автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.01
диссертация на тему: Становление математической теории (философско-методологический анализ)

Полный текст автореферата диссертации по теме "Становление математической теории (философско-методологический анализ)"

^ и

?осс:1:;с:сая Академия наук Институт СЙ^ЛОСОЙКИ

.а правах рукопесп

ВОИЦЕХОВИЧ Вячеслав Змериковач

СТАНОВЛЕНИЕ ¡йктжтшптА ТЕОРИИ (ФИЕОСОФСКО-ЖТОДОЛОШЧВСйЙ АНАЛИЗ)

Специальность G9.Gu.0I -Дпалектпка и теордя познания

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора филосойскиг наук

ыосква 1992

Диссертация выполнена в секторе общей методологий науки Института философии РАН

Официальные оппоненты: доктор философских науЕ, профессор Ы.И.ПАНОВ доктор философских наук, профессор В.Я.ПЕРМИНОВ доктор технических науг, профессор М.Ш.1ШШК0

Ведущая организащя - кафедра философии Московского государственного педагогического университета

Защита состоится * ^ " ^по 1ЭЭ2 г. в > ^ часов на заседании специализгрованного совета Д.002.29.03 по защите диссертаций на соисканге ученой степени доктора философских на в Институте философии по адресу: 119842, Москва, Волхонка,

С диссертацией шао ознакомиться в библиотеке Института философии.

Автореферат разосд&н " ^ " а-^/уг*_ 1332 г.

Ученый секретарь специализированного совета

Актуальность исследования

Одним из активно развивающихся направлений современной философия является йилосойля науки. Это объясняется тем, что наука стала ведущим элементом духовной культуры и оказывает большое влияние на практическую деятельность людей. Среди наук значительнш авторитетом пользуется математика. Афоризм Пифагърч "Все есть число" признается метафорически верным до сих пор. В математических теориях нуждаются естественные, технические, гуманитарные науки, экономика, управление, соера быта, вся общественная жизнь. Без математики невозможно и (пормирование полноценного мировоззрения культурного человека. Поэтому успешное развитие этой науки - необходимое условие процветания общества.

Философы, историки науки активно исследуют не только математику в целом, но « ее элемента - задачи, проблемы, гипотезы, аксиомы, правила вывода, теоремы в способы их доказательства и т.п. Важнейший вопрос - изучение бе теорий, поскольку они признаны основными едпницаглп знания. Статическая сторона теорий частично ис следована (например, ряд моментов в структуре теорий проанализированы средствами математической логики). Но динамическая сторона проблемы - процесс возникновения, разработки, обоснования теорий, их взаимодействия - остается неизученной. Между тем потребность в этом велика. Дело в ?о;л, что многие области науки не имеют адекватного математичесиэго аппарата и не могут успешно развиваться. В результате познание задерживается из-за недостаточной разработки соответствующих математических структур. Оилософсто-методологичес-кпй анализ сформирования математпческмх теорий'позволит выявить закономерности развития математики, поможет студентам-математикам глубже понять свою профессию и эффективнее вести исследования, будет способствовать разработке искусственного интеллекта и даже позволят прогнозировать эволюцию цивилизации, так как некоторые направления математики явно обгоняют развитие общества и по тенденциям развития таких областей мошго прогнозировать дальнейшую эволгартз цивилизации.

Гели тогда-то развитие математики понимали как "бессубъект-нтп;" прогесс вттвода теорем из аксиом, как бн независимый о" конкретно:"! личности, так внопсторпческий процесс, одинаковый всегда, то ннне математическое творчество рассматривают в конкретно-историческом контексте, как процесс, который составляют субъект, средства исследования (методы и стариз знания), дели, норгти, ценности познания и, наконец, объект исследования - математические попятил

3

и отношения (которые модно понимать в самих различных смыслах -плато гас тс ком, конвеционалистском, материалистическом и т.п.).

Степень разработанности гтоблемн

Философскими вопросами математики занимались ученые, еще начиная с античчнх врешн. Значительный вклад в них внесли Платон, Аристотель, а затеи Р.Декарт, И.Кант и другие. Великие математики также разрабатывали философию и методологию своей науки. Вцдвигая новые идеи в математике, они вслед за этим рефлексировали над ней, неизбежно углубляя учение о математике, о ее теориях и методах их построения. Открытия ученых нередко слуиили образцами при решении методологических вопросов. Особенно это относится к Евклиду, Архимеду, И.Ньютону, Г.В.Лейбницу, Н.И.Лобачевскому, Г.Кантору, А.Пуанкаре, Д.Гвлъберту, Л.Э.Я.Брауэру, Г.Вейлы, А.П.Колмогорову. Взгляды этих учених на природу математики, ее методы иногда вступали в противоречие с господствовавшими тогда представлениями, тем самым ученые вносили новые моменты в философию и методологию своей науки. Например, Лобачевский открыл сформальный аксиоматический метод, Брауэр - принципиально новую, интуиционистскую математику, Гильберт - метаматематику.

О развитии научных теорий написано немало глубоких исследований, но изvчшoтcя в них, как правило, теории физики, так гак последняя считается лидером естествознания. В то ко время понятийные системы других наук, в том числе математики, изучены слабо. Это объясняется распространенностью упрощенной - дедуктивной - модели математического творчества.

Вопрос о необходимости теория развития математики - ее программ, концепций, понятийных систем - поставлен лишь в последние десятилетия. Интересные идеи в этой области выдвинули математики Дк.Пойа, ".Дьедонне, С.Паклейн, у нас -'А.Н.Колмогоров, А.Д.Александров, среди философов и методологов - К.Поппер, И.Лакатос, М.Кроу, Ф.Китчер, И.Даубен, у нас - С.А.Яновская, Г.Н.Гузавин, В.Я.Першшов, В.А.илрпушш, О.И.Кедровокий, И.С.Кузнецова, А.Г.Ба-рабашев, Л.А.Соловей, О.Ф.Теребилов, О.А.Габриелян и другие. Они рассмотрели ташю вопросы как природа математики, ее объект и предмет, истоки математического знания, этапы исследования, роль в ном интуитивного и дискурсивного, генетического, алгоритмического и аксиоматического методов, взаимодействие теоретического и практического в истории этой науки, вопросы надежности доказательства, обоснованности нового знания, связь математики с реальной действительностью, с практикой, раскрыли ряд закономерностей в

4

развитии данной науки, ответили и на другие вопросы.

В то же время целостный процесс развития современной фундаментальной теорпи (ее петога, возникновение, разработка, обоснование) не рассмотрен пи в одной работе. Не выработано ясное определение математической теории, нет классификации их типов, не выяснен вопрос о степени новизны теорем, понятии, теорий (хотя известно, что большая часть публикаций является малосущественным уточнением известных результатов, либо переносом знания из одной области в другую и т.п.). Не изучена история теории категории, претендующей на роль нового основания и универсального языка математики, наиболее абстрактной и обчел теории, дающей новый образ это?! науки. Остается немало спорных моментов л в вопросах о способах обоснования новой теории в процессе ее развития (сводится ли обоснование к доказательству, что такое доказательство, роль приложений и т.п.). Между тем потребность в таком исследовании велика, так как подобный анализ позволял бы понять особенности функционирования и направление дальнейшего прогресса математики.

