автореферат диссертации по истории, специальность ВАК РФ 07.00.10
диссертация на тему: Неопубликованные материалы Эйлера по аналитической теории чисел

Полный текст автореферата диссертации по теме "Неопубликованные материалы Эйлера по аналитической теории чисел"

РГБ ОД 2 7 ОКТ 1998

На правах рукописи

ГОРЛОВЛ Виктория Дмитриевна

НЕОПУБЛИКОВАННЫЕ МАТЕРИАЛЫ ЭЙЛЕРА ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ 11 ЕГО ЗАПИСНЫХ

КНИЖКАХ

07.00.10 — история науки и техники

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Оренбург —1998

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии Оренбургского государственного педагогического университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Матвиевская Г. П.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Коробов Н. М.

кандидат физико-математических наук Петрова С. С.

Ведущая организация: Российский государственный гуманитарный университет

Защита состоится « /Я» ОЛ/71 1998 г. в /£Г часов на заседании диссертационного совета К 003.11.04 при Институте истории естествознания и техники РАН им. С. И. Вавилова по адресу: 103012, Москва, К-12, Старопанский пер., 1/5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИИЕиТ РАН им. С. И. Вавилова

Автореферат разослан «. » 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

И. О. Лютер

Леонард Эйлер (1707—1783) является одним из самых славных в плеяде выдающихся математиков всех времен. Им оставлен важный след практически во всех частях современной ему математики. Крупнейшие математики XVIII — XIX вв. всегда признавали, что многим обязаны Эйлеру и усердно читали его. П. Лаплас (1749 — 1827) не раз говорил: «это наш общий учитель». Еще более определенно выразился К. Гаусс (1777 — 1855), утверждавший, что изучение работ Эйлера остается наилучшей школой в различных областях математики, ничто другое не может этого заменить. И сегодня, более чем через два века после смерти Эйлера, когда все математические науки претерпели значительные изменения, уйдя далеко от концепций, методов и результатов XVIII века, его труды продолжают оказывать влияние на прогресс современной математики.

Помимо огромного количества опубликованных трудов, Эйлер оставил обширное научное наследие неопубликованных рукописей, заметок, записных книжек. На записные книжки, хранящиеся в Санкт-Петербургском филиале Архива РАН (ф. 136, оп. 1, №№ 129 — 140), исследователи научного творчества Эйлера обратили особое внимание (Г. Энестрем, В. И. Смирнов, Г. К. Михайлов, Г. П. Матви-гвская, Е. П. Ожигова, А. А. Киселев, И. Г. Мельников, Ю. А. Белый, Р. И. Галченкова, Э. Кноблох). Оказалось, что они являются подлинным кладезем разнообразных идей великого ученого.

Записные книжки представляют собой научные дневники полувековой деятельности Эйлера общим объемом 4000 страниц. Можно :казать, что они отражают в хронологическом порядке ход его работы над различными проблемами и показывают, какой широкий круг вопросов был им охвачен.

Много страниц посвящено теории чисел, в которой достижения Эйлера особенно велики. Создание теории квадратичных вычетов, вопросы представимости целых чисел заданными формами, обширный круг проблем теории делимости, диофантова анализа — таков неполный перечень его результатов в этой области математики. Здесь ему удалось плодотворно применить весь багаж аналитических методов и поставить ряд проблем, часть из которых нашла свое решение пишь в последнее время.

Материалы по теории чисел из записных книжек Эйлера исследовались Г. П. Матвиевской, Е. П. Ожиговой, А. А. Киселевым, И. Г. Мельниковым. Они изучали заметки, касающиеся диофантова анализа, теории делимости, вопроса об «удобных» числах и определенных

моментов аналитической теории чисел. Г. П. Матвиевская и А. А. Киселев рассмотрели записи, содержащие задачи теории разбиения чисел на слагаемые (рапШо питегогит); Г. П. Матвиевская выделила записи Эйлера, близкие к постулату Бертрана. Однако заметки, относящиеся к аналитической теории чисел, в основном остались неисследованными. Наша работа посвящена изучению записей, затрагивающих различные проблемы аналитической теории чисел из записных книжек Эйлера. ........

Актуальность темы исследования определяется важностью изучения научного наследия Эйлера для истории математики. Обилие найденного материала вынудило нас сосредоточиться на одном из направлений в исследованиях Эйлера — на фактах, относящихся к теории дзета-функции. Целью диссертационного исследования является выявление, систематизация и анализ заметок, содержащих элементы теории дзета-функции и их применение к вопросам распределения простых чисел.

Для достижения цели нами решались следующие задачи:

- обзор исследований Эйлера по аналитической теории чисел и теории дзета-функции;

- обзор исследований Эйлера по теории рядов;

- отбор заметок, содержащих элементы теории дзета-функции и теории распределения простых чисел;

- проведение классификации изучаемых архивных материалов;

- сопоставление исследуемых заметок с опубликованными работами и научной перепиской Эйлера.

Методы исследования включают в себя:

- историко-научный и математический анализ оригинальных работ Эйлера;

- историко-методологический анализ использования и развития

ш

методов суммирования рядов вида в записных книжках Эйле-

ру

ра- :".

Научная новизна работы. Все основные результаты диссертации являются новыми. Впервые по материалам записных книжек Эйлера удалось воссоздать картину развития у него идеи суммирования ря-

.. СО

дов вида . Освещен путь, который прошла эта идея от уровня

конкретной задачи до уровня математического аппарата, позволив-

шего Эйлеру заложить основы теорий дзета-функции и распределения простых чисел.

Практическая ценность результатов диссертационного исследования состоит в том, что они

1) могут быть использованы при дальнейшем исследовании творчества Эйлера;

2) помогают дополнить историю формирования теорий дзета-функции и распределения простых чисел;

3) могут быть использованы при разработке учебников, монографий, учебных пособий, лекционных курсов и т.п. по математиче- ' скому анализу, аналитической теории чисел, истории математики.

Основные положения, выносимые на защиту:

- изучение творческой лаборатории Эйлера на примере его исследований в области аналитической теории чисел;

- уточнение датировки некоторых неопубликованных материалов;

- установление причин и времени появления в исследованиях Эйлера тех или иных результатов;

- анализ фактов теории дзета-функции и распределения простых чисел в записных книжках Эйлера.

Апробация результатов исследования. Основные результаты докладывались:

- на заседании сектора истории математики ИИЕиТ РАН в рамках 54 и 55 пленумов Национального комитета по истории и философии науки и техники в Москве (1996, 1997);

- на спецсеминаре по истории математики в МГУ (1997);

- на семинаре по истории математики ИИЕиТ РАН в Москве (1998);

- на XXII научно-практической конференции преподавателей Оренбургского государственного педагогического университета (1998).

Объем и структура работы. Диссертация содержит 127 страниц текста, состоит из введения, четырех глав и заключения, списка литературы из 144 наименований, а также приложения, содержащего копии 9 страниц из записных книжек Эйлера.

Содержание и основные результаты работы. Во Введении обосновывается актуальность темы исследования, дается краткий обзор литературы, формулируется цель работы и приводится обзор содержания диссертации с делением на главы и параграфы.

