автореферат диссертации по истории, специальность ВАК РФ 07.00.10
диссертация на тему: Неопределенные уравнения в работах Л. Эйлера и математиков XIX века

Оглавление научной работы автор диссертации — кандидата физико-математических наук Лавриенко, Татьяна Алексеевна

Введение.

Глава I. Творчество Л.Эйлера по диофантову анализу.I?

§ I. Неопределенные уравнения к началу ХУ111 века.

§ 2. Леонард Эйлер и его исследования по диофантову анализу.

§ 3. Неопределенный анализ в "Алгебре" Эйлера.

§ 4. Решение неопределенных уравнений 3-ей и 4-ой степеней в статьях Эйлера.

§ 5. Двойные равенства у Эйлера.

Глава II. Не определенные уравнения в поздних работах и в рукописях Эйлера.

§ I. Поздние работы Эйлера /решение неопределенных уравнений

3-ей и 4-ой степеней в работах 1780 г./.

§ 2. Поздние работы Эйлера /новый метод решения уравнений ij -= 53(х) и (я) в мемуаре " iTleM^oUi ywva, et $aeitu>.!'

§ 3. Методы касательной, секущей и парабол в рукописях Эйлера. ^^

Глава III. Развитие арифметики алгебраических кривых после

Эйлера /по работам Лагранжа, Коши, Люка/.

§ I. Метод касательной в статье Лагранжа "О некоторых проблемах анализа Диофанта".

§ 2. Работа Коши "О решении некоторых неопределенных уравнений в целых числах".

§ 3. Введение геометрической интерпретации в диофантов анализ.

§ 4. Заключительные замечания к третьей главе.

Введение диссертации1984 год, автореферат по истории, Лавриенко, Татьяна Алексеевна

оказывается связанной с именами крупнейших математиков, таких как Диофант Александрийский, Ферма, Эйлер, Коши, Якоби, Пуанкаре. На протяжении своей истории диофантов анализ оказывал влияние и на развитие других математических дисциплин, прежде всего алгебры. Как показано в [б], вплоть до Ферма влияние диофантова анализа "на формирование алгебры было не менее значимым, чем стимулы, идущие от проблемы решения уравнений в радикалах" [б,с.з]. Диофан-товы уравнения играли существенную роль и в развитии теории квадратичных форм [6,13]. Сказанным определяется актуальность изучения истории диофантова анализа.

Хотя вопросы этой истории неоднократно рассматривались различными исследователями /см., например, [1-6,13,24,26,66,69,70, 80]/, существующая картина еще далека от полноты. Среди множества историко-математических работ отметим исследования И.Г.Башмаков ой и ее учеников [1-5,13], появившиеся за последние 13 лет и подытоженные в книге И.Г.Башмаковой и Е.И.Славутина [б]. В указанных работах исследуется смысл методов решения неопределенных уравнений от Диофанта до Ферма с точки зрения алгебраической геометрии. Это позволило дать более глубокий анализ данных методов, в частности установить, что методы Диофанта решения неопределенных уравнений 2-ой и 3-ей степеней непосредственно связаны с современными методами нахождения рациональных точек на кривых родов О и I. До появления отмеченных исследований историки математики использовали для анализа методов решения неопределенных: уравнений только средства буквенной алгебры, что не давало возможности раскрыть смысл этих методов с точки зрения алгебраической геометрии и ответить на один из основных вопросов истории диофантова анализа - как соотносятся рассматриваемые методы с современными. Исключение составляют только работы Й. Э.Гофмана [69,70], в которых сделана попытка установить связь между некоторыми методами Ферма и Эйлера и методами современного диофантова анализа. В указанной выше работе [6] впервые была дана достаточно полная картина развития диофантова анализа от Диофанта до Ферма, рассматриваемая к тому же в тесной связи с общей эволюцией алгебры. Однако столь же удовлетворительной картины развития диофантова анализа в ХУП1 и XIX веках в историко-математической литературе до сих пор нет.