В философии п мптодологии математики сложились два подхода -Фундаменталистский и нефувдаменталистский. Первый связан с (Термальным глатазом, с основаниями математики. В нем широко используется аппарат теории множеств, математичесгля логика, поэтому лучше всего здесь удается исследование "ставших", законченных теорий, представленных как формайьнйп системы. Второе направление связано с содержательным анализом математического знания, с его историческими предпосылками, с социально-культурным контекстом открытий, с творческой личностью. Эта линия более глубоко раскрывает противоречивый ход возникновения и изменения новых идей. Нефуццамента-листский подход более адекватно раскрывает становящееся знание. Фундаменталистское направление ассоциируется с классическим, ньютоновским естествознанием, с объективистским взглядом на познание, ^фундаменталистское же - с гуманитарным, субъективистски-ценностным подходом к математическому творчеству. Динамику знания более глубоко отображает ^фундаменталистское направление, поэтому следует подходить к формированию матрматических теорий с содержательной точки зрения, рассматривая источники, историю, роль конкретных личностей, а таше научных, культурных, политических условий в развитии данной теорпи.

Цель и задачи исследования

Основная цель диссертации - построение модели формирования фундаментальной математической теорпи, модели, соответствующей

5

развитию математики за последние века.

Главная задача исследования, решение которой позволит достать цели, - раскрытие истории возникновения и развития теории категорий. Анализ этого исторического образца позволив найти общезначимые закономерности генезиса фундаментальной теории. Задача-ют, подчиненными главной (или ее аспектами), являются: I) определение математической теории, т1шов теорий по фундаментальности и по происхождению, уровней новизны математического знания; 2) установление источников теории категорий, этапов ее становления, значения теории для математики и других наук, для философии и культуры в целом; 3) анализ основных моментов обоснования новой конструкции, ее признания научным сообществом в качестве истинной математической теории.

Методологические основы п источник" исследования

Методологической основой исследования является диалектика как философская теория развития. Она показала свою эффективность при анализе научных проблем, при разработке философии науки. При изучении ае вопросов математического познания наиболее плодотворны, с нашей точки зрения, диалектические принципы развития," системности, отражения. Они означают необходимость рассмотрения теории соответственно как:

1) находящейся в процессе исторического изменения и развития, а не "данной раз и навсегда в неизменном виде"; г

2) системы, состоящей из ядра - понятий (идеальных объектов), принципов - и окружающей его оболочки - теорем, в которых-зафиксированы свойства объектов, их связи, отношения, а такие интерпретаций в различных-облаетта математики, в естественных и гуманитарных науках;

3) конструкции, отражающей в конечном итоге закономерности дейстг вителыюсти и. ее познания человеком.

Столь не ваднш для понимания процесса формирования математической теории является генетический метод, исследующий возникновение и становление целостных систем. В нем предполагается, что существуйг исходное неразвитое ссстояние этого целого (идея в случае теории). Оно развептывается согласно определенным правилам, переходя от одного состояния к другому, и достигает на гоночной стадии полноты оформления, после чего уже не развивается, но может стать началом для иных систем.

Кроме того неоднократно попользуются идеи Аристотеля, Р.Дета рта, Г.Б.Лелбшща, И.Канта о природе математики, о методах по-

6

знания, а также современных российских авторов 13.11. Браке ко го, Г.И.ГУзавшга о методология математического исследования. В качества методологической основы взяты отдельные идеи неопозитивизма, показавшие свои плодотворность в исследовании науки, особенно в обосновании нового знания. В частности, применяются принципы верификации я фальсификации, приспособленные к аналигу математического исследования. Перечисленные принципы и идеи указанных авторов обобщают исторические особенности как внутреннего развития математических понятий, теорий, их структуры, так и их взаимодействии с естествознание!,1, философией, логикой, о такими общественными явлениями, как экономика, политика, война... Проблема, поставленные в диссертации, решаются на основа философско-методологической, исто-рико-математической и математической литературы, с использованием работ по философии и методологии математики, по иотории математики античности, Нового времени, в особенности XIX и XX вв. (на русском, английском, немецком, французском, итальянском, латинском языках). Из современных отечественных авторов, работающих в области философии науки в целом, отметим И.С,Алексеева, Л.Б.Бахенова, В.П.Бран-сного, 1].1-1.1йга, М.С.Козлову, Н.И.Кузнецову, В.А.Лекторе!®го, Л.А.Микешину, М.Л.Розова, Г.П.Рузавпна, -.И.Садовского, 33.С.Степана и других авторов. Из философии математики использованы идеи Д.Г.Антипенко, В.А.Уланова, А.Г.Ьарабашева, Р.Г.Баранцева, Б.В.Бирюкова, М.С.Бургина, В.И.Кузнецова, О.л.Габриеляна, В.А.Кар-пунина, О.И.Кедровского, И.О.¡Кузнецовой, А.А.Каоьяна, В.В.Налимо-ва, М.И.Панова, В,Я.Перглинова, гО.А.Петрова, Г.Н.Гузавпна, Л.А.Со-ловья, А.К.Сухотина, О.З.Теребилова, Г.Г.Шляхина, Ю.А.Ш'реццера, С.А.Яновской, из области истории математики - идеи В.И.Арнольда, И.Г.Башаковон, Б.В.Гнеденко, Л.В.Канторовича, А.Н.Колмогорова, Ю.И.Манина, А.А.Маркова, Н.Н.йЬисеева, Н.П.Нагорного, К.Л.Рыбникова, Ф.Л.Ыедведева, В.А.Успенского, Ы.Ш.Цаленко, Н.Л.Шанина, И.Р.Шафаревпча, Е.Г.Щульгеифера, А.П.Шкввича и других. Научная новизна исследования Научная новизна диссертации заключается в том, что

- разработала модель формирования фундаментально'! математической теории; эта модель развита хз результате обобщения истории теории категорий и других теории, к изучению процесса становления которых применен генетический метод исследования;

- раскрыт общенаучный и философский смысл теории категорий как своеобразной гатематическоЯ "теории отражения", ее роль в прогрессе математики, в разБитпч методологии этоП паук;!.

На защиту выносятся следующие тезисы:

1. Математические теории молено классифицировать по их проис-ховдению. Существуют опорные теории, которые возникли вследствие перехода от конкретной, эмпирической математики к теоретической (арифметика натуральных чисел и элементарная геометрия), и обосновываемые, развивающиеся на базе опорных теорий. Обосновываемые делятся на: а) имеющие внутреннее происхождение (аналитические и синтетические), б) имеющие внешнее происхоздение (из опытных наук или из философии, логики).

2. Помимо периодизации истории математики, разрабатывавшейся А.Н.Колмогоровым, возможна иная периодизация. Выделяются периоды:

1) зарождения этой науки, 2) конкретной эмпирической математики, 3) теоретической, 4) практической, 5) математики Нового времени, который делится на подперт ды: а) переменных величин и б) нестандартной (неевклидовой) математики, 6) "гуманитарной1 математики.

3. В XX в. началось формирование "гуманитарной" математики. Ее источники - интуиционизм, конструктивизм, метаматематика, информатика, в которых ученый последует не пассивный объект (например, количественные отношения), а объект, обладающий свойствами активного субъекта, специфически человеческими свойствами - конструктивными способностями, свободным выбором, рефлексией... Происходит сдвиг математики от субъект-объектной структуры исследования к субъект-субъектной, от изучения бессубъектною мира к познанию "очеловеченной" природы. Сходные изменения наметились во всей науке и духовной культуре.

