктангенса на сумму арктангенсов меньших аргументов, которые широко применялись для вычисления значения 7г в XIX и XX вв.;

— получении диагональных аппроксимаций Паде для экспоненциальной функции и вычислении приближенного значения константы Гельфон-да е";

— исследовании константы Эрдёша-Борвейна и выводе основных тождеств для её вычисления;

— использовании алгоритма перевода десятичных дробей в недесятичные системы счисления, аналогичного современному.

Основные результаты диссертационного исследования отражены в

следующих публикациях автора

Статьи в журналах из перечня ВАК:

1. Вклад Леонарда Эйлера в создание теории суммирования расходящихся рядов// История науки и техники. — 2007. — №9. — С. 2-7.

2. Приближенное вычисление числа пи с помощью ряда для аг^ х в опубликованных и неопубликованных работах Леонарда Эйлера // История науки и техники. - 2008. - №4. - С. 2-17.

3. Об оценке остатка асимптотического ряда для вычисления числа 7г, предложенного Л. Эйлером // История науки и техники. — 2009. — №10. — С. 2-7.

4. Приближенное вычисление некоторых математических констант в опубликованных и неопубликованных работах Л. Эйлера // Вестник Оренбургского государственного университета. — 2010. — №9. — С. 74-80.

5. Неопубликованные заметки Леонарда Эйлера, связанные с формулой суммирования Эйлера-Буля. // Вестник Оренбургского государственного университета. - 2011. - №4. - С. 219-222.

Другие публикации:

6. Обзор различных методов вычисления сумм бесконечных расходящихся рядов в работах Л. Эйлера //Математика. Информационные технологии. Образование / Материалы региональной научно-практической конференции в двух частях. 4.1 - Оренбург: ГОУ ОГУ, 2006. - С. 235-237.

7. Методы суммирования бесконечных расходящихся рядов в работах Л. Эйлера // Леонард Эйлер и современная наука. Материалы международной научной конференции. - СПб.: РАН, 2007. - С. 201-205.

8. О выводе Л. Эйлером расчетных формул для определения приближенных значений тригонометрических функций// Проблемы историко-научных исследований в математике и математическом образовании. Материалы международной научной конференции. — Пермь: ПГПУ, 2007. — С. 122-126.

9. Предпосылки возникновения теории бесконечных рядов // Вестник Оренбургского государственного педагогического университета. — 2007.— №4. — С. 18-26.

10. Об истории вывода расчетных формул для значений тригонометрических функций в работах Л. Эйлера// Труды 5-ых Колмогоровских Чтений. — Ярославль: ЯрГПУ, 2007. - С. 325-329.

11. Заметки Л. Эйлера о недесятичных системах счисления // Дванадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, 15-17 трав., 2008 p., Київ: Матеріали конф. — К.: TOB «Задруга», 2008. — С. 282. (соавт. Шухман А.Е.)

12. О некоторых способах вычисления числа ж в работах Л. Эйлера // Дваг надцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, 15-17 трав., 2008 p., Київ: Матеріали конф. — К.: TOB «Задруга», 2008. — С. 283.

13. Вычисление числа пи с помощью разложений для арктангенса в записных книжках Леонарда Эйлера // Современная математика и математическое образование, проблемы истории и философии математики: Международная научная конференция, Тамбов, 22-25 апреля 2008 г.— Тамбов: Изд-во Першина Р.В., 2008,- С. 160-163.

14. Вычисление константы Эйлера-Маскерони с помощью бесконечных рядов в работах Леонарда Эйлера // Математика. Информационные технологии. Образование. Сборник научных трудов. — Оренбург: ОГУ, 2008. — С. 148-152.

15. Заметки о недесятичных системах счисления в опубликованных работах и записных книжках Леонарда Эйлера // Математика в высшем образовании - 2008.- №6. - С. 143-146. (соавт. Шухман А.Е.)

16. Некоторые неопубликованные заметки Эйлера о бесконечных произведениях // Математика и ее приложения: сборник трудов V Международной научной конференции «Математика. Образование. Культура.» (к75-летию В.М. Монахова), 26-28 апреля 2011 г., Россия, г. Тольятти, часть 1 — Тольятти: ТГУ, 2011. - С. 90-93.

17. О вычислении константы е в работах Леонарда Эйлера // Математика. Информационные технологии. Образование: материалы III Всероссийской научно-практической конференции, Оренбург, 8-9 декабря 2011 г. [Электронный ресурс] — Оренбург: Руссервис, 2011. — электрон, опт. диск (DVDROM) - ISBN 978-5-904627-21-8. - 9 с.

