автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.01
диссертация на тему: Унификация научного знания на основе математики

Полный текст автореферата диссертации по теме "Унификация научного знания на основе математики"

Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского

№# ад

САФОНОВА НАТАЛИЯ ВЯЧЕСЛАВОВНА

УДК 168

Унификация научного знания на основе математики

Специальность 09.00.01 - онтология, гносеология, феноменология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата философских наук

Симферополь - 2000

Диссертацией является рукопись

Работа выполнена на кафедре философии и права Крымской академии природоохранного и курортного строительства Министерства образования и науки Украины

Научный руководитель

доктор философских наук, профессор Никол ко Владимир Николаевич, Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского, профессор кафедры философии

Официальные оппоненты

доктор философских наук Габрйелян Олег Аршавирович, Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского, зав. кафедрой политологии и социологии

Ведущая организация

кандидат философских наук, доцент Коркишко Александр Павлович, Севастопольский государственный технический университет, доцент кафедры философских и социальных наук

Харьковский государственный университет, кафедра теории культуры и философии науки, Министерство образования и науки Украины, г. Харьков.

Защита состоится " /О" СКТЯГР? 2000 г. в

со

часов на заседании

специализированного ученого совета К 52.051.01 в Таврическом национальном университете им. В. И. Вернадского (95007 г. Симферополь, ул. Ялтинская 4, зал заседаний).

С диссертацией можно познакомиться в библиотеке Таврического национального университета им. В. И. Вернадского (95007 г. Симферополь, ул. Ялтинская 4).

Автореферат разослан

2000 г.

Ученый секретарь

специализированного ученого совета ^

Креминский А. И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Важной проблемой научного знания является его унификация, то есть построение знания по одному (или нескольким, но немногим) образцу, ранжиру, по одной схеме или на одной основе. Чаще всего унификация производится по одному, двум, трем (не более) синтаксическим элементам речевого дискурса. Источниками упомянутых ранжиров является какая-либо наука, сумевшая показать их эффективность при организации собственного материала.

Проблема унификации (обоснования, объединения) научного знания происходит вследствие того, что нет науки вообще, есть отдельные науки. Различия между науками и принципиальная несводимость одних из них к другим достаточно очевидны. Вместе с тем в-силу онтологического единства мира всегда существует тенденция объединения, обоснования, унификации, сведения в общую картину всей совокупности знаний, полученных в конкретных дисциплинах.

Унификация - это менее сильное требование, чем универсализация, а тем более обоснование. Она предполагает приведение формы знания к некоторому единому виду.

Проблема унификации знания существует давно. Известно, что на роль унифицирующей науки претендовали:

- философия (и она, по-прежнему, занимает первое место среди наук, претендующих на первенство);

- логика (авторами логицизма являются Г. Фреге, Б. Рассел);

- история (Г. В. Ф. Гегель, К. Маркс и Ф. Энгельс, В. И. Ленин);

г физика (О. Нейрат, Р. Карнап - в ранний период творчества);

- математика (проекты существенно разрабатывались Р. Декартом, Г. Галилеем, Г. В. Лейбницем, Д. Гильбертом),

В последнее время намечается тенденция в качестве унифицирующей науки видеть кибернетику (Н. Винер, В. В. Шкурба).

Необходимость в философском анализе проблемы унификации возникла в ходе осмысления кризиса математики XX века. Не исключено, что причины подобных дискуссий вокруг этой науки напрямую связаны с попыткой унификации научного знания на основе математики.

В XX веке исследование оснований математики и всего точного знания осуществлялось циклично. Последняя волна приходится (по крайней мере, в советской науке) на 70-80-е годы. Но появился новый (под влиянием кибернетики, информационного оформления общества) практический материал, который нужно осмыслить, освоить в контексте старых проблем оснований математики. Есть возможность это сделать.

Поднимая вопрос о кризисе в классической математике, следует подчеркнуть, что в философии математики это явление признается как факт. "Кризис" был прочно закреплен в математикеЭ. Я. Брауэром с момента появления антиномий (в начале XX века). Проблемы в математике, подтверждающие, что кризис в математике существует, исследованы и изучены досконально. Они проявляются, прежде всего, в антиномичности, трудностях с применением актуальной бесконечности, отрыве математики от эмпирической базы. В диссертации вносятся поправки, в частности, кризис рассматривается в контексте проблемы унификации.

В целом можно выделить два подхода к выходу из кризиса. Первый заключается в том, что классическая математика полезна, имеет большую практическую применимость, эффективность в других науках, следовательно, никакого кризиса в ней нет. Вторая позиция - необходима замена основ классической математики, а именно: возвращение эмпирической базы. Математика с эмпирической базой была создана и получила название конструктивной.

Анализ состояния математики двух последних десятилетий показал, что оба направления решения кризиса являются, по всей видимости, недостаточными.

Всегда существует разрыв между тем, чем является наука в действительности и представлениями о ней. Думается, что суть кризиса - в необходимости отказа от ставших уже традиционными методологических принципов, приобретенных математикой в ходе развития идеи унификации научного знания на базе этой науки.

Формирование новых методологических принципов, отвечающих современному уровню математических знаний, - актуальнейшая задача философии науки.

Связь работы с научными программами, планами, темами. Диссертационное исследование выполнено автором самостоятельно в контексте концептуальных положений гуманитарного образования в Украине, а также проводилось в русле кафедральной темы Крымской академии природоохранного и курортного строительства "Проблема человека в философии и валеоэкологии".