4. Новизна знания является одной из важнейших ценностей познания. В математическом исследовании можно выделить следующие уровни новизны знания: I) уточнение, детализация известных теорем,-

2) теорема, описывающая новые свойства и отношения объектов теории, 3) фундаментальная теория, вводящая новкз конструкты (объекты) в математику (данный и последующий уровни новизны нередко интерпретируют как революции в математике - локальные, региональные, глобальные), 4) теория, дающая новый язык и соответствующий стиль мышления, характерный для одного дз направлений математики (например, топологии или алгебры); в раджах такого языка ведутся поиски новнх объектов, 5) теории или способы мышления, определяющие один из периодов истории математики, 6) выходя за пределы математики, мышление приходит к высшему уровню новизны - факту возникновения самой математики.

5. Становление теории категорий определялось: I) работами С.ЭЛленберга п С.^ашгсдга, 2) опосредованными математическими источниками в топологии, алгебре, алгебраической геометрии, теории множеств, математической логике, 3) философскими, социокультурны-1яп источниками - принципом отражения, понятиями категории у Аристотеля и Канта, идеалом универсального языка наугл, спстемно-структурпыми и другими идея,!!'.. Глубокий философский смысл имеют понятия п принципы, сыгравшие существенную роль в развитии теории категорий, - естественный изоморфизм, двойственность, Функтор, категория, пнпцнальтш п терминальный объекты, "существует единот-венннй", "свободный объект"...

6. Теория категорий имеет фундаментальное значение для мате-матикп и других наук. Возшяно построешю модели развивающейся теория иа основе понятия топоса (специального вида категории). Исследование истории теорип категорий позволяет построить достаточно общую модель формирования фундаментальной теории, согласно которой теория проходит три основных этапа развития - индуктивный, интуитивный, дедуктивный. Теория категорий является своеобразной "теорией отражения" и дает аппарат для выражения процессов преобразования информации и тем ускоряет развертывание информационной революции в науке и технологии. В развитии математики реализуется закон формализации: г^орыа старых теорий обобщается содержанием новой фундаментальной теории.

7. Обоснование становящейся математической теории в процессе ее развития проходит по двум каналам: I) гак согласование с внут-рпматематическими основаниями и 2) как согласование с внешними основаниями. Первые состоят: I) в установлении соответствия законам логики (непротиворечивость), 2) в согласовании с известными теориями алгебраической, порядковой, топологической структур,

3) в случае формирования теории высокой степени обилости и абстрактности - способность выступить в качестве методологи (при создании более конкретных теорий), в качестве универсального языка шш даае своеобразного математического "мировоззрения". Второе (внешнее) обоеповаше состоит в гчтерпретации и применении математической конструкции в опытных науках и получение благодаря это-нового знания о реальности. Каждая математическая теория имеет как область косвенного подтверждения, так и область косвенного опровержения, т.е. множество возданных содержательных интерпретаций, которые подтверждаются пли не подтверждаются опытом. Все математические теории прямо или косвенно (через посредство других

9

математических теорий) интерпретируемы в содержательном знании.

Практическое значение полученных результатов

Основные положения и выведи диссертационного исследования использовались в'процессе прегодавашш курса филсофш» для студентов и аспирантов Новополоцкого политехничесюго института и Тверского государственного университета. Положения диссертации могут быть использованы при изучении таких тем, как "Научное познание", "Диалектика", "Цивилизация", "Предвидимое будущее" и других. Имеющие практическое значение результаты диссертации частично использованы в учебно-методическом пособии по философии для аспирантов. Кроме того выводы, относящиеся- к методологии науки, мо1ут быть использованы при разработке искусственного интеллекта, моделирующего работу математика.

Апробация работы

Результаты исследования обсуждались на заседаниях кафедры философии Тверского государственного университета, на кафедре философии Института повышения квалификации при ШУ, на семинарах сектора истории математики и сектора психологии творчества ИИЕТ АН СССР, на заседаниях сектора общей методологии науки Института философии АН СССР, на методологическом семинаре сектора топологии Института математики АН СССР, на конференциях и семинарах Иноти- . тута философии и права АН БССР, Института математики АН БССР, на ряда заседаний Всесоюзного семинара по философии математики (Москва, МГУ) и других.

С докладами и сообщениями по основным результатам диссертации автор выотупал на 30 научных симпозиумах, конференциях, семинарах, в том числе- на расширенных заседания:; Совета по материалистической диалектике в 1979-1908 гг., на Герценовских чтениях в 1981 г., на заседаниях Совета по филооофвд науки (Ленинград-Санкт-Петербург) в 1990-1991 гг., на конференциях: "Философеко-мвтодо-логичеекпе проблемы взаимодействия фундаментальных и прикладных исследований" (Минск, 1983), "Диалектика и современное научное познание" (Ташкент, 1904), "Закономерности и современные тенденции развития математики", "шировочзрение и методологические проблемы компьютеризации современной науки" (Обнинск , 1985-1991 гг.), "Повышение эффективности познавательных действий в науке и практике" (Минск, 1906), на IX Всесоюзном совещании по логике, методологии и философии науки (Киев, 1986), на УШ Международном конгрессе по логике, методологии и философии науки (Москва, 1987), на Всесоюзных конференциях "Сак»организация в природе и обществе"

10

(Ленинград, 1988), "Рефлексивные процессы п творчество" (Новосибирск, 1990), "Творчество: теория и практика" (Киев, 1991), на седьмых межкафедральных чтениях "Великие преобразователи естествознания: К.Э.Циолковский" (Минск, 1990) и других.

Структура и объем диссертация

Структура работы определяется логикой исследования проблемы. В I главе ставится и решается ряд вопросов философии математики, тлеющих существенное значение для дальнейшего, - для решения основной проблемы. Во П главе рассматривается возникновение п развитие фундаментальной математической теории (а именно - теории категорий). В Ш главе анализируется процесс обоснования математической теории в ходе ее формирования. Диссертация состоит из введения, трех глав (одиннадцати параграфов), заключения и библиографии.

Содержание работы

Во введении обосновь-зается актуальность проблемы становления математической теории, ее фшлософско-методологичеышй характер; выясняется степень разработанности теш; формулируется цель и задачи исследования; раскрываются методологический базис и источники доследования; фиксируются научная новизна, главные результаты п практическое значение работы; описываются результаты апробирования и публЛсащш.

В I, П п Ш главах диссертация исследуются вопросы возникновения, формирования и обоснования фундаментальной математической теории.

Глава I "Проблемы генезиса математической теории" является подготовительной к основным главам П п Ш. В ней анализируются пока нерешенные вопросы философии и методологии математики, ответы на которые необходимы .для построения модели становления фундаментальной теория. Для этого требуется выяснить, что такое математическая теория, в чём ее специфика, каковы типы теорий как по уровню фундаментальноета, так и по способам возникновения и развития; решается такке вопрос о степени новизны становящейся математической конструкции, в том числе теорпп.

В первом параграфа "Понятие математической теорпп" дастся определенно математической теории, рассматриваются ее функции, теории классифицируются. Чтобы выделить специфику математики, устанавливается ее место среди других наук. С известной долей условности науки разделяются на опытные, теории которых непосредственно проверяются в эксперименте, па практике, и впеопнтнг.е, реф-

II .