Первая глава посвящена анализу творчества Эйлера в области аналитической теории чисел и состоит из трех параграфов.

В первом параграфе дана характеристика результатов Эйлера в области аналитической теории чисел и оценка их значения для развития математики. Рассматриваются некоторые мемуары Эйлера: 1) «ОЬзег/аПопез апа!уИсае уапае (1е сотЫпаНошЬш», в котором приводится аналитическое решение задачи Ф. Ноде (найти, сколькими различными способами данное число т может быть получено путем сложения между собой ц целых чисел, равных или неравных); 2) «Ое рагШюпе пишегогиш», в котором Эйлер выводит формулу п(т) =(п-1)(<л) +(п-2)(со) -(п-5){т)-(п- 7)(">) +...+

М-1)

к-1

Зк -к

Зк +к

2

ri-

vas п<т) обозначает число всех разбиений п и где (х)= 0 при х <0 и (ОГ - 1; 3) «Demonstration theorematis circa ordinem in summis divisorum observatum», в котором доказана рекуррентная формула для суммы делителей числа п:

о(п)=и(п- 1) + с(п-2)-а(п-7)+...+

к-1

i 3k2 -fcl Зк2 + к

n--— + o n--

l 2 У l 2 )

где о(х) -0 при х < Око (0) = я, а также дается вывод формулы

Зк2 у к

+00

где

Зк2 -к

П(1-х*)- Ж-lfx

п=1 к=-оо

- пятиугольное число; 4) «Variae observationes circa series

infinitas», где впервые приведено тождество

•• , со

n-V«!*-".

pi- k=i

из которого следует новое доказательство бесконечности множества ' простых чисел; 5) помимо полученного здесь тождества Эйлер нашел для дзета-функции функциональное уравнение, которое опубликовал в мемуаре «Remarques sur un beau rapport entre ies sériés des puissances

tant directes que réciproques»; 6) в письме к Гольдбаху от 28 октября 1752 г. он отмстил, что число простых чисел, меньших данного N, примерно равно In N.

Так как теории дзета-функции и рядов тесно связаны между собой, то встала необходимость дать обзор развития теории рядов в трудах Эйлера. Это сделано во втором параграфе. Здесь указана литература по данному вопросу, дается общая характеристика учения о рядах в XVIII в., рассмотрен вклад Эйлера в развитие теории рядов.

Анализ опубликованных исследований по бесконечным рядам и материалов записных книжек позволяет заключить, что все его работы по этой тематике можно разбить на три группы:

1. Работы по геометрии, механике, астрономии (до 1730 г.), в которых бесконечные ряды встречаются эпизодически и выполняют подсобную роль в качестве математического аппарата.

2. Работы, в которых сделаны успешные попытки систематизации известных фактов из теории рядов и разработаны отдельные новые вопросы этой теории (1730 — 1740 гг.). За это десятилетие, помимо использования бесконечных рядов для прикладных целей, Эйлером написаны специальные работы, в которых основным объектом исследования являются ряды и связанные с ними понятия. Им были сформулированы признак сходимости знакоположительных рядов и необходимый признак сходимости, получена формула суммирования по общему члену.

3. Работы, написанные после 1740 г., в которых Эйлер проявил повышенный интерес к расходящимся рядам. В этот период он приходит к обобщению понятия суммы ряда, вводит и применяет обобщенное суммирование.

Далее в этом параграфе рассмотрены исследования Эйлера по теории тригонометрических и биномиальных рядов.

В третьем параграфе дается исторический обзор попыток сумми-

со

рования рядов вида в работах предшественников Эйлера — Н.

к = 1

Орема, П. Менголи, Г. Лейбница, И. I Бернулли, Я. I Бернулли, Д. Бернулли, H. I Бернулли, X. Гольдбаха. Здесь же проанализированы мемуары Эйлера, содержащие элементы теории дзета-функции, приводятся как частные, так и общие методы суммирования рядов вида

со , .

2>-2и , реферируется мемуар «Remarques sur un beau rapport entre les k=l

sériés des puissances tant directes que réciproques», где выведено функциональное уравнение для дзета-функции.

Вторая глава диссертации содержит общее описание и характеристику записных книжек и неопубликованных материалов (ф. 136, оп. 1, № 175) Эйлера. В исследованиях мы придерживались датировки записных книжек, данной Г. П, Матвисвской в статье «О неопубликованных рукописях по диофантову анализу» (1960).

Поскольку заметки, относящиеся к одной теме, разбросаны в различных местах одной и той же или, еще чаще, в разных записных книжках, то прежде всего встал вопрос о классификации всех изученных записей. Для этого были отделены и собраны воедино все заметки, касающиеся аналитической теории чисел. После этого весь материал был распределен по четырем большим разделам:

- проблемы Гольдбаха;

- вопросы partitio numerorum;

- многоугольные числа в их приложении к вопросам аналитической теории чисел;

- элементы теорий дзета-функции и распределения простых чисел.

Следующим этапом работы явилась более подробная классификация в каждом из этих разделов, после чего стало возможным непосредственное исследование отдельных записей. Оно заключалось в следующем: 1) расшифровка записи; 2) перевод ее с латинского языка; 3) выяснение математического содержания заметки; 4) ее сопоставление с мемуарами Эйлера, близкими по содержанию; это давало возможность установить, относится ли данная заметка к напечатанной статье или же она является новой и имеет самостоятельный интерес; 5) краткие комментарии в наиболее существенных местах.

Исследование показывает, что периодом наиболее интенсивной творческой деятельности Эйлера в области аналитической теории чисел являются годы 1736 — 1745 и 1767 — 1783. Поскольку факты тео-

00

рии дзета-функции тесно связаны с изучением рядов вида £" » то

к 'I

исследуемью материалы, касающиеся этого вопроса, их взаимосвязи можно схематически представить так, как показано на рис. 1.

В третьей главе описываются и анализируются заметки, касаю-

СО

щиеся рядов вида и рядов, родственных им.

к=1

Рис. 1

В первом параграфе этой главы собраны заметки по суммировало

ишо рядов вида и рядов, им родственных. Они распределены

к = 1

по трем группам: 1) формула суммирования по общему члену, ныне носящая имя Эйлера — Маклорена; 2) суммирование рядов вида

ОЭ ~ 00

^к~2п \ 3) задачи суммирования рядов, родственных рядам ]Г/с", а-=; ■ к=г

связанные с именем Гольдбаха.

Первую группу составляют заметки, содержащие различные модификации формулы суммирования Эйлера — Маклорена как по числу найденных слагаемых, так и по самому виду формулы и ее коэффициентов; вычисления приближенных значений сумм рядов 00

, исследование частичных сумм гармонического ряда.

к=1

Здесь впервые показано, что уже к 1745 г. Эйлер знал о связи коэффициентов в формуле суммирования Эйлера — Маклорена с числами Бернулли. Найдены черновые записи, касающиеся получения некоторых результатов, позже опубликованных во «Введении в анализ бесконечных» и «Дифференциальном исчислении».