Цель и задачи исследования. Основная цель диссертации, исследовать общее философское содержание процессов унификации, происходящих в науке, посредством анализа унифицирующих средств фундаментальной дисциплины - математики.

Цель исследования конкретизируется рядом задач:

• показать унификацию научного знания в целом на основе различных наук;

• анализируя развитие математики в различных отдаленных культурах, выяснить: в какой точке своего развития (месте и времени) и по каким причинам

зародилась идея проекта унификации на основе математических структур, а также являлась ли эта идея неизбежной, внутренне присущей для математики;

• проследить, как со сменой исторических эпох развивалась и трансформировалась идея унификации научного знания на основе математики. На этом материале провести классификацию видов унификации, а также выделить общие методологические принципы, выработанные в ходе разработки проектов унификации на основе математики;

• рассмотреть основные математические результаты, свидетельствующие о "неблагополучиях" в науке, и выявить связь идеи унификации с этими результатами;

• рассмотреть предмет современной математики;

• в контексте идеи унификации выделить новые методологические принципы, отвечающие уровню современной математики;

• показать кризис математики в новом свете - как кризис методологических принципов, приобретенных этой наукой в ходе развития идей унифицировать научное знание на основе математики.

Объектом исследования выступает научное знание. Предметом диссертационного исследования являются математические способы организации научного знания, сумевшие показать свою эффективность.

Методы исследования. Ведущим методом исследования выступает логический, позволивший обосновывать и строить классификации, делать анализ, вводить основные понятия диссертации и выстраивать их соотношение. В процессе исследования были использованы также:

исторический подход, предполагающий разделение исследуемого объекта на временные этапы в их взаимосвязи;

интервальный подход, который позволяет охарактеризовать тенденцию развития современной математики как тенденцию к дискретизации, в противовес континуальным представлениям;

системный подход, позволяющий рассматривать тело современной математики (представляющее набор дискретных математик) в целостности.

Научная новизна работы. Проблема унификации научного знания не стала предметом специального философского анализа в той же степени, как универсализация, обоснование, аксиоматизация и т. п. явления. Подробное исследование этого явления в философии науки на уровне методологии математики отсутствует. В связи с вышесказанным научная новизна работы конкретизируется рядом результатов:

1) установлено, что идея унифицировать математику возникла еще в Древней Греции. Замечена корреляция: многие крупные кризисы в математике происходили вследствие осознания невозможности унифицировать эту науку;

2) обнаружена тенденция к тому, что в дальнейшем, возможно, на роль

унифицирующей науки будет претендовать информатика,

3) выделены четыре вида унификации научного знания на основе математики,

4) определены методологические принципы математики (надежности, достоверности, единства и единственности, абстрактности, выразимости, всемогущества), сложившиеся под влиянием идеи унификации научного знания на основе математики;

5) обнаружено, что современная математика не представляет собой единое тело науки. Выявлена тенденция к дискретизации. В связи с этим предложено современную математику разделить на три основные части: классическую, конструктивную и конкретную математики. Замечен и актуализирован факт рождения нового вида математики (в противовес к стремлению к обобщениям) - конкретной;

6) представлена новая интерпретация кризиса математики XX века: как неадекватность устаревших методологических принципов этой науки, возникших в ходе попыток реализации проектов унификации научного знания на основе математики, а также предложены новые методологические принципы (в контексте идеи унификации), отвечающие уровню современной математики: конкретности и дискретности.

Практическое значение полученных результатов.

Исследование в своей основе имеет теоретико-методологическую направленность. Предложена новая интерпретация кризиса математики XX века. Такой взгляд позволяет представить проблему в новой методологической перспективе. Отказ от старой методологии, связанной с попытками унификации научного знания на основе математики, позволит направить развитие математики в новое русло - приоритет должны приобрести задачи практического характера, развитию формальных теорий необходимо отвести второстепенную роль. По всей видимости, математика сама обнаружила путь выхода из сложившейся ситуации, сократив усилия к достижению унификации. Можно говорить о том, что появляется новая математика - конкретная, в которой стремление к обобщениям занимает второстепенное место.

Особое значение материалы работы имеют для системы обучения математики. Воспитание творческого мышления у последующих поколений математиков (а не строгого формализма, который обнаруживается в настоящее время) - это проблема номер один в математике. Выход есть: отказаться (временно) от последствий методологического сознания, приобретенного в результате развития идеи унификации научного знания на основе математики. В первую очередь, от увлечения аксиоматическим методом, стремления к обобщениям. В процессе обучения математики необходимо уделить большое внимание творческому решению конкретных задач.

Личный вклад соискателя. Все опубликованные статьи написаны автором самостоятельно. В тезисах доклада, написанных в соавторстве, личный вклад диссертанта состоит в реализации ведущей идеи - рассмотреть роль математики в различных науках.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертационного исследования были апробированы на международных конференциях "Проблемы материальной и духовной культуры народов Причерноморья с античных времен и до наших дней" 22-23 апреля 1998 года, 18-19 ноября 1998 года, 21-22 апреля 1999 года; на XXIX научной конференции ("Дни науки") профессорско-преподавательского состава Таврического национального университета им. В. И. Вернадского (19-21 апреля 2000 года); на научно-технической конференции ("Формирование окружающей среды на урбанизированных территориях Крыма") Крымсгой академии природоохранного и курортного строительства (23-25 апреля 1996 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в статьях и тезисах доклада. Три статьи напечатаны в изданиях, утвержденных ВАК Украины. Общий объем работ составляет 1,2 печатных листа.