лексивнне, связашшв с действительностью в основном через опытные науки. К первым относят главным образом естественные, технические, социальные науки, ¡шфор:..атнку д .другие ыеддисцпплшарные области знашхя, Ко вторым - математику, логику, философию. Поэтов математика связана, с одной стороны, с опытным знанием (прежде всего естественнонаучнш), дающим математика!.! задачи, аналогии, интерпретации, а с другой - с логикой и философией, из которых математик черпает правила рассуддения, ориентиры мышления, ценности, общую гартину мира. Как понпыают математическую теорию ученые различных специальностей? Дня математиков теория - это любой целостны;! фрагмент своей науки, до.активно выводимый из какой-либо идеи, понятия и предназначенный для решения определешого класса задач. Логики под теорией е широком смысле понимают множество предложений языка. В узком сшсле теория (первого порядка) - это формальная система с определенным языком, набором аксиом (логических и нелогических), о совокупностью правил оперирования формулами языка. Для большинства методологов науки математическая теория - это система понятий, из которых выводится множество теорем, описывающих некие идеальные объекты. В то не время учете, исповедующие эмпиризм в философии математики, под математической теорией понимают фор!лалъный аппарат естественнонаучной теории. . Тем самым они стирают специфику математики, в сущности, редуцируют ее теории к теориям физики, биологии п других наук. Анализ взглядов на математическую теорию показывает наличие самых различных, диалектически дополняющих друг друга подходов к этому гносеологическому феномену - статического и динамического, логического и исторического,'подходов со стороны внутренних и внешних функций и т.д. Феномен математической теории неисчерпаем, можно лишь фиксировать его гносеологические "срезы", предназначенные для достижения тех или иных целей. Среди функций, которые выполняет математическая теория, ввделяются обязательные - новационная и системная. Первая состоит в том, что а) теория решает первоначально поставленную задачу (ради чего она и создавалась), б) теория решает и новые задачи, решение которых первоначально не предполагалось. Помимо новых следствий из теории следуют и старые теоремы, благодаря чему она включается в систему старого знания (системная Функция). Кроме того теории могут быть присущи функции образца, методологическая, онтологическая, эстетическая, аксиологическая, воспитательная. Ото означает, что теория может играть роль образца при решении нестандартной задачи в новой области, достаточно общая

12

теория может выотупать в качество методологии при построении теории, подчиненной первой. Эвристическая функция: теория способствует получению нового знания (внутри математики или вне ее, например, в физике теория монет использоваться в математической гипотезе и помочь открытию законов). Эотетическгл функция соотоит в развитии у человека чувства прекрасного. Евклидова геометрия, арифметика, дифференциальное и интегральное исчисления, теория множеств воспринимались некоторыми учеными как философско-математическое учение о бытии (онтология). У деятелей искусства онтологическая функция математической теории нередко сливается о эстетической. Если теория становится духовной ценностью для ученого (в смысле поиска истины, красоты, смысла жизни), она проявляет аксиологическую функции. Глубокое понимание теории способствует формированию личности с высоким познавательным интересом (воспитательная функция) . Основной внешней функцией теории является прикладная. Можно прийти к следующему понятию математической теории. Это форма знания, представляющая собой непротиворечивую систему математических понятий, принципов (аксиом), правил вывода, следствий (теорем) и их доказательств. Такая система отражает некоторые всеобщие отношения действительности (количественные, пространственно-временные, структурные, формальные, возможные и другие). В научном познании она проявляет системою и новационную функции. Ей такие могут быть присущи функции образца,* методологическая и шшо. Среди множества теорий выделяются теории в широком и узком смысле. Всевозможные конструкции, которые математики называют теориями, - теории в широком смысле. Это и теории-кирпичики типа теории групп, колец или банаховых алгебр, и их интерпретации, и частные случаи, и соединения различных фундаментальных структур, и даже крупные теоремы, имеющие большие приложения' в физике, хотя и не представляющие особой теоретической ценности для математики, и т.д. Среди теорий в широком смысле мхшо выделить целостные системы, состоящие из понятий, аксиом, теорем, замкнутые относительно выводимости. Это теории в узком смысле. Таковы евклидова геометрия, аналитическая геометрия, теория линейных интегральных уравнений, а такой фрагмент последней, как теория уравнений Вольте рра I рода - угсе теория в широком смысле. Решая частную задачу, она конкретизирует теория линейных интегральных уравнений. В своп очередь теории в узком смысле можно разделить на фундаментальные, вводящие новые понятия, и нефуцдаменталыше, понятийное ядро которых сводится к уже известным конструктам. Последние - это, напримор, такие кон-

13

кретизации теории групп, как теории непрерывных и дискретных групп. Фундаментальные теории - это, например, геометрии постоянной кривизны (евклидова, гиперболическая, эллиптическая), проективная, в алгебре - теории групп, колец, полей, решеток и другие. Из фундаментальных особую, генетическую роль играют опорные теории - элементарная геометрия и теория натуральных чисел, появившиеся первыми.

Во втором параграфе "Типы теорий по их происхождению" анализируются пути возникновения новых теорий и в связи с этим проблема периодизации истории математики. Если рассматривать математику как развивающуюся систему идей, то естественно взять в качестве основных структурных единиц (элементов) этой пауки ее теории, а в качестве главного отношения между элементами - отношение генетического следования, при котором проистадит полный или частичный перенос содержания предыдущей (старой) теории в последующую (но-ную) теорию. Тогда математика предстает как топологическая сеть, или ориентированный граф (1.1,11), где 1.1 - множество вершин (теорий), И - набор дуг графа (историй порождения новых теорий на основе старых). В процессе генетического следования (если не учитывать внематематические идеи) теории возникают двумя путями - аналитическим (новая теория Т' продолжает и раскрывает содержание предыдущей теории Т) и синтетическим (Т' объединяет содержание Т^, Т2,...). Второй путь - основной, что а отмечал Кант, считавший, что математические суждения есть синтетические суждения априори. Примером синтетической теории, полученной члсто внутренним развитием, является теория групп Ли (70-е гг. XIX в.). Это аналог теории Галуа для дифференциальных уравнений. Кнтернадистская методология объясняет многие моменты, развития теорий, но долею не все,'

Математику направляют не только внутренние теоретические потребности,'но п естественные науки, социальная практика. В математические теории внешние идеи вносятся двумя основными путями -через науки меньшей степени оо-дости (естественные, технические, гуманитарные) и через науки большей или талий же степени общности (философию, логику). Так, ряд фундаментальных теорий возник или развивался благодаря задачам механики и физики (дифференциальное и интегральное исчисления, дифференциальные уравнения с частными производши.га, теория динамических систем, теория обобщенных функций...). Слшософия же влияет на математику, выступая в качестве мето"г.ологп:. ото особенно заметно в творчестве Демократа, Лейбница, Г)рауэра. Теорий, созданных под язнш воздействием философии,

14 .

немного, но они часто определяли содержание последующей эпохи. Влияние логтш на математику выразилось не только в "шлифовке" теорий, их формализации, уровне строгости. В XX в. логика начинает определять содержание новых направлений математики (интуиционизм, конструктивизм). Таким образом, гжпно выделить следующие типы теорий по их происхождению: опорные и базирующиеся на них обосновываемые теории. Последние подразделяются на имеющие а) внешнее происходдение (из опытных наук, а такнсе философии, логики), б) внутреннее (среди них - аналитические и синтетические).

Полученную классификацию теорий по происхождению ьгано применить к анализу проблемы периодизации истории математики. Периодизация А.Н.Колмогорова во многом неудовлетворительна, особенно в отношении возникновения математики и ее современного развития. До теоретической математик! древних греков существовала конкретная, эмпирическая математика египтян, вавилонян. Кроме того у Колмогорова период средневековья как бы выпадает из истории этой науки, хотя математика тогда продолжала развиваться, правда, ориентировалась она не на теоретическое совершенство, а на практику, как и в догреческие времена. А.Г.Барабашев показал, что способы, организаций, математического знания "периодически" сменяются с практического на теоретический и наоборот. После средневековой математики наступаетчиерпод математики Нового времени (теоретически ориентированной). 'Он подразделяется на два подпериода -математики переменных величин и нестандартной (неевклидовой) математики. В XX в. (как мы предполагаем) началась смена теоретически ориентированной математики Нового времени на практически ориентированную - "гуманитарную" - математику. Она отображает уже не только субъект-объектные отношения (как это было в классическом, ньютоновском естествознании), а более общие, более свободные отношения субъект-субъектные, характерные пока только для гуманитарных наук.