Вторую группу составляют материалы: а) содержащие прибли-

00

женные вычисления сумм рядов вида ^к~2п ; б) иллюстрирующие

к=1

со

свойство сумм £/Г2" быть пропорциональными соответствующим

к=1

00

степеням я и процесс вычисления сумм ^к~2п ; в) посвященные изу-

к=1

00

чению рядов, выражающихся через ряды ^к~2п .

к=1

На основании изучения этих материалов установлено, что 1) ме-

оо

тод суммирования рядов вида ~£к~2п , основывающийся на разложу

жении котангенса на простые дроби, был известен Эйлеру более чем за 10 лет до опубликования в «Дифференциальном исчислении»; 2) примерное время выдвижения гипотезы о связи между коэффици-

00

ентами в формулах суммирования рядов вида ^к~2п можно определи

лить как 1739 — 1740 гг.; 3) постановка вопроса о суммировании ря-

со 00

дов ^к~2п изменялась от частных способов суммирования к=1 к=1 вопроса о единообразном представлении коэффициентов пропорцио-

00

нальности сумм ^к~2п , решение которого указало на их связь с

к=1

числами Бернуллй.

В третью группу объединены 9 заметок, в которых нашли отражение семь писем из переписки Эйлера с Гольдбахом периода 1739 — 1743 гг. Изучение этих записей позволило более точно датировать записные книжки и выяснить повод появления у Эйлера исследований того или иного ряда и установить время начала этих исследований.

Второй параграф посвящен изучению записей, иллюстрирующих вычисления некоторых трансцендентных величин с помощью рядов

00

вида £/í-% родственных им рядов.

к=1 :

Анализируя эти материалы, можно с уверенностью сказать, что они являются подготовительными к исследованиям, результаты которых были опубликованы в мемуаре «Methodus facilis computandi angulorum sinum ас tangentes tarn naturales quam artifitiales», а затем — во «Введении в анализ бесконечных». Заметки содержат представления синусов, косинусов, тангенсов углов и их логарифмов через сум-

00

мы рядов, родственных рядам вида ^ к ; вычисления п, Ig ж, In п

к=1

00 J

через сумму ряда £ -fn > причем значительно более ранние,

к=1 (2k-1) п

чем упоминалось в литературе. Здесь же содержатся записи, иллюстрирующие выдающиеся вычислительные способности Эйлера: число я подсчитано со 128 десятичными знаками.

Основу четвертой главы составляет анализ заметок, содержащих элементы теории распределения простых чисел и факты теории дзета-функции.

Первый параграф посвящен изучению и анализу заметок, касающихся исследований Эйлера по распределению простых чисел. Были найдены черновые записи рассуждений, положенных в основу мемуа-ра «Variae observationes circa series infinitas», где впервые было опубликовано тождество Эйлера

, со

П—Ц-= S к~" (зап. кн. 131, л. 4 об),

Р /— /с=/

Р"

и аналитического доказательства бесконечности множества простых чисел (зап. кн. 131, л. 115). Это позволило уточнить некоторые моменты в доказательстве этих результатов и их датировку. Также были обнаружены записи, практически дословно повторяющие фрагмент XV главы «Введения в анализ», что позволяет датировать соответствующие разделы 1737 — 1738 гг., откуда выясняется, что эти разделы написаны за 10 лет до публикации сочинения.

Сопоставление заметок с «Введением в анализ бесконечных и пе-

реииской Эйлера с Гольдбахом позволило обнаружить точную причину и дату начала исследований, приведших Эйлера к утверждению, эквивалентному асимптотическому закону распределения простых чисел («Две теоремы назовем эквивалентными, если они могут быть выведены одна из другой элементарными методами»). В письме от 24 ноября 1739 г. Гольдбах предложил Эйлеру некоторую теорему для доказательства. В процессе решения этой проблемы Эйлер ввел в рассмотрение ряды вида

—— = 1-—-------—+ —---— + е/с (зап. кн. 131, л. 251).

ак" 2" 3" 5" 6" 7"

Члены ряда в правой части равенства представляют собой обратные величины целых положительных чисел q, не делящихся ни на один квадрат (т.е. содержащие простые множители в первой степени), снабженные знаком плюс или минус, смотря по тому, содержит ли ц четное или нечетное количество простых множителей.

Во «Введении...» Эйлер рассмотрел этот ряд при п - 1\

2 3 5,67

Его чисто формальная аргументация сводилась фактически к указанию на то, что левая часть равенства равна

1А - ' / оо

Ее можно несколько модифицировать с помощью введения переменной 5 и предельного перехода при 5 —> /+. Этим путем можно строго доказать, что указанный ряд в случае, если он сходится, должен иметь своей суммой нуль. Сходимость же этого ряда была впервые установлена в 1897 г. фон Мангольдтом, причем его доказательство базировалось на довольно специальных фактах теории дзета-функции. Эквивалентность утверждения Эйлера (*) и асимптотического закона распределения простых чисел доказал Э. Ландау в 1905 году.

..Второй параграф посвящен исследованиям Эйлера в области расходящихся рядов, которые привели его к формулировке функционального уравнения, эквивалентного функциональному уравнению для дзета-функции.

Как отмечалось в литературе, идея расширенного понимания суммы ряда и определение этого понятия созрели у Эйлера к 1746 г. Это явствует из его письма к Гольдбаху от 7 августа 1745 г. Дальнейшему развитию идей о расходящихся рядах, их систематизации он по-

святил мемуар «Ре яепеЬш сНуе^епиЬиз», который представил Берлинской Академии наук 27 октября 1746 г. Нами, однако, была найдена заметка 1736 года (зап. кн. 131, л. 34), которая позволяет перенести дату начала исследований, опубликованных в «Ос БспеЬиз ¿¡уег-£епиЬиз», почти на 10 лет раньше.

Здесь же рассмотрены записи, являющиеся черновыми набросками не только к «Ое БепеЬцв сНуе^епиЬиз», но н к мемуару «Ехегсиа-йопея апа1уйсае».

До начала XX века открытие и исследование функциональных уравнений

s = а + bi\ где а > 1 для C,(s) и а > 0 для L(s) и г)(s) обычно связывали с именами Б. Римана, К. Я. Мальмштена, О. Шлёмильха.

Но, как показал Д. Казн, а за ним Э. Ландау, функциональное уравнение (2) и равносильное уравнению (1) уравнение (3) на сто лет раньше имелись в работе Эйлера «Remarques sur un beau rapport entre les sériés des puissances tant directes que réciproques».

С 1736 года и практически до конца своей жизни Эйлер занимался исследованием дзета-функции. Это подтверждают и заметки из его записных книжек (результаты исследования которых были изложены выше).

Можно предположить, что подготовительные материалы к мемуару Е352 были в записной книжке, относящейся к 1745—1749 гг., которая утеряна. Однако в записных книжках 131, 136,139 было найдено 5 заметок, уточняющих первоначальные моменты этих исследований и освещающих получение зависимости между прямыми и об-

Ç,(l~s) = 2(2nrscos~r(s)-Ç(s), ЦI- s) = 2sn~s smf Г (s) ■ L( s),

(1)

(2)

(2s'! -2)-n(l-s) = ~(2S -l)cos^r(s)■ r\(s), (3)

2

где

ратными степенными рядами в период 1763—1779 гг. Они находятся в записных книжках 131 (лл. 239, 240), 136 (лл. 13, 18), 139 (л. 20).