В ХУШ в. центральной фигурой в области диофантова анализа был, несомненно, Л.Эйлер. Историки математики, рассматривая работы Эйлера по неопределенным уравнениям, уделяли основное внимание его исследованиям о решении неопределенных уравнений в целых числах /см., например, [12,19]/, оставляя в стороне вопрос о решении неопределенных уравнений в рациональных числах, хотя этой теме Эйлер посвятил около 40 работ. Между тем А.О.Гельфонд в статье "Роль работ Л.Эйлера в развитии теории чисел" [9], посвященной 250-летию со дня рождения великого математика, указывал на получение Эйлером многочисленных результатов в области рациональных решений систем диофантовых уравнений./имея в виду в основном решение конкретных числовых задач/. Гельфонд обратил также внимание на один оригинальный метод Эйлера, не анализируя его подробно, о чем мы скажем ниже. Отметим, что до сих пор в историко-ма-тематической литературе встречаются не совсем правильные оценки теоретико-числового творчества Эйлера, в которых вообще игнорируется его деятельность в области диофантова анализа. Например,

А,ол1ам, и Ор&Цьа' [79,с.39] считают, что в области теории чисел прямым наследником Ферма был скорее Лагранж, чем Эйлер. Они мотивируют это тем, что Лагранж добился большего успеха, чем Эйлер, в доказательстве предложений Ферма, при этом Лагранж, как и Ферма, оставался в рамках алгебраических методов. Основные же заслуги Эйлера 5с4шл£сш. и„ 0^у<уС1оои видят в "заготовке обширного материала примеров и в применении аналитических методов"

- б к проблемам теории чисел. В этом и без того спорном утверждении вообще никак не учитываются исследования Эйлера по диофантовым уравнениям. Ведь в области диофантова анализа он непосредственно следовал за Ферма /который в свою очередь следовал за Диофантом/ как в отношении проблематики, так и в отношении самих методов исследования, имеющих алгебраический характер. №1 покажем, что заслуги Эйлера в этой области гораздо значительнее, чем просто "заготовка обширного материала примеров".

Можно назвать лишь небольшое число историко-математических исследований, в которых рассматривается проблема решения диофан-товых уравнений в рациональных числах у Эйлера. Этой проблеме посвящен один раздел книги Т.Хисса [66] с.329-380], в котором сжато излагаются решения Эйлера ряда числовых задач. Однако, кроме кратких исторических справок в некоторых задачах, эти решения лишены даже небольших комментариев. Многие работы Эйлера по указанной тематике рассматриваются во втором томе "Истории теории чисел" Диксона [26], но все рассмотрение в соответствии со справочным характером книги опять-таки сводится к краткому изложению содержания этих работ. То же самое можно сказать и о вступительных статьях к первым пяти томам 1-ой серии Полного собрания сочинений Эйлера, составленным из его работ по теории чисел, в том числе и по неопределенным уравнениям. Ряд важных замечаний о творчестве Эйлера в области диофантова анализа сделала И.Г.Башмакова [I, б]. Й.Э.Гофман проанализировал несколько работ Эйлера, но полного их анализа не дал [69, 70]. Подробнее мы остановимся на этих исследованиях при рассмотрении соответствующих работ Эйлера.

Сравнительно недавно, около 25 лет назад, было начато изучение рукописей Эйлера по диофантову анализу. Важную работу по систематизации и комментированию материала этих рукописей проделала Г.П.Матвиевская, которая опубликовала содержание наиболее интересных отрывков из них [16, 17). Однако изучение рукописных материалов нельзя считать завершенным. Например, невыясненным остается вопрос, как Эйлер получил результаты, содержащиеся в ряде отрывков, и каково значение этих результатов^.

Таким образом, актуальной является задача систематического изучения, анализа и оценки творчества Эйлера по диофантовым уравнениям. При этом необходимо выяснить, каков смысл результатов Эйлера с современной точки зрения. Являются ли его методы чем-то совершенно особым и принадлежат только диофантову анализу ХУ111 века, или между ними и современными методами есть связь, скрытая непривычной для нас формой, в которой получал свои результаты Эйлер? Этот вопрос был только затронут в [I] и [70]. Чтобы на него ответить, нужно обращаться к понятиям и языку алгебраической геометрии, который стал общеупотребительным в современном диофанто-вом анализе?

Тот этап развития диофантова анализа, у истоков которого стоял Диофант и который характеризуется элементарно-алгебраическим Когда диссертация была уже написана, а основные результаты исследования творчества Эйлера опубликованы в статьях 186, 87], вышла в свет книга А.Вейля " ~Ьк&съ%>. Аи- а^иуос^сЛ^