Структура диссертации. Цели и задачи исследования обусловили соответствующую структуру работы. Диссертация состоит из введения, трех разделов, выводов и списка использованных источников. Диссертационное исследование подано на 169 страницах, список использованных источников

занимает 18 страниц (включает 225 наименований).

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснованы актуальность темы исследования, цель и задачи работы, определены теоретико-методологические основы исследования, сформулирована научная новизна работы и выделены ее результаты, раскрыта научно-практическая значимость исследования, представлена апробация результатов, показана структура работы.

В первом разделе "Состояние изученности и источники исследования темы" для анализа унификации научного знания использованы достижения многих отраслей науки. В частности, была проработана литература по философии, математике, информатике.

Идея унификации научного знания на базе различных наук выдвигалась и разрабатывалась такими авторами: Н. Винером, Г. Галилеем, Г. В. Ф. Гегелем, Д. Гильбертом, Р. Декартом, Ф. Карнапом, Г. В. Лейбницем, В. И. Лениным, К. Марксом, О. Нейратом, Б. Расселом, Г. Фреге, В. В. Шкурбой.

Исследование проблемы унификации осуществлялось в работах: В. И.

Алексенцева, С. С. Глушкова, N. Сапич^Ы, А. Ь. ИБкеБ, в примечаниях М. А. Ганцева и В. В. Соколова к "Сочинениям в двух томах Р. Декарта".

Кризису математики XX века посвящена обширнейшая литература (Э. Я. Брауэр, Н. Бурбаки, Г. Вейль, П. Вопенка, А. Гейтинг, К. Гёдель, Д. Гильберт, М. С. Козлова, В. В. Мадер, А. Мостовский, В. С. Лукьянец, А. А. Френкель и И. Бар-Хиллел).

К основным проблемам в математике обычно относят: антиномии (Н. Бурбаки X. Б. Карри, В. В. Мадер, А. А. Френкель и И. Бар-Хиллел); трудности, связанные с введением в математику актуальной бесконечности (Н. Я. Виленкин, П. Вопенка, К. Гёдель, Г. Кантор, С. Б. Кадомцев, В. В. Мадер, А. С. Нудельман, сборник, подготовленный по материалам двух Общероссийских конференций по проблемам бесконечности в математике, состоявшихся соответственно в 1995 и 1996 гг., под редакцией А. Г. Барабашева, вступительная статья Н. А. Шанина "О рекурсивном математическом анализе и исчислении арифметических равенств Р. Л. Гудстейна"); наличие эмпирической базы в математике (Н. Бурбаки, X. Б. Карри, В. В. Мадер, Р. Мас1с1у).

Из дискуссий, посвященных кризису в математике в целом, можно выделить два направления. Первую точку зрения (кризиса в классической математике не существует) отстаивали Д. Гильберт, X. Б. Карри и А. А. Френкель. Вторая позиция заключается в том, что кризис в классической математике есть. Большинство причину видят в отрыве математики от эмпирической базы (П. Вопенка, Р. Л. Гудстейн, А. С. Есенин-Вольпин, А. Мостовский, Дж. фон Нейман), другие (эта точка зрения только формируется, ее отстаивает и сам автор) - в методологическом разрыве осознания математики и ее действительным состоянием (М. С. Козлова, В. С. Лукьянец).

Таким образом, кризис математики XX века и его аспекты представлены и изучены в специальной литературе досконально. Однако, рассмотрение проблем математики в рамках проектов унификации научного знания на основе математики является еще в должной мере не разработанной, но достаточно перспективной темой. Автор полагает, что подобный взгляд на проблему поможет адекватнее определить путь развития математики начала третьего тысячелетия и выявить необходимые методы и приемы для большей эффективности системы обучения математики.

Во втором разделе "Сущность математизации научного знания в историко-философском контексте" на первый план выносится сама проблема унификации. Показывается, что идея унифицирующей науки возникает практически сразу - как только налицо определяется процесс разделения наук.

В первой главе рассматривается, каким образом со сменой исторических эпох в роли "царицы наук" выступает та или другая наука, что, конечно, сказывается на культуре и научном знании в целом.

Особое внимание уделяется определению взаимосвязи двух наук, претендующих на первенство: физики и математики. Эта проблема особенно актуальна в настоящее время, так как многие физики, вследствие экспериментальных особенностей в микромире, надеются на помощь математиков - на постижение природы "чистым разумом" (как мы знаем, история помнит немало примеров тому, когда открытия делались "на кончике пера"). Однако, тщательный анализ состояния двух наук показывает, что тесного контакта между ними не существует, во всяком случае, на сегодняшний день.

Полное исследование унификации научного знания потребовало бы много места и не могло вместиться в рамки кандидатской диссертации, так как (как уже говорилось) идея унификации возникла давно (IV в. до н. э.) и на роль "царицы наук" претендовали многие дисциплины: философия, логика, история, физика, математика, а в последнее время эта тенденция намечается даже в информатике. Поэтому мы ограничились меньшей задачей: дать полное исследование унификации научного знания па основе математики. В первой главе на обсуждение выносится классификация видов унификации научного знания на основе математики. Унификацию научного знания (в разное время и различными мыслителями) пытались осуществить:

№1 - на основе особого универсального способа познания мира. В этой связи любая наука, обладающая таким характером познания, видится как супернаука, пранаука, образец всех наук. Так, математика для Лейбница выступила как образец идеи универсальной математики - "науки об открытиях'''. Для Канта математика послужила образцом "новой науки", в ее основе лежал творческий конструктивный характер мыслительной деятельности;

№2 - способом расширения предмета отдельной науки. (Так, Пифагор видел сущность мира в форме математических объектов);

№3 - с помощью универсализации языка науки. Долгое время (и по сегодняшний день) достаточно популярна идея, что таким языком может выступать язык математики;

№4 - способом построения всей суммы знаний по одной всеобщей схеме, принятой в математике в качестве основной. Этот вид проекта оказался самым разработанным. В конце XIX века унификация внутри математического знания выступила в форме определения всех категорий математики на теоретико-множественной основе, ведущим выступил аксиоматический метод.