Примечательно, что в записной книжке 140 на л. 20 содержится теорема, опубликованная в XVII томе «СоттегНагн Асас1епиае Ре1го-роШапае» (функциональное уравнение, эквивалентное функциональному уравнению для даета-функции), и следствия из нее, не обнаруженные в опубликованных работах Эйлера. Это позволяет доказать, что он пытался применить найденное функциональное уравнение для выяснения арифметической природы чисел С,(2п+1).

В заключении приведены основные выводы, полученные в результате проведенного исследования.

Основные результаты диссертации

1. Проведенный в диссертации анализ творчества Эйлера в области аналитической теории чисел помогает точнее определить его роль как основоположника этой дисциплины.

СО

2. На примере развития идеи суммирования рядов вида к~п,

к=1

которая прошла путь от решения конкретной задачи до уровня математического аппарата, способного генерировать и реализовывагь новые идеи, прослежен путь конструктивного научного поиска Эйлера.

3. Удалось установить примерную датировку некоторых неопубликованных материалов (ф. 136, оп. 1, № 175). Поскольку многие из них дублируют заметки начала записной книжки 131 и при этом содержат результаты, опубликованные не позднее 1735 г., мы отнесли их к 1735 — 1736 гг.

4. Установлено, что основные факты, приведенные в главах IX, X, XI, XV «Введения в анализ бесконечных» и некоторые факты из «Дифференциального исчисления», были получены в период 1736 — 174.0 гг., т.е. гораздо раньше, чем считалось до сих пор.

5. Анализ заметок позволил уточнить один из путей, которым Эйлер пришел к понятию обобщенной суммы ряда, и отодвинуть начало его исследований по этому вопросу на период 1736 — 1738 гг.

6. Удалось установить причину появления у Эйлера исследований^ приведших его к теореме, эквивалентной асимптотическому закону распределения простых чисел. Была обнаружена попытка применения функционального уравнения, эквивалентного функциональ-

ному уравнению для дзета-функции, к решению вопроса об арифметической природе чисел вида С,(2п+1), которое не получено до настоящего времени, несмотря на усилия многих математиков.

Основные результаты опубликованы в следующих работах автора:

1. Горлова В. Д. Ранние результаты теории дзета-функции в записной книжке Эйлера (1736 — 1740 гг.) // Годичная научная конференция ИИЕиТ РАН им. С. И. Вавилова. - М.: Янус-К, 1997. - С. 137 — 139.

2. Горлова В. Д. Функциональное уравнение для дзета-функции в записных книжках Эйлера // Годичная научная конференция ИИЕиТ РАН им. С. И. Вавилова. - М.: Янус-К, 1997. - С. 12 — 19.

3. Горлова В. Д. Некоторые особенности научного творчества Эйлера (по материалам записных книжек) II Научные труды молодых ученых ОГПУ. - Оренбург: Изд-во ОГПУ, 1997. - С. 21 — 27.

/

Оглавление научной работы автор диссертации — кандидата физико-математических наук Горлова, Виктория Дмитриевна

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ИССЛЕДОВАНИЯ Л. ЭЙЛЕРА ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ И ИХ РОЛЬ В РАЗВИТИИ МАТЕМАТИКИ.

1. Аналитическая теория чисел в трудах JI. Эйлера.

2. Развитие теории рядов в трудах Эйлера.

2.1. Теория рядов в XVIII веке.

2.2. Исследования Эйлера по теории рядов.

2.2.1. Формирование понятия сходимости ряда в трудах

Эйлера.

2.2.2. Тригонометрические и биномиальные ряды в трудах Эйлера.

2.2.3. Расходящиеся ряды в исследованиях Эйлера.

3. Элементы теории дзета-функции в мемуарах Эйлера.

3.1. Суммирование рядов вида ^ к~п до Эйлера.

3.2. Дзета-функция в трудах Эйлера.

Глава II. ХАРАКТЕРИСТИКА И ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ ЗАПИСНЫХ КНИЖЕК Л. ЭЙЛЕРА.

Глава III. РЯДЫ ВИДА £ к~п И РЯДЫ, РОДСТВЕННЫЕ ИМ,

В ЗАПИСНЫХ КНИЖКАХ ЭЙЛЕРА.

1. Суммирование рядов вида ]Г к~п и родственных им рядов.

1.1. Формула суммирования Эйлера—Маклорена.

1.2. Суммирование рядов вида к~2п.

1.3. Задачи суммирования рядов вида ^к~п , связанные с именем X. Гольдбаха.

2. Вычисление некоторых трансцендентных величин с помощью рядов вида к~п и родственных им рядов.

Глава IV. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ В ЗАПИСНЫХ КНИЖКАХ ЭЙЛЕРА.

1. Элементы теории распределения простых чисел. в записных книжках Эйлера.

1.1. Тождество Эйлера для дзета-функции и его применение.

1.2. Асимптотический закон распределения простых чисел. в записных книжках Эйлера.

2. Функциональное уравнение для дзета-функции и его применение.

2.1. Суммирование расходящихся знакопеременных радов. в записных книжках Эйлера.

2.2. Функциональное уравнение для дзета-функции и его применение в записных книжках Эйлера.

ВЫВОДЫ.

Введение диссертации1998 год, автореферат по истории, Горлова, Виктория Дмитриевна

Имя Леонарда Эйлера (1707—1783) является одним из самых славных в плеяде выдающихся математиков всех времен. Сегодня, более чем через два века после его смерти, когда все математические науки претерпели значительные изменения, далеко ушли от концепций, методов и результатов XVIII века, труды Эйлера продолжают оказывать решающее влияние на прогресс современной математики.

Математическую деятельность Эйлера отличают необыкновенная многогранность и насыщенность. Им оставлен важный след практически во всех частях современной ему математики. Анализ бесконечно малых, дифференциальное и интегральное исчисление, сами в то время находившиеся в процессе своего становления, в трудах Эйлера значительно обогатились, систематизировались и получили перспективные направления развития. Им были решены первые дифференциальные уравнения, породившие новые трансцендентные функции, для которых и сегодня с помощью мощных математических средств продолжают обнаруживать новые свойства.

В работах Эйлера теории бесконечных рядов и произведений, теория непрерывных дробей стали важными инструментами в теории функций. Новыми подходами явились разработанные им методы приближенных вычислений.

Значительны достижения Эйлера в области теории чисел. Создание теории квадратичных вычетов, вопросы представимости целых чисел заданными формами, обширный круг проблем теории делимости, дио-фантова анализа — таков неполный перечень его результатов в этой области математики. Здесь ему удалось плодотворно применить весь багаж аналитических методов и поставить ряд проблем, часть из которых нашла свое решение лишь в последнее время.

Крупные математики всегда признавали, что многим обязаны Эйлеру и усердно читали его. П. Лаплас (1^49—1827) не раз говорил молодым математикам: «это наш общий учитель». Еще более определенно выразился К. Гаусс (1777—1855), утверждавший, что изучение работ Эйлера остается наилучшей школой в различных областях математики, ничто другое не может этого заменить.