ЪЬл&иуЬ. Ьи&Уьу-. Нсьт-тмлар*. Я^глъсЫл." ( Во^Лок, -

- ), 1983/. Рассматривая вклад Эйлера в развитие теории чисел, А.Вейль касается и его работ по диофантовым уравнениям, уделяя основное внимание методу Эйлера из работы С 57]. Некоторые выводы Вейля близки к выводам, сделанным в диссертации. Подчеркнем, что в указанной книге анализ результатов в области диофантовых уравнений проводится о^привлечением понятий и идей алгебраической геометрии, т.е. основывается на тех же методологических принципах, что и в данной диссертации. В частности, для выяснения смысла упомянутого метода Эйлера с современной точки зрения Вейль использует язык теории дивизоров. подходом к решению неопределенных уравнений, достиг наивысшей точки в творчестве Эйлера. Только Лагранжу еще удалось "дополнить" Эйлера в одной из статей 1777 г., оставаясь в рамках этого подхода. В XIX веке в истории диофантова анализа начинается качественно новый этап, связанный с работами таких математиков, как Коши, Якоби, Люка, Сильвестр, Гильберт, Гурвиц и др. Их исследования были обобщены и развиты в мемуаре А.Пуанкаре "Об арифметических свойствах алгебраических кривых" /19011*./, положившем начало современной арифметике алгебраических кривых. Этот период развития диофантова анализа - после Эйлера и до Пуанкаре - изучен очень мало. Отдельные замечания о нем имеются у Сколема [81] и в [24]. В [I] дан историко-математический анализ работы [71] Якоби, относящейся к этому периоду, а также рассмотрен мемуар [20] Пуанкаре. У Диксона [26] содержится только крайне сжатое изложение некоторых работ математиков XIX в. при. полном отсутствии анализа их содержания. А ведь именно этот период, в течение которого происходит переход к новой точке зрения на предмет и на методы исследования диофантовых уравнений, чрезвычайно важен для истории диофантова анализа.

Целью настоящей работы является историко-математический анализ творчества Л.Эйлера в области диофантовых уравнений, а также анализ процесса развития теории диофантовых уравнений после Эйлера /до 80-х годов XIX века/.

Отметим, что в истории диофантова анализа можно проследить несколько линий развития. К Диофанту восходит алгебраическая линия, характеризующаяся чисто алгебраическим подходом к трактовке неопределенных уравнений, когда основным средством их решения являются алгебраические преобразования, замены, подстановки. Так же стали трактоваться неопределенные уравнения в ХУ1 - ХУ111 веках, после знакомства европейских математиков с^Арифметикой"

Диофанта. В XIX веке в диофантовом анализе возникают две новые линии, одна из которых связана с введением геометрических представлений в диофантов анализ, а другая - с применением теории эллиптических функций. Эти направления - геометрическое и аналитическое - сливаются воедино, когда диофантовы уравнения начинают рассматриваться в рамках алгебраической геометрии, объединяющей оба этих подхода. В диссертации прослеживаются в основном алгебраическая линия развития диофантова анализа и переход от нее к геометрической точке зрения на предмет. Аналитическое направление развития диофантова анализа не рассматривается. До 80-х годов XIX века это направление было представлено только статьей Якоби [713, опубликованной в 1835 г. и, по-видимому, не привлекшей внимания современников /см. [I]/.

Основное внимание в диссертации уделяется истории методов исследования арифметики кривых рода I. Развитие диофантова анализа в ХУ111 - XIX веках было главным образом связанао с исследованиями в указанной области. Отметим, что вопрос о структуре множества рациональных точек алгебраической кривой наиболее просто решается для кривой рода 0, поскольку, если она обладает хотя бы одной рациональной точкой, то координаты множества ее рациональных точек можно задать с помощью рациональных функций параметра. Этого нельзя сделать для кривых больших родов. Вопрос о множестве рациональных точек для кривой ¡рода 0 2-го порядка был решен уже Диофантом. Он же начал изучение неопределенных уравнений 3-ей и 4-ой степеней, задающих кривые рода I. Его исследования были продолжены математиками ХУ1 - XIX веков. В 1-ой четверти XX в. были получены фундаментальные результаты в области арифметики эллиптических кривых: на множестве рациональных точек кривой рода I была введена групповая структура и доказано, что полученная группа -конечно порожденная. Вопросы строения этой группы интенсивно изучались, однако не все они пока решены. Мы покажем, что современные методы арифметики эллиптических кривых имеют богатую предысторию, связанную, в частности, с деятельностью математиков ХУШ - XIX веков, работавших в области диофантова анализа. Что касается кривых родов ^ % , то здесь долгое время не удавалось установить сколь-нибудь общих результатов о структуре множества рациональных точек. Только совсем недавно, в 1983 г., была доказана гипотеза Морделла о конечности этого множества.