Рассмотрены разработанность, значение и "жизнеспособность" перечисленных видов унификации средствами математики в научном знании.

Тот факт, что самая абстрактная из всех существующих наук начала на полных правах претендовать на роль науки, объединяющей все научное знание в единое целое, на самом деле, является весьма неожиданным. В связи с этим, во второй главе 2 раздела выясняется время и место зарождения идеи унификации

знания на основе математики. При этом, в первую очередь, интересны причины, по которым математика, весьма далекая от эмпирики внешнего мира, начинает претендовать на роль унифицирующей науки. Не исключено, что этот процесс стал происходить потому, что древние греки убеждаются в несовершенстве органов чувств (зрения, слуха, и т. д.), только измерения и вычисления могут дать реальное представление об окружающем мире. Немаловажную роль при этом (а, может быть, первостепенную) играет особый абстрактный характер открытия математических истин, обнаруженный древними греками. Так, уже Демокрит больше доверяет абстрактному способу познания, чем чувственному (см. полемику Демокрита и Протагора [Маковельский А. О. Древнегреческие атомисты. - Баку, 1946. -397с,, с. 83-84]. У Платона мы находим уже законченный образ математики как идеал достоверного и надежного знания. Такой характер процесса познания замечал каждый, кто хоть немного занимался этой наукой. Например, Кант в математике увидел даже нечто большее - образец особого универсального способа познания мира. В связи с этим поднимается вопрос: является ли образ математики (науки, сумевшей показать эффективность своих унифицирующих свойств) неизбежным, внутренне присущим для нее?

Для решения этой задачи рассмотрены математические знания в других неродственных культурах, а именно: в Древнем Египте, Вавилоне, Древней Индии и Древнем Китае. Выяснилось, что математика Древнего Египта и Вавилона носила прикладной характер и, естественно, не могла служить образцом абстрактного способа познания. В Древней Индии, несмотря на достаточно большие успехи в математике, мы не находим даже зародыша идеи унификации знаний с помощью математики. Да и сомнительно, чтобы она могла возникнуть на этой почве. Особенность индийской философии -иррациональность, поиск внутренней гармонии. Даже представители самого "материалистического" направления индийской философии - ньяйи, не считали абстрактный процесс мышления плодотворным орудием познания. В противовес индийской культуре, в Древнем Китае мы находим первые зародыши идеи унификации, их развитие вполне могло привести к уже оформленным проектам унификации научного знания на основе математики. А именно: в китайской "Книге перемен" (приблизительно VIII - VII в. до н. э.) обнаруживаются зачатки идеи выразить представления о мире с помощью математических объектов (на основе всевозможных комбинаций прерывных и непрерывных линий "расшифровывать" явления действительности), а трактат Мо-цзы (III в. до н. э.) является не чем иным как попыткой систематизировать математическое знание аналогично Евклидовым "Началам" [Березкина Э. И. Математика древнего Китая. - М.: Наука, 1980. - 311с ]. Почему эти идеи дальнейшего развития не получили, сказать трудно. Не исключено, что из-за догматичности и консервативности, царившими в Древнем Китае. Таким образом, на основе сравнительного анализа

математических знаний в различных древних цивилизациях мы приходим к выводу, что, скорее всего, образ математического знания является следствием определенной культуры. Пожалуй, можно согласиться с Освальдом Шпенглером, что "... существует несколько математик... стиль каждой возникающей математики зависит... от того, в какой культуре она коренится, и какие люди о ней размышляют" [Шпенглер О. Закат Европы. Очерки морфологии мировой истории. Образ и действительность. / Пер. с нем. Н. Ф. Гарелина. - Минск: ООО Попурри, 1998. - Т. 1. -688с., с. 96-97].

Третья глава полностью посвящена анализу идей и основных проектов унификации научного знания на основе математики, которые когда-либо возникали с древности до наших дней.

На этой основе мы постарались выделить методологические принципы, которые культивировались мыслителями, участвующими в разработке проектов унификации.

По всей видимости, в начале приоритет математики над другими науками рождается как следствие убежденности древних греков в несовершенстве восприятия мира органами чувств. Убедившись в надежности и достоверности знаний, которые дают измерения и вычисления, древние греки продолжают искать особый образ математического знания.

Предтечей проекта унификации научного знания на основе математики можно считать Пифагора (если согласиться со всеми легендами, дошедшими до нас как с существовавшими фактами) с его знаменитым лозунгом "все есть число" (вид унификации №2). Самый влиятельный философ античности -Платон, подчеркивая абстрактность математических знаний, сыграл существенную роль в деле популяризации идеи о математике как о надежном и достоверном средстве познания мира (вид унификации №1). (Как известно, этот принцип впоследствии был непомерно возвеличен Кантом). Так, в математике выделяется наиболее характерный для нее принцип - абстрактность. Евклид в математике совершил то, что в дальнейшем многим мыслителям дало образец развития проекта унификации на основе математики по одной схеме (вид унификации Л1>4). Он создал единую и единственную геометрию таким образом, что (зафиксировав вначале недоказуемые истины) из простых знаний выводились более сложные. Эта систематика получила название аксиоматического метода. Таким образом, в деле развития математики как унифицирующей науки складываются два решающих методологических принципа - единство и единственность.