Многие результаты Эйлера и сегодня составляют значительную часть программы общематематической подготовки специалистов. Этим, в частности, определяется актуальность изучения его наследия: оно способствует внедрению идей и методов Эйлера в преподавание точных наук и стимулирует научную мысль.

Помимо огромного количества опубликованных трудов Эйлер оставил обширное научное наследие неопубликованных рукописей, заметок, записных книжек. Особый интерес представляют его записные книжки, являющиеся подлинным кладезем разнообразных идей великого ученого. Они помогают прояснить вопрос о генезисе его идей. Его результаты в разных областях естественных наук столь глубоки и так тесно связаны между собой, что восстановить картину его научного творчества, несмотря на предельную ясность изложения, очень трудно. Поэтому к исследованию научного творчества Эйлера и были привлечены записные книжки. Их двенадцать и они хранятся в Санкт-Петербургском филиале Архива РАН (ф. 136, оп. 1, №№ 129—140).

Записные книжки представляют собой научные дневники полувековой деятельности Эйлера общим объемом 4000 страниц. Можно сказать, что они отражают в хронологическом порядке ход его работы над интересовавшими проблемами и показывают, какой широкий круг вопросов был им охвачен.

Ранее изучением записных книжек Эйлера занимались Г. К. Михайлов [38, 39], Г. П. Матвиевская [28—33], Г. П. Матвиевская и Е. П.

Ожигова [34], Е. П. Ожигова [40, 42], А. А. Киселев [15], А. А. Киселев и Г. П. Матвиевская [17, 18], Р. И. Галченкова [3], Э. Кноблох [21].

Материалы по теории чисел были исследованы Г. П. Матвиевской [28—31], Г. П. Матвиевской и Е. П. Ожиговой [34], Е. П. Ожиговой [40, 42], А. А. Киселевым и Г. П. Матвиевской [17, 18]. Помимо вопросов диофантова анализа и теории делимости эти ученые начали изучение записей в записных книжках, освещающих работу Эйлера по вопросам аналитической теории чисел. Г. П. Матвиевская и А. А. Киселев рассмотрели заметки, содержащие задачи теории разбиения чисел на слагаемые (раЛШо питегогиш), теории многоугольных чисел, делителей числа [17]; Г. П. Матвиевская выделила записи Эйлера, относящиеся к постулату Бертрана [33]. Е. П. Ожигова собиралась исследовать заметки, содержащие вопросы теории дзета-функции. К сожалению, она не успела этого сделать.

Целью нашего исследования являлось изучение и анализ фактов аналитической теории чисел в записных книжках Эйлера.

Удельный вес заметок аналитико-числового характера значителен: задачи такого рода встречаются более чем на 200 страницах.

Обилие найденного материала вынудило нас сосредоточиться на одном из направлений в исследованиях Эйлера, а именно, на фактах теории дзета-функции и их применении к вопросам распределения простых чисел в записных книжках.

Для достижения цели нами решались следующие задачи:

- обзор исследований Эйлера по аналитической теории чисел и теории дзета-функции;

- обзор исследований Эйлера по теории рядов;

- отбор заметок, содержащих элементы теории дзета-функции и теории распределения простых чисел;

- проведение классификации изучаемых архивных материалов;

- сопоставление исследуемых заметок с опубликованными работами и научной перепиской Эйлера.

В силу своего характера результаты нашего исследования определяют новизну работы.

Практическая ценность результатов диссертационного исследования состоит в том, что они

1) могут быть использованы при разработке учебников, монографий, учебных пособий, курсов и т.п. по математическому анализу и истории математики;

2) могут быть использованы при исследовании творчества Эйлера;

3) помогают проиллюстрировать историю формирования теории дзета-функции.

Содержание работы. Во Введении обосновывается актуальность темы и определяются задачи исследования. Там же приведен обзор содержания диссертации с делением по главам.

Первая глава диссертации посвящена анализу творчества Эйлера в области аналитической теории чисел Первый параграф содержит характеристику результатов Эйлера в этой области и оценку их значения для развития математики. Так как теории дзета-функции и рядов тесно связаны между собой, то встала необходимость дать обзор развития теории рядов в трудах Эйлера. Это сделано во втором параграфе. Здесь указана литература по данному вопросу и дается общая характеристика учения о рядах в XVIII в., рассмотрены формирование понятия сходимости в исследованиях Эйлера и его вклад в развитие теории тригонометрических, биномиальных и расходящихся рядов. В третьем параграфе проанализированы мемуары Эйлера, содержащие элементы теории дзета-функции, дается исторический обзор попыток суммирования сю рядов вида ^ кГп до начала исследований Эйлера в этой области. к=1

Вторая глава диссертации содержит общее описание и характеристику записных книжек, классификацию исследуемого материала.

В третьей главе описываются и анализируются заметки, касающие

00 ся рядов вида ^к~п и рядов, родственных им. к=1

В первом параграфе этой главы собраны заметки по суммированию

00 рядов вида ^к~п и рядов, им родственных. Здесь рассматривается к=1 приближенный метод суммирования таких рядов — формула Эйлера—

Маклорена, изучаются ее приложения. Следующую группу составляют

00 заметки, содержащие методы суммирования рядов ^к~2п и вычислек=1 ния их сумм. Далее анализируются заметки, связанные с перепиской Эйлера с Гольдбахом и касающиеся суммирования рядов, родственных

00 рядам вида ^к~п. к=1

Второй параграф содержит описание и анализ заметок, позволяюоо щих проиллюстрировать применение рядов вида ^ кГп и родственных к=1 им рядов к вычислению числа п, значений тригонометрических функций и их логарифмов.

Основу четвертой главы составляет анализ заметок, содержащих элементы теории распределения простых чисел и иллюстрирующих формирование идей, приведших Эйлера к функциональному уравнению, эквивалентному функциональному уравнению для дзета-функции.

В первом параграфе этой главы рассматриваются материалы, касающиеся тождества Эйлера для дзета-функции и его применения к доказательству бесконечности множества простых чисел, а также решения вопроса о возникновении у Эйлера утверждения, эквивалентного асимптотическому закону распределения простых чисел.

Второй параграф составляет материал, касающийся формирования у Эйлера идеи обобщенного суммирования. Приводятся и анализируются заметки о суммировании расходящихся рядов, относящиеся, в основном, к 1736—1740 гг.

Третий параграф посвящен изучению заметок, содержащих функциональное уравнение, эквивалентное функциональному уравнению для дзета-функции, и попытку решения Эйлером вопроса об арифметической природе чисел С3(2п+1).

В заключении диссертационной работы сформулированы выводы, отражающие основные результаты исследования.

В приложении помещены фотокопии заметок Эйлера.

Заключение научной работыдиссертация на тему "Неопубликованные материалы Эйлера по аналитической теории чисел"

127 ВЫВОДЫ

1. Проведенный в диссертации анализ творчества Эйлера в области аналитической теории чисел помогает точнее определить его роль как основоположника этой дисциплины. со

2. На примере развития идеи суммирования рядов вида ^к~" , кок=1 торая прошла путь от конкретной исторической задачи до уровня математического аппарата, способного генерировать и реализовывать новые идеи, прослежен путь конструктивного научного поиска Эйлера.