Работа состоит из введения, трех глав и заключения. Первые две главы посвящены творчеству Эйлера. При. их написании ставилась цель проанализировать все работы Эйлера, относящиеся к проблеме решения диофантовых уравнений в рациональных числах, как монографии, так и отдельные публикации. Рассматриваются также рукописи Эйлера. Большое внимание уделяется выяснению смысла результатов Эйлера с современной точки зрения. В третьей главе анализируются работы Лагранжа, Копи, Люка по диофантовым уравнениям и характеризуются основные направления исследований по диофантову анализу в XIX веке. Изложение здесь не претендует на полноту охвата всей картины развития диофантова анализа в XIX в. Основное внимание уделяется нескольким работам, которые, по нашему мнению, были этапными в развитии диофантова анализа. Перейдем к обзору содержания диссертации по главам.

Заключение научной работыдиссертация на тему "Неопределенные уравнения в работах Л. Эйлера и математиков XIX века"

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

I. Дан систематический анализ творчества Эйлера в области рациональных решений диофантовых уравнений, основанный на изучении всех его работ на эту тему. Показано, что Эйлер сделал важный вклад в развитие арифметики эллиптических кривых.

1.1. Выяснен смысл исследований Эйлера, проведенных в статьях 11 ¿Ое- кили* atcpuationZb 0- а+ &х +¿3?+ + + + ioc^j2, pw уъиьтяАоъ м&огшЛгл

11 YHjltbsod^A rvOVcc ¿fc fasbotib ф^УьгпиЛсц, сиЛгьсьъ ^J^XAX^OUX^C^CU6 cut " с точки зрения современного диофантова анализа, в частности, проанализирована разработанная Эйлером в последней статье процедура нахождения последовательности рациональных решений уравнения (з:) по одному или двум известным решениям. Показано, что в данной процедуре впервые использовались все методы /методы касательной и секущей, отражение рациональных точек относительно оси симметрии кривой/, применяемые сейчас для получения рациональных точек эллиптической кривой и лежащие в основе определения групповой операции на этом множестве точек. Установлено, что один из вариантов эйлеровской процедуры представляет собой исторически первый алгоритм для последовательного нахождения элементов циклической подгруппы группы рациональных точек эллиптической кривой вида

1.2. Установлено, что Эйлер использовал в своих работах для решения уравнений ^ и 53 (ос) = ^ алгебраические методы, с геометрической точки зрения эквивалентные методу секущей в ситуации, когда секущая проводится через две конечные рациональные точки кривой.

1.3. Показано, что в статьях Эйлера, посвященных решению конкретных задач, также встречаются отдельные новые моменты, относящиеся к арифметике алгебраических кривых /расширение класса рассматриваемых неопределенных уравнений 3-ей степени с двумя неизвестными, рассмотрение неопределенных уравнений 2-ой и 3-ей степеней и двойных равенств в однородной форме, использование дробно-линейных замен для преобразования уравнений, решение двойных равенств путем их сведения к одному неопределенному уравнению 4-ой степени, и др./.

1.4. Установлено, что Эйлер сделал первые шаги по изучению таких свойств кривых, как бирациональная эквивалентность кривых над полем Й2 и их униформизируемость в рациональных функциях над полем © .

1.5. Даны реконструкции ряда методов Эйлера, позволяющих получить формулы для рациональных решений неопределенных уравнений 3-ей степени, содержащиеся в рукописях Эйлера.

П. Дан историко-математический анализ работ Лагранжа, Коши, Люка, с которыми связано дальнейшее развитие методов исследования арифметики эллиптических кривых. Показано, что работа Коши " Ясс ъгъоЬЛлоь си сусг&ри^ исШе^т^пАе^ п&гпЛп&ъ " содержит одну из первых попыток создания некоей общей теории диофантовых уравнений,, важным результатом которой было получение методов касательной и секущей в самом общем виде.

П1. Исследован процесс перехода к более высокому уровню общности в диофантовом анализе и формирования новых взглядов на методы исследования диофантовых уравнений, происходивший в XIX в. 1У. Показано, что в развитии диофантова анализа в XIX веке отразились общие тенденции развития математики этого периода. В частности, успехи диофантова анализа были связаны с привлечением идей и методов других математических теорий. Установлено, что идеи алгебраической геометрии стали применяться в диофантовом анализе уже в 80-х годах XIX века.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Как показано в первых двух главах диссертации, тот этап развития диофантова анализа, который восходит к Диофанту и характеризуется элементарно-алгебраическим подходом к трактовке неопределенных уравнений, достиг наивысшей точки в творчестве Л.Эйлера. Он не только решил множество конкретных задач, сводя1цихся к разысканию рациональных решений неопределенных уравнений, но и развил дальше алгебраические методы Диофанта и Ферма. Основные результаты Эйлера относятся с современной точки зрения к арифметике алгебраических эллиптических кривых. Если Диофант и Ферма применяли для решения уравнения алгебраический эквивалент метода секущей только в ситуации, когда одна из известных рациональных точек - бесконечно удаленная, то у Эйлера для решения уравнения (I) и уравнения впервые применяются алгебраические методы, с геометрической точки зрения эквивалентные методу секущей в ситуации, когда секущая проводится через две конечные известные рациональные точки кривой. Виртуозно владея алгебраическим аппаратом преобразований, подстановок, замен, Эйлер приходит к методу секущей в указанной ситуации даже несколькими алгебраическими путями. Для него, по-видимому, это были различные алгебраические методы, тогда как с геометрической точки зрения они по сути эквивалентны.