Естественным для математики становится методологический принцип выразимости. Его математика приобретает при развитии проекта унификации на основе математики как универсального языка науки (вид унификации №3). Этот принцип особенно прочно закрепился в науке после того, как были

совершены удачные попытки выразить физические явления количественно, в частности, определился новый подход к законам природы как к законам функционального типа. Пионерами на этом поприще были: Роджер Бэкон, Томас Брадвардин, Николай Орем, Рене Декарт, Галилео Галилей, Исаак Ньютон. Фридрих Вильгельм Лейбниц вплотную приступил к разработке универсального языка науки и достиг столь существенных результатов, что в XX веке его идеи были положены а основу символической логики. Однако, до конца осуществить этот проект не удалось.

Важный методологический принцип математика приобрела уже в конце XIX века, когда математикам (окрыленным большими успехами) казалось, что проект осуществления унификации самой математики уже близок. Математики уверовали во всемогущество своей науки.

Третью главу 2 раздела мы заканчиваем описанием самого законченного проекта унификации, представленного Давидом Гильбертом (1862-1943) в XX веке. В его планы входило не только систематизация математики, но и унификация средствами математики всего научного знания. Достичь своей цели он собирался с помощью аксиоматического метода. В 1900 г., выступая со знаменитым докладом "Математические проблемы" [Проблемы Гильберта. - М.: Наука, 1983. -237с.] на11 международном Конгрессе математиков, проходившем в Париже, 6-й проблемой (на рассмотрение было представлено 23 проблемы), Гильберт ставит задачу: необходимо "математическое изложение аксиом физики". Всемогущество математики на тот момент ни у кого не вызывало сомнений. Фиаско Гильберт потерпел в 1930 году, когда была опубликована работа Курта Гёделя, так называемая теорема о неполноте.

Результатом исследования 2 раздела стало выделение методологических принципов математики, сформированных в ходе разработок проектов унификации на основе математики как универсального языка науки (вид унификации №3), как универсального средства познания (вид унификации Kai), а также по одной всеобщей схеме (вид унификации №4): надежность и достоверность, абстрактность, единство и единственность, выразимость, всемогущество.

(Фактически математика не приобретает никаких методологических принципов лишь в ходе реализации проекта унификации за счет расширения предмета (вид унификации №2). Это и естественно, так как мало того, что сам проект слишком фантастичен, к тому же он никогда не был достаточно разработан).

Эти результаты были получены для того, чтобы в третьем разделе "Кризис математики XX века в контексте унификации современного научного знания" представить новую интерпретацию кризиса математики XX века .

В первой главе третьего раздела подробно рассматривается проблема

и

трудностей математики XX века: обсуждаемые в литературе причины кризиса и пути выхода из него. Предлагается свой взгляд на проблему: кризис математики XX века есть кризис той методологии, которую постепенно приобретала математика под воздействием идеи унифицировать научное знание. Отмечено, что кризисы, ранее возникавшие в математике, часто были обусловлены теми же попытками унификации. Так, пифагорейцы обнаружили, что диагональ единичного квадрата не может быть выражена никаким рациональным числом. Тем самым выяснился факт: невозможно связать арифметику и геометрию. Другой крупный кризис в математике произошел вследствие открытия неевклидовых геометрий (начало XIX века). Приходилось решать вопрос о том, какая из геометрий единственно верная. В обоих случаях обнаруживалась невозможность рассматривать математическое знание как единое целое.

Во второй главе рассматриваются первые признаки неблагополучия в математике - антиномии, обнаруженные в начале XX века. Излагаются основные положения трех направлений в математике: формализма, интуиционизма и логицизма, возникшие как следствие попыток излечить математику. Предлагается точка зрения: обнаруженные антиномии показали, что математика перестала обладать методологическими принципами надежности, достоверности и всемогущества. Снятие с математики претензий на достоверность, надежность и всемогущество даст более четкий адекватный образ математики - отрасль знания, имеющая право на парадокс так же, как и любая другая наука.

В третьей главе поднимается вопрос о бесконечности в математике -одного из самых уникальных явлений в этой науке. Отмечается, что попытка ввести актуальную бесконечность в математику осуществлялась еще в древности. Трудности, вскрытые Зеноном (в апориях "Ахиллес и черепаха", "Дихотомия"), побудили греков совершено отказаться от употребления в математике актуальных бесконечных процессов. Использование актуальной бесконечности в математике исподволь начинается лишь в XVIII веке. Пальму первенства в этом вопросе история справедливо отдает Георгу Кантору (1843 - 1918). Именно им в основу математики был положен постулат о существовании бесконечного множества на отрезке.

Введение в математику актуальной бесконечности в конце XIX века позволило четко обосновать действительное число. В дальнейшем действительные числа заменили более обобщенным понятием - множествами. Последующее развитие идей унификации математики показало, что теория множеств может быть тем фундаментом, на котором будет построена вся классическая математика. Таким образом, введение актуальной бесконечности явилось мощным средством достижения цели унификации самой математики.