3. Удалось установить примерную датировку некоторых неопубликованных материалов, хранящихся под шифром ф. 136, on. 1, № 175. В силу того, что многие из них дублируют заметки из записной книжки 131 (1736—1740 гг.) и при этом содержат результаты, опубликованные не позднее 1735 г., мы отнесли их к 1735—1740 гг.

4. Установлено, что основные результаты IX, X, XI, XV глав «Введения в анализ» и некоторые результаты «Дифференциального исчисления» были получены в период 1736—1740 гг., что гораздо раньше, чем считалось в литературе.

5. Анализ заметок позволил уточнить один из путей, которым Эйлер пришел к понятию обобщенной суммы ряда и отодвинул время начала исследований Эйлера по этому вопросу к 1736—1738 гг.

6. Удалось установить истоки появления у Эйлера теоремы, эквивалентной асимптотическому закону распределения простых чисел, и обнаружить попытку приложения функционального уравнения, эквивалентного функциональному уравнению для дзета-функции, к решению вопроса об арифметической природе чисел вида С,(2п+1).

Список научной литературыГорлова, Виктория Дмитриевна, диссертация по теме "История науки и техники"

1. СПбФА РАН — Санкт-Петербургский филиал Архива Российской Академии наук

2. АЕ — Acta eruditorum ВМ — Biblioteca mathematica

3. CASIP — Commentarii Academiae scientiarum Imperialis Petropoli-tanae

4. MA — Mémoires de l'Académie royale des sciences de Paris MAB — Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin

5. NA — Nova Acta Academiae scientiarum Imperialis Petropolitanae NC — Novi Commentarii Academiae scientiarum Imperialis Petropolitanae1. OO — Opéra omnia

6. Белый Ю. A. Об учебнике Эйлера по элементарной геометрии // ИМИ. 1961. - Вып. 14. - С. 237—284.

7. Венков Б. А. О работах Эйлера по теории чисел // Леонард Эйлер: Сб. статей и материалов к 150-летию со дня смерти. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1935. - С. 81—87.

8. Галченкова Р. И. Алгебра в неопубликованных рукописях Л. Эйлера // История и методология естественных наук. М., 1966. -Вып. 5.-45—61.

9. Гельфонд А. О. Роль работ Эйлера в развитии теории чисел // Леонард Эйлер: Сб. статей к 250-летию со дня рождения. М.: Изд-во АН СССР, 1958. - С. 80—97.

10. Гусев А. Н. Бесконечные ряды у Эйлера: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. М., 1964.

11. Гусев А. Н. Леонард Эйлер и расходящиеся ряды // Уч. зап. Костромского государственного педагогического института. Кострома, 1959.-Вып. 6.-С. 23—52.

12. Гусев А. Н. Некоторые вопросы сходимости рядов в работах Эйлера // Уч. зап. Костромского государственного педагогического института. Кострома, 1959. - Вып. 6. - С. 3—23.

13. Делоне Б. Н. Петербургская школа теории чисел. М.-Л., 1947.

14. Делоне Б. Н. Развитие теории чисел в России // Уч. зап. МГУ, 1947.-Т. 1. Кн. 1.- Вып. 91. -С. 77—96.

15. Евклид Начала: Пер. с греч. и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского при редакционном участии М. Я. Выгодского и И. Н. Ве-селовского. М.-Л.: Техтеориздат, 1949. - Т. 2. - С. 89—90.

16. Ингам А. Е. Распределение простых чисел. М.-Л., 1936.

17. История математики / Под ред. А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1972.-Т. 1—3.

18. Киселев А. А. Некоторые вопросы теории чисел из переписки Эйлера с Гольдбахом // История и методология естественных наук. Математика. М., 1966. - Вып. 5. - С. 31—34.

19. Киселев А. А. О некоторых забытых идеях и результатах Эйлера // Тр. XIII Междунар. конгр. по истории науки. Секция 5. М., 1971.

20. Киселев А. А. Роль Эйлера в создании аналитических методов теории чисел // Тез. докл. конф. ЛО СНОИФЕТ. Л., 1966.

21. Киселев А. А. Симметрические функции от бесконечного числа переменных (в-функции) у Эйлера // Тез. крат. науч. сообщ. Междунар. конгр. математиков. Секция 15. М., 1966. - С. 15.

22. Киселев А. А., Матвиевская Г. П. Неопубликованные записи Эйлера по рагШо пишегогиш // ИМИ. 1965. - Вып. 16. - С. 145—180.

23. Киселев А. А., Матвиевская Г. П. Неопубликованные рукописи Леонарда Эйлера по теории чисел // Вопросы истории физико-математических наук. М.: Высшая школа, 1963. - С. 26—28.

24. Кладо Т. Н., Копелевич Ю. X., Лукина Т. А. Леонард Эйлер. Письма к ученым. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1963.

25. Кладо Т. Н., Копелевич Ю. X., Лукина Т. А., Мельников И. Г., Смирнов В. И., Юшкевич А. П. (при участии Бирмана К. Р. и Лани Ф. Г.) Леонард Эйлер. Переписка. Аннотированный указатель. Л.: Наука, 1967.

26. Кноблох Э. Математические записные книжки Леонарда Эйлера // Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. М.: Наука, 1988. - С. 102—122.

27. Копелевич Ю. X., Крутикова М. В., Михайлов Г. К., Раскин М. Н. Рукописные материалы Эйлера в Архиве Академии наук СССР. -М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1962. Т. 1.

28. Котов Н. П. О переписке Эйлера с Гольдбахом по вопросам теории чисел // Уч. зап. Иркутского государственного педагогического института. Иркутск, 1964. - Вып. 20. - С. 150—169.

29. Красоткина Г. А. Переписка Эйлера со Стирлингом // ИМИ. -1954. Вып. 10. - С. 117—159.

30. Кузнецова-Фетисова В. В. Вопросы расходимости рядов в переписке математиков XVIII в. // ВИЕТ. 1986. - № 4. - С. 80—86.

31. Лавриненко Т. А. Неопределенные уравнения в работах Л. Эйлера и математиков XIX века: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. -М., 1984.

32. Лихин В. В. Теории функций и чисел Бернулли в трудах отечественных математиков // ИМИ. 1959. - Вып. 12. - С. 59—135.

33. Матвиевская Г. П. Заметки о совершенных числах в записных книжках Эйлера // Тр. ИИЕиТ АН СССР. 1960. - Т. 34. - С. 415-^27.

34. Матвиевская Г. П. Неопубликованные рукописи Л. Эйлера по диофантову анализу // Тр. ИИЕиТ АН СССР. 1959. - Т. 22. - С. 240— 250.

35. Матвиевская Г. П. Неопубликованные рукописи Леонарда Эйлера по теории чисел: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. Л., 1958.

36. Матвиевская Г. П. О неопубликованных рукописях Леонарда Эйлера по диофантову анализу // ИМИ. 1960. - Вып. 13. - С. 107—186.

37. Матвиевская Г. П. О рукописном наследии и записных книжках Эйлера // Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. -М.: Наука, 1988. С. 122—128.

38. Матвиевская Г. П. Постулат Бертрана в записях Эйлера // ИМИ. -1961. Вып. 14. - С. 285—288.