Во второй главе диссертации показано, что, пожалуй, наиболее значительные общие результаты Эйлера содержатся в работе [57], которая занимает выдающееся место в истории диофантова анализа. В ней на основе элементарно-алгебраического подхода разработаны процедуры получения последовательности рациональных решений уравнений а) 4

2) вида <2) и (х) = £. (3)

С геометрической точки зрения эти процедуры представляют собой процессы итерирования методов касательной, секущей и парабол. В предложенном Эйлером методе получения последовательности рациональных решений уравнения вида (2) используются уже все операции /метод касательной, метод секущей в общей ситуации, отражение рациональных точек относительно оси симметрии кривой/, лежащие в основе определения сложения рациональных точек на кривой 3-го порядка рода I. Они даны Эйлером как отдельные шаги итерационного процесса и в виде самостоятельных методов не выделяются. Следует отметить, что все указанные методы формулировались на языке элементарной алгебры, и ни в одной из работ Эйлера не содержится какой-либо геометрической интерпретации этих методов. Нами показано, что фактически в работе Г57] впервые дана конструкция, позволяющая последовательно находить элементы циклической подгруппы, порожденной известным элементом, группы рациональных точек кривой вида (2), Таким образом, Эйлер сделал весьма существенные шаги на пути изучения структуры множества рациональных точек эллиптических кривых, разработав /хотя и в завуалированной алгебраической форме/ методы, которые легли в основу арифметики эллиптических кривых.

Большое значение для развития диофантова анализа имела "Алгебра" Эйлера, анализ которой дан в 1-ой главе диссертации. В "Алгебре" были систематически изложены известные к тому времени общие методы решения неопределенных уравнений с двумя неизвестными первых четырех степеней в целых и рациональных числах, содержались и некоторые собственные результаты Эйлера. Так, например, он сделал первые шаги по изучению таких свойств кривых, как би-рациональная эквивалентность кривых над полем © и их унифор-мизируемость в рациональных функциях /см. § 3 гл.1 диссертации/.

Разумеется, Эйлер не использовал современной терминологии и не владел данными понятиями в полном объеме, но некоторые его результаты имели указанный смысл.

В "Алгебре" Эйлер исследовал и вопрос о числе рациональных решений уравнений (Г)-(З). Здесь же впервые была высказана идея применения двух известных рациональных решений для нахождения нового рационального решения уравнения (I), которая приводит к методу секущей. Отметим, что до этого для получения нового рационального решения уравнения 3-ей степени использовалось лишь одно известное решение. Несмотря на свою простоту, эта идея в течение столетий не была замечена математиками. Она имела принципиальное значение для дальнейшего развития диофантова анализа, поскольку именно на ее основе был найден Эйлером и развит последующими исследователями метод секущей в общей ситуации, который вместе с методом касательной лег в основу определения групповой структуры на множестве рациональных точек эллиптической кривой.

Наиболее распространенный тип уравнений, который встречается в статьях Эйлера, посвященных решению конкретных задач /таких статей у него более тридцати/ - это неопределенные уравнения 3-ей и 4-ой степени. Помимо применения известных методов Диофанта-Фер-ма Эйлер провел в некоторых статьях и самостоятельные исследования таких уравнений. Так, он рассмотрел ряд неопределенных уравнений 3-ей степени с двумя неизвестными, не имеющих канонических видов (I) и (3). Для нахождения их рациональных решений он использовал линейные подстановки для неизвестных, что с геометрической точки зрения соответствует применению метода касательной или секущей для рассматриваемых уравнений. Эйлер стал также рассматривать и неопределенные уравнения с тремя неизвестными видов

Fъ(u,-t-)~Vi (4) и = V* С5) где (и,?Ъ>) - однородный многочлен от и,, ~Ь степени . С геометрической точки зрения вопрос о рациональных решениях этих уравнений означает вопрос о рациональных точках плоской эллиптической кривой. Методы, применяемые Эйлером для решения (4) и (5), основываются на использовании линейных и квадратичных подстановок и с геометрической точки зрения соответствуют методам касательной, секущей и парабол /см. §4 первой главы диссертации/. Подчеркнем, что Эйлер первым рассмотрел однородное уравнение 3-ей степени. Это было важным шагом, так как именно рассмотрение неопределенных уравнений в однородной форме позволило изучать арифметические свойства соответствующих алгебраических кривых с дотаточной степенью общности /поскольку это соответствует исследованию кривых на проективной плоскости/.