Гуманптаризация чувствуется и в физике с 20-х гг. Автор показывает это, сравнивая две крупнейте дискуссии века - меяду Н.Бором и А.Эйнштейном по вопросам квантовой механики и мввду Э.Брауэром и Д.Гильбертом по вопросам теории мнояеств, закона исключенного третьего, обоснования математики. Обе дискуссии полны аналогий. Бор и Брауэр выступают как критики классической пауки, создатели новых теорий высшего уровня фундаментальности. Эйнштейн и Гильберт защшдают класснчесгаю достжения. Главный наш вывод из сравнения дискуссий: новые концепции физики и кате-

15

матнки начинают включать в объект своего исследования творческий, действующий субъект. Например, в метаматематике метатеория выступает по отношению к объектной теории как активное начало, подобное рефлексирующему субъекту. Математика становится рефлексирующей наукой. Гуманитаризация науки XX в. - следствие принципиального изменения характера цивилизации. Старая, технотронная цивилизация, ориентированная на материальные, вещные отношения, сменяется цивилизацией, ориентированной на духовные отношения. Языком ее науки может стать "гуманитарная" математика.

В третьем параграфе "Проблема новизны в математическом познании исследуются критерии и уровни новизны в математике. Автор обсуждает критерии нового в науке (списочный критерий, информационный, психологический, деятельностный, гносеологический) и дополняет их критериями, выдвигаемыми с философских позиций, - онтологическим (открытие ранее неизвестных объектов и их свойств и отношений, например, понятий группы, поля, функтора) и аксиологическим (открытие ранее неизвестной ценности, например, в математике XX в. появилась новая 1уманитарная ценность - ориентация на выражение специфически человеческих свойств в интуиционизме, конструктивизме, метаматематике). Анализируются качественные уровни новизны. Низший ее уровень - уточнение свойств известных математических объектов (это основная масса публикаций). Следующий уровень - открытие новых свойств и отношений известных объектов. Затем - введение ранее неизвестных понятий, развитие соответствующих теорий, что мокет привести к локальным, региональным или глобальным революциям в математике. Далее - формирование нового стиля мышления или универсального- языка, теоретического универсума, в рамках которого научное сообщество работает на протяжении целого периода развития математики. Почти предельный уровень новизны - становление ранее неизвестного мировоззрения, воледстгие чего могут появляться новые формы математического знания, например, в Древней Греции - теоретическая математика. Наконец, ряд ученых придерживаются представления о высшем как некоем природном или внеприрод-ном начале, которое способствует совершенствованию нашего биовн-да; это представление породило духовную культуру и, в частнооти, саму математику.

Во второй главе "Возникновение и разработка теории категорий" рассматривается история теории - ее истоки, возникновение, развитие, борьба за признание, показано ее значение уш науки, философии, культуры, в частности, излагается мо-

16

даль формирования фундаментальной математнчаокой теории, которая складывается как обобщение истории теории категорий.

В пепвом параграйв "Теория категорий, функторов и естественных преобразований. Основные определения" излагаются аксиоматические дефиниции теории - понятия категории, функтора, естественного преобразования. Даны их примеры, приложения теории. Рассмотрены причины первоначального неприятия теории частью научного сообщества и последующее преодоление отрицательного отношения к ней.

Во втором параграфе "Истоки теории категорий" раскрываются предпосылки категориальной парадигмы. Выделяются три вида источников теории: I) непосредственные, 2) математические понятия, подготовившие работы авторов теории и поэтому опосредованно повляяв-' шив на нее, 3) общенаучные, философские, социокультурные представления, создавшие интеллектуальную атмосферу в научном'сообществе, благоприятную для разработки и последующего признания новых идей.

Непосредственные источники теории категории - работы ее авторов С.Эйленберга и С.ЫаклеЙна, написанные с 1930 по 1942 гг. Совместную работу о 1940 г. они начали с изучения отношений между когомологпямл п гошлогияш1 групп и продолжили исследованием влияния гомотопических групп на когомологии. Отсюда развились кого-мологии групп, теория категорий, гомологическая алгебра... Как предшественник ключевого для теории категорий понятия естественного преобразования у Эйленбэрга и Маклейна появляется естественный, изоморфизм, известный, впрочем, и до них в математическом фольклоре. Обращают они внимание л на важность для гомологической теории прямых и обратных систем (потом это станет принципом двойственности, положенным в фундамент теории категорий).

Второй вид источников теории - исследования в топологии, алгебре, алгебраической геометрии, теории множеств, математической логике. Основной "материал" теории дала топология. Уке идея топологического пространства, рассмотренного вместе с его непрерывными отображениями, подводила к теории категорий. В алгебре ее прообразом стала теория групп преобразований. Группы, тела, кольца, универсальные алгебры, гомоморфизмы и изоморфизмы облегчили "узнавание" катвгорной схемы л алгебраическом "материале". Важным источником теории стала алгебраизация - общая тенденция развития за пооледнпе четыре веш. Начавшись в ХУ1 в., ока постепенно охватила математику и стала особенно ясной в XX в. Декарт заложил жизненную линию математики Нового времени, линию на объединение геометрии и алгебры на основе последней. Основные пункты декартовой спирали составляют: аналитическая геометрия, эйлерова хагак-

17

теристика и вообще инварианты на геометрических объектах, группы, Эрлангенская программа Клейна, алгебраическая топология, теория категорий. Алгабраизация отразила деятельный характер нашей цивилизации, в духовной культуре которой преобладают дискретные процессы, что выразилось в значительном числе социальных и научных революций, быстром и противоречивом прогрессе. В свою очередь и в алгебраической геометрии немало источников теории категорий, например, работы Клейна и А.Иуанкаре по униформизации алгебраических кривых автоморфными функциями, а также теория комплексов. Теория множеств стала своеобразным образцом для теории категорий, гак как множество - это модель для любого математического понятия. Наконец, велико значение логических идей в формировании теория Эйленберга-Маклейна, поскольку существуют глубокие аналогии меяду математикой и логикой (на что обращали внимание ес(в Аристотель, говоривший о параллелях мвэду геометрией п логикой, и Лейбниц), например, ысвду группой, топологическим пространством, множеством с соответствующими отображениями, о одной стороны, п понятиями, суждениями и правилами их преобразования - с другой.

Третий, еще более широкий круг взглядов, подготовивших ка-тегорную парадигму, - это общенаучные, философские и даже политические предпосылки. Превде всего это системно-структурный подход, истоки которого уходят глубоко в древность. Развивался он во многих направлениях человеческой мысли, но в науке оформился лишь с XX в. (Л.А.Богдановым, Т.Котарбинским, В.И.Вернадским, позже Л.Берталанфи). В математике его осознают, когда к алгебраическим понятиям применяют методы математической логики (Э.Пост, С.Биркгоф, А.Тарский, А.И.Мальцев). Запоздалое признание специфики и роли системно-структурного подхода состоялось лишь в середине века, после П Мировой войны. Она способствовала осознанию роли общественных структур в жизни индивидуума, а в науке - важности понятий "система", "элемент", "структура" в познания. Недаром Ю.И.Манин"1 назвал теорию категорий социологическим подходом в математике. Эта теория (как и ряд фундаментальных научных теорий) является развитием системно- структурного подхода в математике.