Неожиданно на пути полной унификации математики возникли трудности (в первую очередь, по причине абстрактности самого понятия

бесконечности, так как нельзя указать ни одного объекта в природе, обладающего свойством актуальной бесконечности, следовательно, в дальнейшем при развитии математической теории ссылаться на опыт и чувственную интуицию уже будет невозможно). В тексте выделены три основные проблемы, связанные с актуальной бесконечностью.

1. Некоторые задачи оказались принципиально неразрешимыми, например, континуум-гипотеза (в диссертации она приводится полностью). Рассматривая эту проблему в рамках проекта унификации, этот результат можно трактовать как то, что математика не обладает методологическим принципом всемогущества.

2. Результаты Курта Гёделя (1906 - 1978) и Пола Коэна (р. 1934) (соответственно в 1938 и 1963 годах) показали, что существует много различных равноправных математик, сосуществующих таким же образом, как евклидова и неевклидова геометрия. Выбрать "истинную" аксиоматику, отражающую "фактическое положение вещей", оказалось невозможным. Рассматривая этот факт в контексте проектов унификации, предлагается новый взгляд на проблему : введение актуальной бесконечности противоречит обязательным принципам унификации единства и единственности, гак как обнаружился факт множественности математик.

3. В стремлении унифицировать саму математику на первый план вышло решение математических задач формального характера, на второй план ушли проблемы практического применения. Появилось огромное количество теорий, рождение которых обусловлено лишь формальными соображениями. Это привело к распылению математики. В литературе по философии естествознания появилось много выступлений о том, что математика оказалась "низведена к игре, происходящей в некотором искусственном мире".

Исторически попытки найти выход из кризиса осуществлялись в другом русле: многим математикам казалось, что возвращение бесконечности эмпирической базы позволит избежать вышеперечисленных затруднений. Выяснилось, что, изменяя онтологический статус бесконечности, решить все проблемы не удается, так как автоматически поднимается ряд других (в первую очередь, приходится отказаться от классической математики и заменить ее новой молодой теорией, то есть отказаться от математических знаний, накопленных в течении XXV веков). Анализ новых математик, полученных путем изменения свойств бесконечности осуществлен в пункте 3.3.3. "Бесконечность в конструктивной математике". Итогом третьей главы является тезис: бесконечность в математике оказалась далеко неуниверсальным средством достижения унификации математики. Трудности, связанные с применением актуальной бесконечности, в основном, вызваны традиционными представлениями о единой, единственной и всемогущей математике.

В четвертой главе 3 раздела поднимается проблема выразимости языка классической математики. Математические результаты, дающие нам сведения о невыразимости первоначальных понятий классической математики, обычно относят к антиномиям (например, широко известный парадокс Сколема). Таким образом, этот вопрос должен быть помещен нами в первую главу, но мы намеренно выносим эту проблему отдельно. Результаты о невыразимости первоначальных понятий классической математики давно нуждаются в должном философском освещении. Уже во времена Декарта и Галилея широко господствовала идея о необходимости оформления научных знании на языке математики. В настоящее время эта идея обрела такую степень значимости, что ни одно открытие в естествознании не признается до тех пор, пока оно не "обрастает" математическими выкладками, схемами, формулами. Проект унификации на основе математики как универсальною языка, на котором должно быть записано все научное знание, на сегодня является самым "живучим". Мало кому известны математические результаты, свидетельствующие о невыразимости первоначальных понятий классической математики на ее же языке, Таким образом, строгие доказательства (следствия из теорем Гёделя, Лёвингейма-Сколема, Гёделя-Мальцева) о невозможности осуществления проекта унификации на основе математики как универсального языка науки (вид №3), во всяком случае, средствами самой классической математики, получают должное философское осмысление и необходимую популяризацию.

Пятая глава посвящена самой обсуждаемой и злободневной теме в философии математики: ее предмету. Единого мнения по этому вопросу не существует и в связи с этим предлагается классификация взглядов на предмет математики, Наиболее адекватной, по нашему мнению, является классификация, предложенная X. Б. Карри [Карри X. Б, Основания математической логики. I Пер. с англ. В. В. Донченко. - М.: Мир, 1969. - 568с., с. 27-29]. Мы приводим ее с уточнением на современность и делаем вывод: в настоящее время на предмет математики преобладающими являются две точки зрения - формальная и контенсивистская. Для объективного ответа на вопрос о предмете современной математики нам представляется следующий путь (так как по этой схеме строили все известные сейчас математики): размытость предмета математики можно устранить, если определить природу первичных элементарных сущностей. Такими элементарными сущностями в математике всегда выступали числа. В настоящее время математическая наука знает три способа определения натурального числа: построение натурального числа по Фреге (логистическое), конструктивное построение натурального числа и построение натурального числа на базе аксиом Пеано. В работе тщательно разбираются все три способа не только для того, чтобы яснее определить природу математики, но и потому, что это дало возможность полнее и глубже раскрыть (в контексте унификации)

сущность созданных на этой основе трех направлений в математике: логицизма, формализма и конструктивизма.

Проведенный анализ, а также новейшие данные, почерпнутые из информатики, позволили выделить в теле современной математики три составляющие: классическую, конструктивную и конкретную математики. Причем, классическая и конструктивная математики жестко разделены, так как у них различная база. Связующим звеном выступает конкретная математика: в ней заимствуются методы как из классической, так и из конструктивной математик.

Таким образом, тело современной математики не едино (в противовес общепринятому мнению), а дискретно. При этом отмечается, что конкретная математика только зарождается, но в ней обнаруживается важная тенденция: она не преследует целей унификации, в ней нет стремления к обобщениям. В связи с этими результатами, предложены новые методологические принципы (в контексте идеи унификации), отвечающие уровню современной математики: конкретности и дискретности.