Эйлер продолжил и исследование двойных равенств, начатое еще Диофантом. Для решения двойных равенств Эйлер применял как методы Диофанта и Ферма, так и другие приемы, в частности, сведение двойных равенств вида и,? к неопределенному уравнению 4-ой степени, задающему плоскую эллиптическую кривую.

Таким образом, Эйлер, оставаясь в рамках элементарного алгебраического подхода, значительно продвинул вперед науку о диофан-товых уравнениях, ярко проявив в этой области свое виртуозное владение формульным аппаратом математики,и создал предпосылки для исследования в дальнейшем более общих задач диофантова анализа.

В главе 3 прослеживается последующее развитие теории неопределенных уравнений. Оно было связано с переходом к более общей точке зрения на предмет. В 1777 г. Лагранж рассмотрел общее уравнение 3-ей степени: с двумя неизвестными и, основываясь на идеях алгебраического характера, изложил для него метод касательной в общем виде / § I главы III диссертации/. Следующим важнейшим событием в истории диофантова анализа было появление в 1826 г. работы Коши [25]. Она принципиально отличалась от предшествующих исследований в этой области более высоким уровнем общности /впервые поставлена задача решения в целых числах однородного неопределенного уравнения YI -ой степени, сделана попытка выработать возможно более общий подход к решению однородных уравнений 2-ой и 3-ей степени с тремя неизвестными/. Впервые методы секущей и касательной были сформулированы в самом общем виде/в алгебраической форме/.

Развитие диофантова анализа в ХЕХ веке связано с отходом от узко алгебраической точки зрения и проникновением в диофантов анализ идей из других математических теорий, прежде всего алгебраической геометрии. В 1878 г. в связи с задачей решения неопределенных уравнений 3-ей степени в диофантов анализ были введены геометрические представления. Сделал это Э.Люка, сформулировав геометрически методы касательной и секущей. Этот шаг имел принципиальное значение для дальнейшего развития диофантова анализа, поскольку геометрическая интерпретация задачи решения диофантовых уравнений давала возможность привлечь для исследования идеи алгебраической геометрии, значительно продвинутой к этому времени вперед.

Разбору указанных работ Коши [25] и Люка [76] посвящены § 2 и § 3 главы III диссертации. В § 4 третьей главы диссертации прослежены первые шаги, связанные с привлечением в диофантов анализ идей и методов алгебраической геометрии.

Таким образом,в третьей главе диссертации показано,как в работах Лагранжа; Коши, Люка, Сильвестра и др. совершался переход от от элементарного алгебраического подхода Диофанта-Ферма-Эйлера к современной точке зрения, начало которой положила работа Пуанкаре[2( n

Список научной литературыЛавриенко, Татьяна Алексеевна, диссертация по теме "История науки и техники"

1. Башмакова И.Г. Арифметика алгебраических кривых /от Диофанта до Пуанкаре/.-Историко-математические исследования, 1975, вып.XX, с.104-124.

2. Башмакова И.Г. Диофант и диофантовы уравнения.- М.: Наука, 1972.- 68 е.

3. Башмакова И.Г. "Книга квадратов" Леонардо Пизанского.- История и методолгия естественных наук, 1978, вып.XX, с.27-37.

4. Башмакова И.Г. Комментарии к шести книгам "Арифметики" Диофанта Александрийского.- В кн.: Дюфант. Арифметика. М., 1974,с.183-311.

5. Башмакова И.Г., Славутин Е.И. Исчисление треугольников Ф.Виета и исследование диофантовых уравнений.- Историко-математические исследования, 1976, вып.XXX, с.78-101.

6. Башмакова И.Г., Славутин Е.И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма.- М.: Наука, 1984.- 256 е.

7. Башмакова И.Г., Юшкевич А.П. Леонард Эйлер.- Историко-матема-тические исследования, 1954, вып.УН, с.453-512.

8. Гельфонд А.О. О некоторых характерных чертах идей Л.Эйлера в области математического анализа и его "Введении в анализ бесконечно малых".- Успехи математических наук, 1957, т.XII, вып. 4(76), с.29-39.