Существенную роль в становлении теории сыграл периодически

I Манпн Ю.И. Лекции по алгебраичеоиой геометрии. М., МГУ, 1970. -4.1. Аффинные схемы. - С.ИЗ.

возроздаемый в истории идеал универсального языка науки, связанный о именами Аристотеля, Р.Луллия, Р.Декарта, И.Ныотона, Г.В.Лейбница, Б.Рассела, Р.Карнапа... Аристотель пытался создать этот язык на основе учения о категориях и логики. В ранней работе "Категории" у него складывается первый, еще незрелый набросок универсального языка своего мировоззрения. Подобным путем шли в юности Ньютон и Лейбниц. Хотя редукционистские надеяды на построение языка для всей науки провалились, попытки продолжаются, но в рамках отдельных наук. В математике такие надеяды были довольно сильншли, поскольку она в большей степени кумулятивпая дисциплина, чем иные науки (скажем, физика пли философия). Коллектив Н.Е!урбаки изложил часть математики теоретяко-мнокественным языком. Первоначально Эйленберг и Маклейн задумали категории и функторы как удобный язык для алгебраической геометрии, топологии, алгебры, но язык оказался универсальным и в принципе охватывает остальные направления математики.

К третьему виду предпосылок относятся также философский принцип отражения и понятие категории. Термин "категория" взят авторами у Аристотеля и Канта, и не только термин, но а его смысл. Философские категории появляются в результате многоступенчатого абстрагирования от реальных вещей, их свойств и отношений. Математичеокие категории также возникают в результате абстрагирования от групп, пространств, множеств... Соответствующие им конкретные виды категорий обобщают эти частные объекты и проясняют их свойства о более общих позиций. Множественность и глубина источников теории категорий говорит о том, что она была исторически неизбежна, ее появление подготовлено всем ходом развития математики,

В третьем параграфе "Возникновение теоратико-категорной програмш и ее превращение в теорию" раскрываются принципы п понятия, положенные Эйленбергом и Наклейном в основу програмш. Они постепенно выявлялись автора;,и в ходе обдумывания основной о^атьи в 1940-42 гг. Понятие естественного изоморфизма, вероятно, было той "клеточкой", из которой выросла теория. Уже в данном понятии заюиочено существенное отличие теории категорий от теория множеств. В последней главное отношение - принадлежность элемента х множеству X: х £ X. В теории категорий главное отношение - преобразование (отображение) 4 одной системы А в дпугую В: А-£>В. Эти отношения не сводимы друг к другу, хотя и взаимно интерпретируемы. В основе отношения леяит онтологический принцип

19

"соответствия всего единому", который разрабатыиаля многие философы - Парменид, Пифагор, Анаксагор, позже Лейбниц, Б.Сппноза и другие. .

Принцип двойственности, широко распространенный в геометрии, танке положен в основу категориальной программы. Он тлеет философские корни, связанные с диалектической противоречивостью бытия. Принцип является экономичным способом получения нового знания (удвоения числа теорем без лх дополнительного доказательства), методом сокращения доказательства. Понятия инициального (начального) и терминального (конечного) объектов играют существенную роль в теории. Оки вводят направленность объектов внутри категории, создают предпосылку .для упорядоченности. Они являются обобщениями понятия натурального ряда и времена. При форми^ванпп категориальной программы важную методологическую роль сыграли понятия "свободный объект" и "существует единственный", диалектически дополняющие друг друга. "Сущность математики в свободе", - писал Кантор. Свобода гак методологическое понятие означает, что при введении нового объекта на него накладывают минимально е количество связей. Поэтому свобода понимается в относительном смысле слова. Вводя такой объект, ученый постулирует и его единственность, чтобы придать ему определенность. Эти принципы и понятия,слопив- . шгсь в систему, составили категоргдальну» программу, изложенную в основных чертах в 1945 г, в статье "Обаая теория естественных эквивалентностей".

Развертывание программы шло по пути выявления и разрешения ее внутренних проблем, которые устанавливались в ходе применения новой парадигмы в топологии, алгебре, алгебраической геометрии, логике, основаниях математики и ее приложениях в естествознании. Обычно решеиие внутренних проблем программы фундаментальной теории сводится к ответам на вопросы: I) каковы объекты теорня (как отоадеотвлять и различать в рамках принятых абстракций), 2) каковы их свойства и как объекты соотносятся. По мере разработки этой программы доверие к ней в основном укреплялось. Главным аргументом в ее пользу были не столы© новые теоремы в классических областях, сколько новая картина математики. В последней как нигде важны не теоремы, а принципиально новые идеи, ведущие к революциям (локальным, региональным, общематематпческим), так как часть новых теорем, "издовчивгатоь", ¡ложно доказать и старыми методами. К настоящему времени разработаны крупные разделы теории, введены различные виды категорий, функторов, естественных преобразований.

20

Богатый язык (десятки собственных терминов) стал признаком ее самостоятельности так теории, полноты, фундаментальной роли в математика. Ныне монография по основным разделам математики начинаются с введения теоретпко-катвгорти обозначений. Теория дала эффективный, интуитивно ясный те:ашчесга1й аппарат производных функторов. Он раскрнл универсальность многих важных математических конструкций - свободных униворсалышх алгебр, всевозмошшх пополнений. .. Неуклонно растет число публикаций в ведущих журналах. Выявлены положительные и отрицательные стороны теории. Оказалось, что категориальная "сеть" познания расчитана на захват крупных информационных единиц - понятий, теорий. Трудности усвоения категориального языка - в его высотой абстрактности. "Минус" теории -в ее молодости, недостаточной развитости новациоиной функции. Не выявлены погл наиболее фундаментальные проблемы теории, недостаточны связи с опытными науками. Это служит залогом ее дальне ;'шшго развития.

В четвертом параграфа "Значение теории категорий" рассматривается то влияние, которое оказала (или может оказать) данная теория на математику, ее основания и приложения, на философию и культуру. Значение теории категорий состоит в том, что это не проото фундаментальная теория, а универсальный язык современной математики, ее новое основание, дающее структурно-динамическую картину математического мира, отличающуюся от теоретико-множественной. Наиболее эффективна теория в тех разделах, которые развертываются под влиянием в основном внутриштематичеоких источников (алгебра, геометрия), где в наибольшей степени проявляются внутренние потенция человеческого духа. Но и в разделах, ориентированных на отражение природы, имеются приложения.

Будучи развитием системного подхода, данная теория создает возможность построения сеоретико-категорной модели формирующейся математической теории. Автор показывает пути создания такой [.одели. Вводится соответствующее определение абстрактной системы, критерии ее развития (адекватность, сложность, целостность, информативность...). Показывается, как можно выразить, например, олож-ность системы через ее внутренние характеристики. Усложнение сио-темы интерпретируется как движение точки, изображающей систему, по концептуальному пространству, координатные г си которого выражают меру сложности, информативности и других критериев развития. Развертывающаяся теория описывается определенной категорией (рефлексивным топосом), выражающой не только состояние системы, но и

21

ее изменения, накопление информации, выработанной внутри системы.