Заканчивая 3 раздел, мы еще раз подчеркиваем: нами представлена одна из интерпретаций кризиса как неадекватность уровню состояния современной математики старых методологических принципов, участвующих в проекте идеи унифицировать математику и все научное знание. Факт рождения конкретной математики (его можно рассматривать как естественный выход из кризиса, так как эта наука не преследует целей унификации) есть реальное подтверждение наших выводов.

В выводах проведенного исследования получены следующие результаты:

I. Выделены виды унификации на основе математики. Унификацию (в разное время и различными мыслителями) пытались осуществить:

№1- на основе особого универсального способа познания мира. Например, математика для многих мыслителей явилась образцом творческого конструктивного характера мыслительной деятельности;

№2 - способом расширения предмета отдельной науки. (В основе мира лежит в большинстве вариантов число; в других вариантах - пространство. Тогда все есть число и отношение между числами или все есть пространство и его характерные компоненты);

№3 - с помощью универсализации языка науки. В настоящее время достаточно популярна идея, что таким языком может выступать язык математики;

№4 - способом построения всей суммы знаний по одной всеобщей схеме, принятой в математике в качестве основной. Такой универсальной схемой всегда выступал аксиоматический метод.

II. Определены методологические принципы, сформированные в

результате осуществления проектов: всемогущество, единственность, единство, выразимость, абстрактность, достоверность, надежность.

III. Также в качестве "кризисных" были предложены три основных явления классической математики:

1) антиномии;

2) значительные трудности с применением актуальной бесконечности;

3) отрыв от эмпирической базы.

Указанные аспекты кризиса рассмотрены в контексте идеи унификации.

IV. Предлагается новый взгляд на современную математику: ее тело не монолитно, а, напротив, дискретно. В таком случае, современную математику можно разделить на три составляющие: классическую, конструктивную и конкретную математики. Актуализирован факт рождения нового вида математики - конкретной. В связи с этими результатами предложены новые методологические принципы (в контексте идеи унификации), отвечающие уровню современной математики: конкретности и дискретности.

В соответствии с результатами I, II, III, IV предлагается новая интерпретация кризиса математики XX века - как кризис устаревших, не отвечающих современному уровню этой науки методологических принципов, возникших в ходе попыток реализации проектов унификации научного знания на основе математики.

Список опубликованных работ по теме диссертации:

1. Сафонова Н. В. Трансцендентальное исследование математики Кантом. //Вестник СевГТУ. - Севастополь, 1999. - Вып. 17. - С. 61-66.

2. Сафонова Н. В. Познание бесконечности. Возможно ли это средствами математики? // Культура народов Причерноморья. - Симферополь, 1998. - №5, -С. 444-446.

3. Сафонова Н. В. Что изучает математика? // Культура народов Причерноморья. - Симферополь, 1999. - №8. - С. 173-178.

4. СафоноваН. В.,ГорбаньА.В,,ШембелеваЕ. А. Уровни математизации валеоэколопга. // Формирование окружающей среды на урбанизированных территориях Крыма: Материалы научно-технической конференции (23-25 апреля 1996 г.) Часть II. - Симферополь, 1996. - С. 80-81.

Анотации

Сафонова Н. В. Ушфтащя наукового знания на ochobí математики. -Рукопис.

Дисерташя наздобуття наукового ступеня кандидата фшософських наук за спещальтстю 09.00.01 - онтолопя, гносеолопя, феноменололя. -Тавршський нацюнальнии утверситет ím. В. I. Вернадского, Омферополь, 2000.

Дисертащйне дослщження було обумовлене необхщшстю виявлення причин кризи математики, яка склалася в XX столггп. Запропоновано нову ¡нтерпретацио кризи в контекст! ¡дей ушфгкаци - кризи застарших, не вщповщних сучасному р1вню ше! науки методолопчних принцигав, яю беруть участь у проекп ушфкацн наукового знания на основ1 математики. В зв'язку з цим видшено чотири види ушфшацй наукового знания на основ! математики, а також встановлено методолопчш принципа математики, яю склалися в ход1 розвитку проекпв ушфкаци на основ! математики. Можна вважати, що нампчшась нова тенденция розвитку математики - поворот до конкретизацп на противагу до пануючого на протяз! столптя прагненню до узагальнення. Про правильность тако! точки зору говорить актуашзащя появи ново! математики - конкретно!. У зв'язку з цими результатами запропоноваш нов1 методолопчш принципи (у контекст! ще! ушфшацн), що вдаовщають р1вню сучасно! математики: конкретносп 1 дискретности

Ключов! слова: ушфтащя, криза, формалЬм, штущюшзм, лопцизм, математика: сучасна, класична, конструктивна, конкретна.

Сафонова Н. В. Унификация научного знания на основе математики. -Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата философских наук по специальности 09.00.01 - онтология, гносеология, феноменология. -Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского, Симферополь, 2000.

Диссертационное исследование было обусловлено необходимостью выяснения причин кризиса математики, сложившегося в XX веке. Данная работа является попыткой представить новою интерпретацию кризиса математики XX века - в рамках проекта унификации.

Исследуется сама проблема унификации на базе различных наук (логики, истории, физики, математики, информатики). Выделены четыре вида унификации на основе математики и рассмотрены их разработанность, значение и "жизнеспособность".