9. Гельфонд А.О. Роль работ Л.Эйлера в развитии теории чисел. В кн.: Леонард Эйлер. Сборник статей в честь 250-летия со дня рождения, представленных Академии наук СССР. М., 1958, с. 80-95.

10. Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах/ Пер. с древнегреческого И.Н.Веселовского.- М.: Наука, 1974,- 328 е.

11. Дэвенпорт. Высшая арифметика.- М.: Наука, 1965.- 175 е.

12. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, т.З. Математика ХУШ столетия./ Под редакцией А. П. Юшкевича. -М.: Наука, 1972.- 495 е.

13. Каучикас А. П. Диофант и неопределенный анализ в трудах европейских математиков ХП1-ХУ1 веков.- Дис. канд. физ.-мат. наук.-М., 1979.- 118 е.

14. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии.- М.-Л.: ОНТИ, 1937.- 432 е.

15. Колмогоров А.Н. Математика.- В кн.: БСЭ, 2-е изд., 1954, т.26, с.464-483.

16. Матвиевская Г.П. Неопубликованные рукописи Л.Эйлера по дио-фантову анализу,- Труды Ин-та естествозн. и техники, 1959, т.XXII, вып.7, с.240-250.

17. Матвиевская Г.П. О неопубликованных рукописях Л.Эйлера по дио-фантову анализу.- Историко-математические исследования, 1960, вып.XIII, с.107-186.

18. Математика XIX века: Геометрия. Теория аналитических функций/ Под ред. А.Н.Колмогорова, А.П.Юшкевича.- М.: Наука, 1981:-269 с.

19. Ожигова Е.П. Развитие теории чисел в России.- Л.: Наука, 1972.- 360 с.

20. Пуанкаре А. Об арифметических свойствах алгебраических кривых. Избранные труды. М., 1972, т.2, с. 901-960.

21. Уокер Р. Алгебраические кривые.- М.: Изд-во иностр. лит., 1952.- 236 с.

22. Эдварде Г. Последняя теорема Ферма: Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел.- М.: Мир, 1980.- 484 с.

23. Юшкевич А.П. Жизнь и математическое творчество Леонарда Эйлера.» Успехи математических наук, 1957, т.XII, вып. 4(76), с.3-28.fv»

24. ASbfyi cCktâjDÙLe, CIM 1400-1900.

25. V. 1-Z / Sou* £a, dWec. cíe, fi с^ЬшАмитя,. ~ 13Ч2>. %>5Щ Соисск^ Sect £tzr fce^oùcùc^u de, t^cce^u^ ec^cutélom Lndl^ciïtZ-rc^eb en- K&mJbe* : Couuyü¿£ /¡,ьопърМх, t.69 p. Пв- Ы5\ъо4слоп, Ъ. Hstetbby. ~Ыи. ФЬе&оу, ПитЛ&ьь^

26. V.Ii С cuiafyktb. /ft¿ur ¡foté9 - ^93p.24. сЫ^ t. UlUoty efi "UJU tkeoby,

27. V. 3 : cutd kí^Au/í, ф?ъмЛ4. *ТЫгсг *joiJc,99M. 3Í3 p.

28. Zk di. VtrßfetcLtuiigje, finlüytu^

29. Stutt^cLní : 1959 ( Ореъа, onuvLc^, -á-еъ. 1. e£и 1 ),

30. S. bcd&u <¡Tk£c^mx¿t¿¿,+ru алЛ^А^^ге^сс^л^гп.

31. Ъи&Ъ, dt. So^cctCo ¿j¡¿u> cLu^o

32. K¿cme>tZ fyu^yuzfrv "tourv s^yrvm^o ¿¿¿ь&ит.obutn, -¡Ллгс. cuu^tcun, zftlcctyMjculruxdusTrL-,-- Jïcvt, ôommeHyùvûi ас. -ác, 157 p. %3-50 ( Ореъа, c»n*tla>, L e¿tsi% Y.3, p.