39. Матвиевская Г. П., Ожигова Е. П. Рукописные материалы Эйлера по теории чисел // Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. М.: Наука, 1988. - С. 130—139.

40. Мельников И. Г. О некоторых вопросах теории чисел в переписке Эйлера с Гольдбахом // История и методология естественных наук. Математика. М., 1966. - Вып. 5. - С. 15—30.

41. Мельников И. Г. Открытие Эйлером удобных чисел // ИМИ. -1960. Вып. 13. - С. 187—219.

42. Мельников И. Г. Удобные числа в рукописном наследии Эйлера // ИМИ. 1983. - Вып. 27. - С. 10—24.

43. Михайлов Г. К. Записные книжки Эйлера в Архиве Академии наук СССР // ИМИ. 1957. - Вып. 10. - С. 67—94.

44. Михайлов Г. К., Смирнов В. И. Неопубликованные материалы Леонарда Эйлера в Архиве Академии наук СССР // Леонард Эйлер. -М.: Изд-во АН СССР, 1958. С. 47—79.

45. Ожигова Е. П. Дополнение к статье И. Г. Мельникова «Удобные числа в рукописном наследии Эйлера» // ИМИ. 1983. - Вып. 27. - С. 24—26.

46. Ожигова Е. П. Развитие теории чисел в России. Л.: Наука, 1972.

47. Ожигова Е. П. Функция Эйлера в его записных книжках // ИМИ. 1983. - Вып. 27. - С. 50—63.

48. Паплаускас А. Б. Доньютоновский период развития бесконечных рядов // ИМИ. 1973. - Вып. 17. - С. 104—126.

49. Паплаускас А. Б. Доньютоновский период развития бесконечных рядов // ИМИ. 1974. - Вып. 19. - С. 143—172.

50. Паплаускас А. Б. Доньютоновский период развития бесконечных рядов // ИМИ. 1975. - Вып. 20. - С. 257—311.

51. Паплаускас А. Б. Тригонометрические ряды от Эйлера до Лебега. М.: Наука, 1966.

52. Петрова С. С. О суммировании расходящихся рядов у Ньютона // Проблемы истории математики и механики. М., 1972. - Вып. 1. - С. 10—17.

53. Петрова С. С. О суммировании Эйлером ряда 1 Их + 2!х2 - . II ВИЕТ. - 1969. - Вып. 1(26). - С. 30—33.

54. Прахар К. Распределение простых чисел. М., 1967.

55. Пулатова М. И. Некоторые интерполяционные задачи теории рядов у Эйлера // Тез. ЛО СНОИФЕТ. Л., 1988.

56. Пулатова М. И. Теория рядов и ее практическое применение: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Киев, 1992.

57. Риман Б. О чисел простых чисел, не превосходящих данной величины // Избранные соч. М.-Л., 1948. - С. 216—224.

58. Санкт-Петербургский филиал Архива РАН. ф. 136, оп. 1, №№ 129—140, №175.

59. Симонов Н. И. О первых исследованиях в Петербургской Академии в области математического анализа // ВИЕТ. 1964. - Вып. 17.1. С. 82—86.

60. Тиле Р. Леонард Эйлер. Киев: Высшая школа, 1983.

61. Хапугина А. Н. О методах суммирования рядов в конце XVIII в. // Тез. ЛО СНОИФЕТ. Л., 1988.

62. Харди Г. Расходящиеся ряды. М., 1957.

63. Чебышёв П. Л. Теория сравнений. СПб., 1847.

64. Черток С. И. Развитие теории рядов в России в XVIII—XIX вв.: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Гомель, 1991.

65. Чириков М. В. Из истории асимптотических рядов // ИМИ. -1960.-Вып. 13.-С. 441—475.

66. Эйлер Л. Введение в анализ бесконечных. М.: Физико-математическая литература, 1961. - Т. 1.

67. Эйлер Л. Дифференциальное исчисление. М.-Л.: Технико-теоретическая литература, 1949. - Ч. 1—2.

68. Эйлер Л. Интегральное исчисление. М., 1956. - Т. 1. - 1958.1. Т. 2.

69. Эйлер Л. Универсальная арифметика. СПб., 1788. - Т. 2.

70. Юшкевич А. П. История математики в России. М.: Наука, 1968.

71. Юшкевич А. П. Об архивном наследии Л. Эйлера // ВИЕТ. -1982.-Вып. 3.-С. 137—139.

72. Юшкевич А. П., Копелевич Ю. X. Христиан Гольдбах. М.: Наука, 1983.

73. Bernoulli D. De summationibus serierum quarumdam incongrue veris, earumque interpretatione etque usu // NC. 1772. - 16.

74. Bernoulli J. Ars conjectandi. СПб. AH, 1898.

75. Bernoulli J. Unendlichen Reihen. Leipzig, 1909.

76. Cantor M. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. Leipzig, 1897. - Bd. 1—4.

77. Dickson L. E. History of the theory of numbers: In 3 vol. Washington, 1919—1923; 2 ed. - New York, 1934.

78. Eneström G. Bericht an die Eulerkommission der Schweizerischen naturforschenden Gesellschaft über die Eulerschen Manuskripte der Petersburger Akademie // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Bd. 22. H. 1—2. Leipzig, 1913. S. 191—205.

79. Eneström G. Verzeichnis der Schriften Leonhard Eulers // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Der Ergänzungsbände. IV Bd., Lief. 1—2. Leipzig, 1910. - S. 1—388.

80. Erdös P. Some remarks and problems in number theory related to the work of Euler // Mathem. magazin. New York, 1983. - V. 56. - N. 5.

81. Euler L. Commentationes arithmeticae collectae. St.-Petersb., 1849. -T. 1—2.

82. Euler L. Consideratio progressiones cujusdam ad circuli quadra-turam inveniendam indoneae.

83. Euler L. De evolutione potestates polynomialis cuiuscunque (1 + x + x2 + Xs + .)nHOO. I. 16*. 28—40.

84. Euler L. De insignibus proprietatibus unciarum binomii ad uncias quarumvis polinomiorum extensis // OO. I. 15. 604—620.

85. Euler L. De mirabilibus proprietatibus unciarum, quae in evolutione binomii ad potestatem quam manque erecti occurunt // OO. I. 15. 528— 568.

86. Euler L. De numero memorabili, in summatione progressionis har-monicae naturalis occurente//OO. I. 15. 1785. 569—604.

87. Euler L. De partitione numerorum // OO. I. 2. 1750. 254—294.

88. Euler L. De plurimis quantitatibus transcendentibus quos nullo modo per formulas integrales exprimere licet // CASIP. 11. 1750. 3—21.

89. Euler L. De progressionibus harmonicis observationes // OO. I. 14. 1740.87—100.

90. Euler L. De progressionibus transcendentibus, seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt // CASIP. 5. 1738.

91. Euler L. De seriebus divergentibus // OO. I. 14. 1760. 585—617.

92. Euler L. De seriebus quibusdam considerationes // OO. I. 14. 1750. 407—462.

93. Euler L. De summatione innumerabilium progressionum // OO. I. 14. 1738.25—41.

94. Euler L. De summis serierum Bernoullianos involventum // OO. I. 15.1770.91—130.

95. Euler L. De summis serierum reciprocarum // OO. I. 14. 1740. 73—86.

96. Euler L. De transformatione seriei divergentis 1 xm + m (m + n)x2 -m(m+n) (m+2n)x3 + . in fractionem continuam // NA. 2. 1788. 36—45.