Показывается, что идея унификации возникла в Древней Греции. Вероятно, потому, что древние треки убеждаются в несовершенстве органов чувств (зрения, слуха и т. д.), только измерения и вычисления могут дать реальное представление об окружающем мире. Немаловажную роль при этом (не исключено, что и первостепенную) играет особый абстрактный характер открытия математических истин, обнаруженный древними греками. Автора интересует вопрос: является ли замеченный древними греками особый образ математики (позволивший в конечном итоге вылиться в идею унификации

научного знания на основе этой науки) неизбежным, внутренне ей присущим? В этой связи проводится поиск идей унификации на основе математики в других древних неродственных культурах - Древнем Египте, Вавилоне, Древней Индии и Древнем Китае. Зачатки этих идей обнаруживаются только в Древнем Китае. На основе этого исследования автор приходит к выводу (впервые прозвучавшему в работах О. Шпенглера), что образ математического знания является следствием определенной культуры.

Изучаются основные проекты унификации на основе математики с древности и до наших дней. Авторами и философами, сыгравшими существенную роль в развитии идей проектов, являются Аристотель, Пифагор, Платон, Ямвлих, Прокл, Роберт Гроссетест, Роджер Бэкон, Томас Брадвардин, Николай Орем, Рене Декарт, Галилео Галилей, Фридрих Вильгельм Лейбниц, Иммануил Кант, Давид Гильберт. Анализ показал, что в ходе развития проектов математика приобрела ряд методологических принципов: надежности, достоверности, абстрактности, единства и единственности, выразимости, всемогущества.

Основные аспекты кризиса математики XX века исследуются с позиций идеи унификации.

Рассмотрены первые признаки неблагополучия в математике -антиномии, обнаруженные в начале XX века. Излагаются программы трех направлений в математике: формализма, интуиционизма и логицизма, возникшие как следствие попыток "излечить" математику. Предлагается точка зрения: обнаруженные антиномии показали, что математика перестала обладать методологическими принципами надежности, достоверности и всемогущества.

Поднимается вопрос о роли актуальной бесконечности в математике. Первые значительные успехи дали математикам уверенность в том, что введение актуальной бесконечности оказалось эффективным средством к достижению полной унификации самой математики. Сообщаются известные способы избежания трудностей, связанных с введением актуальной бесконечности в математику, в частности, путем изменения онтологического ее статуса. Эти проблемы рассмотрены автором в другом русле - в контексте проектов унификации. А именно: введение актуальной бесконечности оказалось далеко не универсальным средством достижения унификации самой математики.

Особое внимание уделяется выразимости языка классической математики, не нашедшей должного освещения в литературе по философским проблемам математики. Проект унификации на основе математики как универсального языка науки на сегодня является самым "живучим" (по-прежнему ни одно открытие в естествознании не признается до тех пор, пока оно не "обрастает" математическими выкладками, схемами, формулами). Однако, получены строгие доказательства (следствия из теорем Гёделя, Лёвингейма-

Сколема, Гёделя-Мальцева) о невыразимости первоначальных понятий классической математики своими языковыми средствами. Проект унификации на основе математики как универсального языка науки (во всяком случае, средствами самой классической математики), пока не осуществим.

Тщательному исследованию подвергается предмет математики. Представлена классификация взглядов на природу математики. В связи с этим рассматривались три способа основания натуральных чисел: логистический, аксиоматический и конструктивный. Проведенный анализ, а также новейшие данные, почерпнутые из информатики, позволили выделить в теле математики три составляющие: классическую, конструктивную и конкретную математики. При этом отмечается, что конкретная математика только зарождается, но в ней обнаруживается важная тенденция: она не преследует целей унификации, в ней нет стремления к глобальным обобщениям. В связи с этими результатами предложены новые методологические принципы (в ко тексте идеи унификации), отвечающие уровню современной математики: конкретности к дискретности.

В заключении подчеркивается еще раз: автором представлена одна из интерпретаций кризиса математики XX века как кризиса устаревших, не отвечающих современному уровню этой науки методологических принципов, участвующих в проекте идеи унифицировать научное знание на основе математики. Зарождение конкретной математики есть реальное подтверждение этих выводов.

Ключевые слова: унификация, кризис, формализм, интуиционизм, логицизм, математика: современная, классическая, конструктивная, конкретная.

SafonovaN. V. Unification of scientific knowledge on the basis of mathematics. - Manuscript.

Thesis for candidate degree in Philosophy. Speciality 09. 00. 01 - ontology, epistemology, phenomenology. - National Taurida V. Vernadsky University, Simferopol, 2000.

The thesis suggests a philosophic insight into a very important problem of unification of scientific knowledge on the basic of mathematics as it was necessary to find out the reasons of crisis of mathematics, established in XX century. It offers a new interpretation of crisis in context of the idea of unification. It is crisis of outdated inadequate to a modern level of this science methodological principles that are used in the project of unification of scientific knowledge on the basis of mathematics. In this connection, four kinds of unification of scientific knowledge on the basis of mathematics are determined, and methodological principles of mathematics are established. The methodological principles were formulated as projects of unification on the basis of mathematics were developing. It is possible to consider, that the new tendency of

development of mathematics has displayed, i. e. that is a tijra from generalization to a concrete definition. Correctness of such point of view is proved by actualization of appearing of new mathematics i. e. concrete mathematics. In connection with these results, the new methodological principles are offered. They are in context of idea of unification and adequate to a level of modern mathematics. The principles are the following: concrete definition and discreteness.

Key words: unification, crisis, formalism, intuitionism, logisism, mathematics: modem, classical, constructive, concrete.