Из истории теории категорий "извлекается" модель формирования фундаментальной теории. Показано, что она проходит индуктивный, интуитивный и дедуктивный этапы развития. На наиболее продолжительном индуктивном этапе формируются предпосылки теории. Принципы и понятия изучаемой теории вызревают в конкретных, частных (Тор:-ах и предшествующих теориях. Например, принцип двойственности присутствует в той или иной мере в геометрии Евклида, математическом анализе, проективной геометрии, топологии. Исторически идет восхождение к категориальной форме принципа. Индуктивное обобщение - характерная черта этого этапа. Интуитивный этап - самый краткий по времени, но и наиболее трудный, доступный лишь выдающимся математикам. Создается программа теории - система принципиально новых понятий, которые нельзя вывести из системы предшествующего знания. Э.Галуа, А.Пуанкаре, Л.Адамар, С.ЫажлеЯн говорят о "роении", комбинировании идей и чувственных образов, о выборе удачных комбинаций, об извлечении регулярностей из фактов и других нелогических способах поиска новых понятий. На этом этапе используются "над"атематические" принципы (общенаучные, философские) в качестве регуляторов при получении конструктов. Выяснена существенная роль специализации полушарий мозга в этом процессе. В результате возникает программа теории. Ее развертывание составляет последний, дедуктивный этап. Обычно формируется сначала эле-мзнтарная часть теории, т.е. из аксиоматической схемы выводятся наиболее очевидные следствия. Затем ставятся и решаются главные внутренние проблемы. Устанавливаются основные свойства и отношения объектов теории, способы их отождествления и различения, объекты классифицируются. Доказываются ключевые теоремы. Программа интерпретируется сначала внутри математики, а затем и вне ее. Завершается дедуктивны;! этап особой стадией исследования, на которой разрешаются-"пиковые" проблемы теории. Так, развитие евклидовой геометрии в принципе завершилось с решением проблемы 5-го постулата. После этого начался неевклидов период развития математики. "Пиковой" для теории множеств стала проблема континуума. Взобравшись на такой пик, математик мояет увидеть границы теории и построить иные теории, отрицающие данную и обобщающие ее. В теории категорий пиковые проблемы пока не сформулированы, иаклойн прав, говоря, что потенциал категорией парадигмы пока'не выявлен, что нынешняя мода на толоон снижает уровень абстрактности исследований.

Предложенная модель формирования математической теории применима ко многим фундаментальным теориям л позволяет раскрыть ряц закономерностей этого процесса. Так, в ходе становления новой теории Т' форда, структура старых теорий Тр Тд (источников Т*) обобщается и "переплавляется" в содержание Т. Математика прогрессирует благодаря обобщению формы старых теорий в содержания новой (закон формализации в математическом познании).'

Теория категорий имеет значение и для научной картины мира. Она вводит идею преобразования структур друг в друга и выходит з^ границы традиционного системно-структурного подхода, понимаемого в духе теории множеств и базирующегося на отпошешп "часть - целое". Теория категорий является дппамичестой "теорией отражения". Она становится одним из универсальных языков математики, дополняющим другие языки - арифметический, теоретико-множественный, алгоритмический... Особая ценность теории проявляется при моделировании информационных процессов, так как их традиционное алгоритмическое (локальное, пошаговое) микроописание дополняется категориям (глобальным, системным) макроописанпем, удобным при преобразованиях крупных информационных структур. Идеологи информатики активно используют теорию категорий при разработке крупных компьютерных систем. Так, саше различные типы баз данных основаны на ней. Она является и одним из признаков гуманитаризации математики. Последняя начинает учитывать существенные особенности деятельности человека - отражение, рефлексию, саморазвитие, конструктивные способности.

В третьей главе "Обоснование математической теории" раокрнвается процесс превращения новой конструкции в истинную математическую теорию (в ходе ее развития).

• В первом параграфе "Проблема обоснования" анализируются трудности, которые встают перед математиком, желающим убедиться в адекватности теоремь и ее доказательства, в адекватности введенного им понятия и соответствующей теории. Обычно считают, что д;_я обоснования теоремы достаточно ее доказать (вывести из аксиом), а в случае теории - доказать ее непротиворечивость. Но что так09 доказательство? Ряд известных математиков считают его в сущности набором приемов (логических, психологических), имеющих целью убедить слушателей, что "это так, а не шиле". Например, для В.Л.Успенского доказательство -"это убедительное рассуждение, убеждающее нас настолько, что с его помощью способна убеждать

других"1.

Еще большие трудности ожидают нас при обосновании Фундаментальной теории. Недаром у историков математики это излюбленный екнет. Иногда проходили сотни лет, предде чем новое понятие (ноль, отрицательные, иррациональниа, мнимые числа) признавались научным сообществом. Основанием называют условие, предпосылку, обеспечивающее существование явления, т.е. то, что предполагает или создает обоснованное. В этом смысле основания математического знания составляют: I) объектное основание - реальность в широком смысле (бог либо материя и т.п.) и то всеобщие отношения реальности, которые лзучаютоя математиков (количественные, структурные, Формальные...), 2) субъектное основание - ученыИ или их сообщество, которое разрабатывает, критикует, признает теорию, 3) объект-^убъ-ектное основание - средства познания (прездв всего старое знание -математическое, логическое). В целом обоснование явления - это его согласование с основаниями. В отоль сложном системном процессе, как становление теории, работают вое виды оснований, но для нас важно выделить еще два их вица - вцутриматематичеокш, позволяющие определить, функционирует ли новая теория в системе математики, и внешнио, внематематичеокиэ, отвечающие на вопрос, работает ли теория в сиотеме нгуки в целом (например, в качестве формаль- ■ ного аппарата физической теории).

Второй параграф "Внутриматематическое обоснование новой теории" посвящен математ1пес1шм и логическим средстгам обоснования, применяемым в ходе развития теории. Рассматривается эволюция тагах средств от периода предматеыатики до завершающегося сейчас периода математики Нового времени, в частности, подперяода нестацдарт-Н011 (неевклидовой) математики. Наиболее остро проблемы обоснования были поставлены с геометрии Лобачевского. Благодаря интерпретации новая конструкция признается истинной, но семантически - относительно старой теории (в данном случав евклидовой геометрии), играющей роль основания. Была доказана универсальность арифметической интерпретации. Но многих это не удовлетворяло. Шли мучительные поиски "окончательного" базиса математики, причем внутри нее либо на грант ее знаний (теория множеств, логицизм, интуиционизм, формализм). "Бум" фундаментализма бил остановлен К.Геделем в 1931 г. Теоремой о неполноте он доглзал принципиальную недоста-

I Успенский В.А. Семь размышлений на темы философии математики // Закономерности развития современной математики. - ГЛ. ,1987. -С.140. 24

точность внутриматематическпх оснований. Столь большое внимание в XX в. к этой проблеме служит сигналом о неблагополучии в развитии математики, так как главное в познании - творчество (выдвижение новых идей), а не изощренное обоснование. Метаматематика же ориентирована на статическое состояние науки, на нормальный период (в смысле Т.Куна). Обоснование развивающихся теорий не охватывается ею. Помочь здесь могут философия и методология математики.

Из программы теории извлекаются два рода следствий - старые, совпадающие с известными теоремами (системная функция теории), и новые (новационная функция). Часть новых следствий можно вывести и старыми методами, остальные - следствия, в принципе не выводимые из старого знания (без новых конструктов). Это главный вклад теории в науку. Как проверить принципиально новые теоремы? С нашей точки зрения, внутриматематических средств для этого недостаточно, так как математика является не просто совокупностью формальных систем, а содержательной наукой, несущей информацию о внешнем мире.