18. Об обвертываемости асимптотического ряда для вычисления тг, предложенного Леонардом Эйлером. // Математика. Информационные технологии. Образование: материалы III Всероссийской научно-практической конференции, Оренбург, 8-9 декабря 2011 г. [Электронный ресурс] — Оренбург: Руссервис, 2011. - электрон, опт. диск (DVD-ROM) - ISBN 978-5-904627-21-8. -7 с.

Подписано в печать 03.02.2012 г. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз.

ФГБОУ ВПО «Оренбургский государственный педагогический университет» 460844, г.Оренбург, ул. Советская, 19.

Текст диссертации на тему "Вычислительные аспекты теории рядов в опубликованных работах и неопубликованных материалах Леонарда Эйлера"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

61 12-1/551

На правах рукописи УДК 512(091)

ШУХМАН Елена Владимировна

07.00.10 - История науки и техники ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель

доктор физико-математических наук,

профессор Г.П. Матвиевская

Оренбург - 2012

Содержание

Введение .................................................4

Глава 1. Возникновение, становление и развитие теории бесконечных рядов до середины XVIII в........................................11

1.1. Возникновение и становление теории бесконечных рядов до середины XVII в..............................................................11

1.2. Развитие теории бесконечных рядов в конце XVII - начале XVIII

вв................ ............ ..................18

Глава 2. Вклад Эйлера в теорию рядов..................................25

2.1. Определение основных понятий теории бесконечных рядов в работах Эйлера ...................................27

2.2. Основные операции над рядами в работах Эйлера ......... 38

2.3. Интерполирование рядов............................41

2.4. Суммирование расходящихся рядов..................................46

2.5. Формулы суммирования ..........................51

2.6. Связь рядов с бесконечными произведениями......................68

Глава 3. Применение бесконечных рядов в опубликованных и неопубликованных работах Эйлера...................................80

3.1. Применение рядов для вычисления значений интегралов и решения дифференциальных уравнений........................80

3.2. Вычисление корней уравнений с помощью рядов ......... 84

3.3. Приближенные вычисления значений функций....................86

3.4. Приближенное вычисление числа 7г..................................95

3.4.1. Приближенное вычисление числа 7г с помощью ряда для аг^ж ..........................................................95

3.4.2. Вычисление числа 7г с помощью формулы суммирования

Эйлера-Маклорена......................117

3.4.3. Современные методы вычисления 7г............125

3.5. Приближенное вычисление числа е.................127

3.6. Приближенное вычисление константы

Эйлера-Маскерони 7 .........................137

3.7. Приближенное вычисление константы

Эрдёша-Борвейна ...................................147

3.8. Применение рядов для изучения не десятичных систем счисления 155

Заключение...................................159

Список использованных источников...................167

Приложение. Копия статьи Я.В. Успенского «Об асимптотическом ряде Эйлера».......................................185

Введение

В XVIII веке существенный вклад в развитие теории бесконечных рядов внес великий ученый Леонард Эйлер (Leonhard Euler, 1707-1783), ставший одним из создателей современного математического анализа, дифференциальной геометрии, теории функций комплексного переменного, теории чисел, комбинаторики, вариационного исчисления. Эйлер активно исследовал бесконечные ряды всеми доступными в то время методами. Он нашел некоторые общие и частные методы суммирования рядов, ввел понятие обобщенной суммы ряда, получил формулы для коэффициентов тригонометрических рядов, изучил множество применений бесконечных рядов для интерполирования, представления функций,приближенных вычислений значений трансцендентных функций и констант, поиска корней уравнений, численного интегрирования и дифференцирования, решения дифференциальных уравнений. Эйлер применял ряды для решения задач из геометрии, комбинаторики, теории чисел, механики и астрономии. Разработанные им основы теории рядов и методы их использования в различных областях науки актуальны и в наши дни.