33. UbCjAc£o иг Cj/¿¿> €<<£ ¿ctûsbcccyfyj>oblt<x, • -¡Л-nst , — сснгглы&П' a*A¿ а*. te. 1$, p. ill (Opesvcc

34. Ornsvico, i, V. 3} p.%%%,-%, 9&).3$. à?, ßtcr&i&nta, ^tv^íd^*^. —o^ovi- ас. ьс. 19v j=>* Í1Z-1Ъ1 ( Ореъсс, Qf7bn¿cx,, bvb.i, v.3, p. ЗЪ$ 35%\ 33. Ж. So&céco tj/j^t^ondccsri,

35. ZH^u^áo^cceym. -¿¿гии*,5 cb&tcxsm, ítifot, se Í&h£¿u¿t Hx¿é¿cm£Arb иЛс in. cuzaJx^íoùiofyhasijtzcc zrau¿>tsc<coKt, ~ fffJsn. cU ac,. det ele t&rPl,

36. Ъшгигга, /)7t¿m-, de- £ d&.$ SrC.cU zt.-L9, p. 3- 13 ( Op&icc, ofruilb^ ъеъ. i9 v. 5y p. 61- 40). ijsLcaz- Aa^e ^nesuiJUb ctot -f )\

37. Шт. cU de* de М.-Ц, ll%49 (tyt&wu

38. QnvnlcL , lj K. ó" p. 4i~ ).50.

39. ИМ-ГП&Шь^ (j/M&UWb iiCuyrwnce, ¿vé-btLí'TvnbCü èi^u^uùiuticm.^ ad юллгЁ&гп, ¡Jí£ub¿k¿¿ <£oc- ^can^jLcuLindtco.- Шт, dz de* *c. (к S¿.-P.9 Ю, р.З-в

40. Ор&чъ су)-гшЛсс7 ¿ел,. к рл 77 il ).

41. IkjA^uZ p^rn&ttosrijc, АимЛуяЪ.s oàûrf/ûjzndeaz,. -тЬъ. (к -t'a*, скл ск 11Щ li9 pi-ií (Ореъа.1Л v. 5.; р. ъ%- эз\

42. Я!. pbxd>&4>rUlÉcô dc$f¿c¿££¿*rz¿f <puc lube, cLuu> 9Ъгипги&ье. ¿ЛЛ- ê"^ et (римлкссоЬл, bexioU

43. ОреЛсе, оггирса, v. 5 р. 13d dZ4\55. <£. ^H^ci^oJ^tlcyne^ eiste**, -i^omsnzc*,1.fac -¡¿г, à. c¿£.

44. Ытери&б ) пъс^+ъл -Ее, tu?r>bS>zje> —v. Z. B&Ûzc 1Ш, p. 60S' êlû ( Ореы, omnia., -a&h 1, К % p. 303-329).

45. QO. №. Solutleyn. ci ten, fibo&Eetne, ОЛ&&& e¿csvte¿¿<xt

46. JyQ/VVVi. ; г- tyuóCÚiÁL n&m&izz px>t¿£¿<fi*> &t Ьке^и^х.e+dh. iceiovrvme. c¿£- d&coot- -boot 'tct^otcsi'sten. cawce. Op&icc спгшЛгс^ ^ç/l. 1. ^^л&уаие.^ 1944, v. p. 330-339.

47. G. UtCcùh exß A-icsxuxskidblct. Ссс-гпРиАдл.^1910.t $

48. G¥. МлМе>ик HustAvVbí j\. U<êe>L che, d¿ojMaAiM>bisA& ^^/иЫъши^ЛАЪ' «trorruk^vkAM Лиг. 77lcM-.v i%30,

49. Zê Uofßmtxsvn, ty. \ ^ieyklelä^ dex- tîhctâtZtncvtlJc. È>efzJkrv^ 135?.»$ tÊ Ule*eine- Аи^^аЛе3&vyruz&. àiUuu^uc^ 199 IG3-Z0Z.j

50. Opesuz, ovrubico, 1. iâ^tÂe

51. Ee^Wô 19 11^ v. 1, h 493 651). 43.de, ¿bi&fAu^ntz,, УК&гпхусгиг* deскь At. et Belle.- cU, È>&t£Ut,, i777 ( ùeu^yiet^1. H6S9 p. 377- 39%).uca¿¡ RMUœ/boAieb ьиъ, ^ оцга£^е, шЛе^и^Л^г&е, ¿t

52. Лавриненко Т.А. Решение неопределенных уравнений 3-ей и 4-ой степени в рациональных числах в XIX в.- М.,1982.- 31 е.- Рукопись представлена Московским университетом. Депонирована в ВИНИТИ 5.07.83 г., № 3669-83 Деп.

53. Лавриненко Т.А. Решение неопределенных уравнений 3-ей и 4-ой степени в поздних работах Эйлера.- Историко-математические исследования, 1983, вып.ХХУП, с.67-78.

54. Лавриненко Т.А. Неопределенный анализ в работах Л.Эйлера.-М.,1982.- 37 е.- Рукопись представлена Московским университетом. Депонирована в ВИНИТИ 22.12.83 г., № 6988-83 Деп.