В третьем параграфе "Внешнее обоснование фундаментальной теории" раскрываются два главных подхода к обосновагию и их реализация в истории математики. Внешнее обоснование сводится в сущности к вопросы "Что есть истина? Каковы ее критерии?". В науке извест- . ны два главных пути к их решению - аристотелев и платонов. В математике реализованы оба. Аристотелев (соответствие знания реальности и практике) поддерживают Д.Гшпберт, А.А.Марков, Ван Хао, У.Куайн и многие другие. В то же время немало ученых считают, что непротиворечивость и есть критерий истины в математике. Она вполне достаточна для.рефлексивной науки. В ходе внутриматематической проверки устанавливают ошибочность или некорректность незрелых программ, гипотез. Опубликованные работы также не есть истинное знание, в них возможны пробелы, двусмысленность. В случае обсуждения принципиальных ошибок происходит внутриматематическая фальсификация. С нашей точки зрения, непротиворечивость необходима, но недостаточна, ^ак как логика редуцирует теорию к аксиомам, но как убедиться в истинности последних?

Специфика и ценность фундаментальной теории в ее новизне л несводимостя к старо ¡/у знанию. В процессе развития математики ее теории подвергается косвенной эмпирической прогерке - сравнению с действительностью через посредство опытных наук. Такая проверка иногда многоступенчата и много варианта: теория либо используется в качестве (формального аппарат.1 новой естественнонаучной теории,

25

либо работает как методология и на ее основе создаются более конкретные математические теории, которые интерпретируются, скажем, в физике и пдоверяются в эксперименте. Сюда можно добавить использование компьютеров (решение проблемы четырех красок). Раз есть подтверждение, долило быть и ютсвенное опровержение опытом. Каждой математической конструкции, в принципе, соответствует класс интерпретаций, подтверждаемых опитом (область косвенного подтверждения). Вне этой области - класс интерпретаций, не подтверждаемых, - это область косвенной фальсификации. Все фундаментальные теори.1 прошли косвенную проверь, начиная с опорных теории и кончая геометрией Лобачевского, теорией линейных операторов в функциональном анализе, теорией множеств. 1 последняя сначала выступает в качестве методологии, а затем созданные с ее помощью конкретные теории применяются в физике, информатике (методологическая проверка, в свою очередь, базируется на косвенной эмпирической проверке). Теория категория получила методологическое подтвервдение в информатике.

Второй подход к обоснованию (платонов) проявляется превде всего через эстетическую функцию теории. Для многих математиков (и части физиков) красота теории - более убедительный критерий истины, чем эмпирическое подтверждение. В свою очередь математическая 1фасота - лииь отблеск богд - максиадма совершенств. После пифагорейцев и Платона мысли о матэматшсе как науке, раскрывающей сущность бытия, как абсолютном знании, как языке бога высказывали И.Кеплер, Б.Паскаль, И.Ньютон, Г.Лейбниц, Л.Эйлер, О.Коыи, Г.Кантор, Л.Брауэр, Г.Белль, Н.Н.Лузин, И.Р.Шафаревнч и другие. Перечисленные авторы использовали философию (и теологию) при выдвижении и обосновании идей. Например, Лейбниц дифференциалы уподоблял монадам - бесконечно малым духовным атомам бытия (из понимания бесконечно малых в духе актуальной бесконечности в XX в. развился нестандартный анализ). Кантор использовал авторитет теологов и философов при обосновании теории ыножеотв. Платонов и аристотелев подходы дополняют друг друга.

Четвертый параграф "Взаимодействие факторов Ы]утрнматбмати-ческого и внешнего обоснования в процессе становления теории" описывает развитие теории как ее обоснование. Проводится аналогия мепду становлением теории и онтогенезом - эволюцией кивого организма, Удачная идея по мере развертывания обосновывает сама себя. В ходе оформления конструктов, выявления принципов (аизком), выведения элементарных теорем устанавливается внутренняя гармония

26

в этой система, складываются предпосылки для ее непротиворечивости. Открываются связи с другими конструктами, сначала внутри математики, затем вне ее - с естественными, техническими науками, о логическими структурами, о философскими категориями. Развертывание идеи превращает ее в истинную теорию (генетический метод обоснования). Так, теория категорий стала развитием исходной идеи - понятия естественного изоморфизма. Это "клеточка", из которой она выросла, собственное основание. Вслед за ним авторы обнаруживают философское оонование, аналогии мацду группами, пространствами, множествами - с одной стороны, и категориями Аристотеля и Канта-с другой, меяду преобразованиями, отображениями и отражением как философским понятием.. Все пункты аксиоматического определения категорий, функторов, естественных преобразований имеют прямые прототипы в исследовательской практике, особенно у топологов. После удачного применения А.Гротендиком категорий и функторов в алгебраической геометрии интерес к ней стал всеобщим. Возникает математическое основание теории. Распространяется представление о ней как о новом универсальном языке (языковое основание). После многих лет внутриматематического разви.'ия начинаются попытки найти внешние основания. Ведутся поиски категориального описания динамических систем, хаоса (возникает естественнонаучное основание; оно неизбежно, поскольку чем выше уровень абстрактности теории, тем глубже она отражает реальность, тем шире ее приложения). Возникают категорная логика и топосы (логическое основание). В свою очередь топосы используют в теории автоматов, теории баз данных, баз знаний (информационно-компьютерное основание). Таким образом, первоначально неопределенная идея на этапе интуитивного исследования ищет опору в самой себе, затем в других математических идеях, использует аналогии о логикой, философией. На этапе дедуктивного исследования программа развертывается путем согласования с известными теориями и выдвижения новых- результатов, формируются главные функции теории - системная и новационная. Виход же в пауки о природе и человеке считается научным сообществом самым надежным основанием, превращающим новую конструкцию в истинную математическую теорию.

В заключении подводятся итоги работы и намечаются пути дальнейтэто исследования проблемы развития математического знания.

Основное оолетание диссертации ;!ш;шо свое отражение в следующих публикациях автора:

1. Математическое познание: от гипотезы к теория. - Минск,1984.-144 с.

2. Эволюция взглядов математиков на гшхотезу//Научно-техническая революция и философская наука. - Л., 1977. - С.79-82.

3. Философские принципы и познавательная установка ученого как факторы естественнонаучного исследования//Вопросы марксистско-ленинской филосойии и социологии. - Л., 1978. - С.29-35 /в соавторстве/. Деп. в ИНИОН АН СССР Л 2444 от 16.08.78 г.

4. Диалектика ыотаисследования и формирование основных направлений метаматематики//Ироблемы законов науки и логики научного познания. - Л., 1980. - С.138-143.

5. О применении метода математической гипотезы в физичеоком ис-следовании//Философия и научный коммунизм. Вып.8, - Минск,

, 1981. - С.49-56.

6. Критерии истинности математических теорий/ДАатематика. Вопросы методики, истории, методологии. - Тула, 1983. - СЛАВ-КЗ.

7. Основные аопекты формирования марксистско-ленинского мировоззрения в процессе преподавания естественных и технических наук//Мировоззренческая ¿подготовка студентов при изучении общетеоретических и специальных дисциплин. Тезисы докладов республиканской конференции. - Новополоцк, 1983. - С. 33-34.

8. 17 тезисов о методологии неэмпирических наук (в основном математики) //Проблемы диалектики и логики научного познания. Тезисы докладов и выступлений. - Ташкент, 1984. - С. 135-130.

9. Проблемы мировоззренческой подготовки студентов в процессе преподавания технических дисциплин/Дсиление мировоззренческой направленности учебного процесса в высших учебных заведениях гражданской авиации. Тезисы докладов. - Рига, 1984. - С.38-39.

10. О взаимовлиянии математики и научной картины мира//£оршро-вание и функционирование научной картины мира. - Уфа, 1985. С.47.

11. Усиление воздействия математики на познавательную деятель-ность//Повшение эффективности познавательных действий в науке и практике... Тезисы докладов. - 4.1. - Минск, 1986. -С.49-51. 28