Работы Эйлера по теории бесконечных рядов достаточно хорошо изучены в историко-математической литературе. Наиболее полно эти вопросы рассмотрены в кандидатской диссертации А.Н. Гусева [19], в монографиях Дж. Ферраро (G. Ferraro) [171] и B.C. Варадараджана (V.S. Varadarajan) [6]. Обзор и классификация работ Эйлера по теории рядов приведены редактором тома 16* полного собрания сочинений Эйлера («Leonhardi Euleri Opera omnia») Г. Фабером (G. Faber) [168]. Некоторые результаты Эйлера по теории рядов представлены в трудах У. Данхема (W. Dunham) [122], Й. Гофмана (J.E. Hofmann) [182], Р. Рай-фа (R. Reiff) [201], Э. Сандифира (Е. Sandifier) [204], М. Клайна (М. Kline) [186]. Исследования Эйлера, касающиеся вопросов суммирования рядов, рассмотре-

ны в работах В.В. Лихина [39-41], С.С. Петровой [68, 70] и М.В. Чирикова [86]. Использование тригонометрических рядов подробно изучено A.B. Паплауска-сом [66], вопросы интерполяции — И.А. Головинским [13-15]. Работы Эйлера, связанные с дзета-функцией, рекуррентными рядами, непрерывными дробями, рассмотрены В.Д. Павлидис(Горловой) [17, 60-62]. Работы, относящиеся к гамма- и бета-функциям, исследованы И.В. Игнатушиной [28-31]. Отдельные вопросы теории рядов и ее практического применения в трудах Эйлера описаны в кандидатских диссертациях М.И. Пулатовой [73] и С.И. Черток [85]. Общий обзор применений рядов для приближенных вычислений в работах Эйлера выполнен в кандидатской диссертации Ф.П. Жирнова [23]. Приближенные методы для решения дифференциальных уравнений с помощью рядов рассмотрены в трудах Н.И. Симонова [76]. Приближенные методы математического анализа и вариационного исчисления, в том числе аппроксимация, численное дифференцирование и интегрирование с помощью рядов, изучены Ж.Ю. Личи-ковой [43, 44].

Однако, некоторые вопросы применения рядов в трудах Эйлера до сих пор остаются малоизученными. В частности, отсутствует систематическое изложение приемов приближенного вычисления значений трансцендентных функций и различных математических констант в его работах. Кроме того, недостаточна изучена неопубликованная часть научного наследия Эйлера, прежде всего, записные книжки ученого — двенадцать рукописных томов общим объемом около 4 ООО страниц, которые хранятся в Санкт-Петербургском филиале Архива РАН (фонд 136, опись 1, №129-140). Записные книжки позволяют восстановить ход рассуждений ученого, проследить процесс возникновения и эволюции идей, установления математических фактов и утверждений, разработки методов решения различных задач, а также уточнить датировку его научных открытий. Исследованием неопубликованных заметок Эйлера занимались В.И. Смирнов, Г.К. Михайлов [52, 53], Г.П. Матвиевская [46-49], Э. Кноблох (Е. Knobloch) [36] и др. Им удалось обнаружить много результатов, которые не отражены в опубликованных работах ученого.

Предметом исследования является применение рядов для приближенных вычислений в работах Эйлера.

В работе решались следующие задачи:

- изучение опубликованных и неопубликованных материалов Эйлера, связанных с применением рядов для приближенных вычислений значений интегралов, решений обыкновенных и дифференциальных уравнений, значений трансцендентных функций и математических констант.

1. Для вычисления частичных сумм и остатков рядов для большого количества членов использовался свободно распространяемый арифметический интерпретатор ARIBAS, поддерживающий арифметику с плавающей точкой высокой точности (4096 бит), обеспечивающую более 1200 десятичных цифр в действительных числах.

2. Для численного решения неравенств использовался свободно распространяемый математический пакет Derive 6.10 компании Texas Instruments.

3. Для вычислений частичных сумм рядов в рациональных числах использовался математический пакет Mathematica 5.2 в режиме точных вычислений.

Научная новизна работы состоит в том, что:

- Важнейшим достижением Эйлера в теории рядов стало открытие формул суммирования, которые нашли широкое применение в приближенных вычислениях, прежде всего, для оценки остатков в вычислительных формулах. Ранее неисследованные заметки из записных книжек ученого, относящиеся к выводу и применению формулы суммирования Эйлера-Буля, позволили установить приоритет Эйлера в открытии важных комбинаторных соотношений: рекуррентного правила для вычислений чисел Эйлера I рода в треугольнике Эйлера, а также связи многочленов Эйлера с производящей функцией для последовательности степеней.

- Эйлер широко использовал бесконечные произведения и непрерывные дроби в тесной связи с рядами. С бесконечными произведениями связаны его важнейшие открытия в теории рядов: вычисление точных значений рядов обратных четных степеней, пентагональная теорема, тождество для дзета-функции. Записные книжки включают тождества, не вошедшие в опубликованные работы, в частности, эйлеровы произведения, соответствующие всем вполне мультипликативным функциям по модулю 8.