97. Euler L. De unciis binomii earumque interpolatione // OO. I. 16*. 241—266.

98. Euler L. Découverte d'une loi extraordinaire des nombres par rapport á la somme de leurs diviseurs // OO. I. 2. 1747. 241—253.

99. Euler L. Demonstratio insignis theorematis numerici circa uncias potestatum binomialium // OO. I. 16*. 104—116.

100. Euler L. Demonstratio theorematis circa ordinem in summis divi-sorum observatum // OO. I. 2. 1750. 390—398.

101. Euler L. Demonstratio theorematis Neutoniani de evolutione potestatum binomii pro casibus, quibus exponentes non sunt numeri integri // NC. 19. 1755. S. 103.

102. Euler L. Demonstration de la somme de la suite 1 + — + — +.//4 91. OO. I. 14. 1743. 177—186.

103. Euler L. Evalutio producti infiniti (1-x) (1-xx) (1-x3) (1-x5) (1-x6) etc in seriem simplicim // OO. I. 3. 1783. 472^179.

104. EulerL. Exercitationes analyticae//OO. I. 15. 1773. 131—167.

105. Euler L. Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali //OO. I. 14. 1741. 108—123.

106. Euler L. Meditationes circa singulare serierum genus // OO. I. 15. 1776.217—267.

107. Euler L. Methodus facilis computandi angulorum sinus ac tangentes tam naturales quam artificiales // CASIP. 11. 1750. 194—230.

108. Euler L. Methodus facilis inveniendi series per sinus cosinusve angulorum multiplorum procedentes, quarum asus in universa theoria astronomía est amplissimus // NA. 1798.

109. Euler L. Methodus generalis summandi progressiones // OO. I. 14. 1738.42—72.

110. Euler L. Methodus universalis serierum convergentium summas quam proxime inveiendi // OO. I. 14. 1741. 101—107.

111. Euler L. Observado des summis divisorum // OO. I. 2. 1751. 373—389.

112. Euler L. Observationes analyticae // OO. I. 15. 60—83.

113. Euler L. Observationes analyticae varia de combinationibus // OO. 1.2. 1741.163—193.

114. Euler L. Opera postuma mathematica et physica. St.-Pétersb., 1862.-T. 1—2.

115. Euler L. Plenior expositio serierum illarium memorabilium, quaeex unciis potestatum binomii formontur // 00.1. 16. 193—234.

116. Euler L. Recherches sur les différentes points du système monde // MA. 1754.

117. Euler L. Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques // OO. I. 15. 1768. 70—90.

118. Euler L. Serie maxime memorabili, qua potestas binomialis quaecunque exprimí potest// OO. I. 16*. 162—177.

119. Euler L. Subsidium calculi sinus // NC. 1760.

120. Euler L. Sur les logarithmes des nombres négatifs et imaginaines // MA. 1756.

121. Euler L. Varia observationes circa infinitas // OO. I. 14. 1744. 216—244.

122. Faber G. Übersicht über die Bände 14, 15, 16, 16* der ersten Serie Eulers Opera omnia // OO. I. 16*. 1935. 7—112.

123. Fuss A. Correspondance mathématique et physique de quelques celebres. S.-P., 1843. - V. 1—2.

124. Goldbach C. De terminis generalibus serierum // CASIP. 3. 1732. 164—173.

125. Goldbach C. De transformatione serierum // CASIP. 2. 1732. 30—34.

126. Goldbach C. Specimen methodi ad summas serierum // AE. 1720.27—31.

127. Grandi G. Quadratura circuli et hyperbolae per infinitas hyper-bolos et parabolos quadrabilis geometrice expósita. Pisis, 1703.

128. Hofmann J. E. Um Eulers erste Reichenstudien // Summelband zu Ehren den 250.Geburtstages L. Euler. Berlin, 1959. - S. 139—208.

129. Hofmann J. E. Zur Eulerschen Entwicklungs geschichte der Eul-erschen Summenformal // Mathem. Zeitschrift. 1957. - Bd. 67. - S. 31— 39.

130. Hofmann J. E. Über zahlen-theoretische Methoden Fermats und

131. Euler, ihre Zuzammenhänge und ihre Bedeutung // Arch. hist. exact. sei. -1961.-V. l.-P. 122—159.

132. Knopp K. Über das Eulerschen Summierungs verfahren // Mathem. Zeitschrift. 1922. - Bd. 15. - S. 226—253; 1923. - Bd. 18. - S. 125—156.

133. Landau E. Euler und Functionalgleichung der Riemannschen Zeta-Funktion // BM. III. 1906. - Bd. 7. - H. 1. - S. 69—79/

134. Landau E. Über die Äquivalenz zwei Hauptsätze der analytischen Zahlentheorie // Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien. -1911. Bd. 120. - H. 1-k. -Abi. 2-a. - S. 973.

135. Leibniz G. Mathematische Schriften. Halle, 1858. - Bd. 3.

136. Leibniz G. Opera omnia. 3. 1768.

137. Leonhard Euler und Christian Goldbach. Briefwechsel 1729— 1764 / Herausgegeben und eingeleiten von A. P. Juskevic und E. Winter. -Berlin, 1965.

138. Maclaurin C. A treatise of fluxions. Edinburg, 1742. - V. 1—2.

139. Malmsten C. J. De integralibus quibusdam definitis serie busque infinitis // J. für die reine und angewandte Mathematik. 1849. - Bd. 38. - S. 15—19.00 Lifk)

140. Mangoldt von H. Beweis der Gleichung = ° Hk=l k

141. Sitzungsberichte die Preuss. Akad. die Wiss. Berlin, 1897. S. 835—852.

142. Mertens F. Ein Beitrag zur analytischen Zahlen-theorie // J. für die reine und angewandte Mathematik. 1874. - Bd. 78.

143. Morris K. Euler and infinite series // Mathem. magazine. New York, 1983.-V. 56.-N. 5.

144. Raymond A. Euler and the Zeta funetion // American Mathem. Monthly. 1974. - N. 81. - P. 1067—1086.

145. Reiff R. Geschichte der unendlichen Reihen. Tübingen, 1889.

146. Spiess L. Die Summe den reziproken Quodrat-zahlen // Festhilft zum 60.Geburstages von A. Speiser. Zürich, 1945.

147. Stirling J. Methodus differentialis sive Tractatus de summatione et interpolatione serierum infinitarum. Londini, 1730.

148. Stäkel P. Eine vergessene Abhandlung L. Eulers // BM. III. -1907—1908. Bd. 9. - S. 37—54.

149. Teilor J. Methodus incrementorum directa et inversa. Londini, 1715.

150. The mathematical papers of Isaac Newton / Ed. by D. T. Whiteside and A. Prag. Cambridge: Cambridge University Press, 1969. - V. 1.

151. Wallis J. Arithmetica infinitorum. Oxoniae, 1656.