- Эйлер усовершенствовал способы вычисления приближенного значения 7г с помощью рядов для арктангенса. Он предложил новый ряд для вычисления арктангенса, который для небольшого числа суммируемых членов да-

ет большую погрешность, но в пределе имеет лучшую сходимость, чем ряд Грегори-Лейбница. Эйлер вывел несколько общих тождеств для представления арктангенсов в виде суммы арктангенсов меньших аргументов, получил конкретные разложения, удобные для вычислений значения 7Г, в том числе некоторые неопубликованные им тождества, которые были переоткрыты значительно позже и использовались для вычисления 7г в XIX и XX вв. Кроме того, с помощью формулы суммирования Эйлер получил асимптотический обвертывающий ряд для вычисления 7г.

— Для вычисления константы е Эйлер использовал как, известное еще Ньютону, разложение ех в степенной ряд, так и несколько непрерывных дробей, а также последовательность рациональных приближений, полученных им на основе дробно-рациональных приближений (диагональных аппроксимаций Паде) для функции ех. Используя аппарат непрерывных дробей, Эйлер доказал иррациональность константы е и ее некоторых степеней. Неопубликованное разложение в ряд еагС8ШЖ позволило Эйлеру вычислить приближенное значение константы Гельфонда еп.

— Эйлер впервые в истории математики рассмотрел константу Эйлера-Маске-рони 7, вычислил ее приближенное значение с точностью до 15 десятичных цифр после запятой, открыл множество тождеств, связывающих значение константы со значениями сумм обратных степеней. Вычислительный эксперимент подтвердил, что Эйлер использовал для вычисления 7 наиболее быстро сходящийся ряд.

— Эйлер стал первым математиком, который исследовал константу

оо

Эрдёша-Борвейна а = 2^1 ■ П03Днее ^737 г. Эйлер нашел основные

п=1

— Эйлер впервые строго доказал единственность представления натурального числа в двоичной системе счисления с помощью рядов и бесконечных произведений, использовал алгоритм перевода десятичных дробей в недесятичные, применял запись чисел в системах счисления с основаниями 2 и 24, обозначая

в последнем случае цифры латинскими буквами, как это принято в настоящее время.

Апробация результатов диссертационного исследования.

Основные результаты докладывались автором на семинарах по истории математики Оренбургского педагогического университета (2006-2011 гг.); всероссийской научно-практической конференции «Математика. Информационные технологии. Образование» (Оренбург, 2006 г., 2008 г., 2011 г.); международной научной конференции «Леонард Эйлер и современная наука» (Санкт-Петербург, 2007 г.); международной научной конференции «Проблемы историко-науч-ных исследований в математике и математическом образовании» (Пермь, 2007 г.); 5-ых Международных Колмогоровских чтениях (Ярославль, 2007 г.); 19-ой международной научной конференции им. академика М.Кравчука (Киев, 2008 г.); международной научной конференции «Современная математика и математическое образование, проблемы истории и философии математики» (Тамбов, 2008 г.); семинаре по истории и методологии математики и механики Московского государственного университета (Москва, март и ноябрь 2011 г.); V международной научной конференции «Математика. Образование. Культура.» (Тольятти, 2011 г.); межрегиональной научно-практической конференции молодых ученых Оренбургской области (Оренбург, 2011 г.).

По теме диссертационного исследования автором опубликовано 18 работ общим объемом 5,9 п.л., в том числе 5 в журналах из перечня ВАК («История науки и техники» и «Вестник Оренбургского государственного университета»).

Глава 1. Возникновение, становление и развитие теории бесконечных рядов до середины XVIII в.

1.1. Возникновение и становление теории бесконечных рядов до середины XVII в.

Теория рядов была, в основном, создана в ХУП-Х1Х вв. Однако многие ее идеи появились в науке еще в глубокой древности. Арифметические и геометрические прогрессии стали первыми последовательностями, для которых решались задачи, связанные с суммированием членов. Наиболее ранняя задача, связанная с суммированием конечного числа член�

Полный текст автореферата диссертации по теме "Вычислительные аспекты теории рядов в опубликованных работах и неопубликованных материалах Леонарда Эйлера"

Текст диссертации на тему "Вычислительные аспекты теории рядов в опубликованных работах и неопубликованных материалах Леонарда Эйлера"

Похожие темы диссертаций