автореферат диссертации по истории, специальность ВАК РФ 07.00.10
диссертация на тему: Дифференциальные и интегральные методы в работах Пьера Ферма

Полный текст автореферата диссертации по теме "Дифференциальные и интегральные методы в работах Пьера Ферма"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ПАУК Институт истории естествознания и техники

На правах рукописп

ТАРАНОВСКАЯ Татьяна Даниловна

УДК 512 (091)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В РАБОТАХ ПЬЕРА ФЕРМА

07.00.10 — история науки и техники

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1992

Работа выполнена ;в кабинете истории и методологии нате матнки и механики механико-математического факультета Мое ковского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель — доктор физико-математических науь

профессор И. Г. Башмакова.

Официальные оппоненты: доктор физнгш-математичеких науг;

профессор и. X. Розов,

кандидат физико-математически: наук Ф. А. Медведев.

Ведущая организация — Пермский государственный педагоги

ческий институт.

Запщта состоится « 1/ . » , . 1992 г.

в . ./. Р. . часов на заседанииУ специализированного совеп К 003.1104 по присуждению ученой степени кандидата физико математических наук в Институте истории естествознания 1 техники Российской академии наук по адресу:

103012, Москва, К-12, Старонанскии пер., 1/5.

С диссертацией можно ознакомиться л научной библиотеке института.

« /6. » . 1992

г.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного соиета^^^^^у^ Б. М. Маршшчен

Тли. МВОКУ (1.10.02 Зак. 7!

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Как в истории естествознания вообще, п истории математики XVII пек занимает особое место. II связано зто прежде всего с началом нового периода в развитии ;>тои науки — периода «математики переменных величин». XVII век породил целую плеяду замечательных ученых. Достаточно назвать Галилея, Кеплера, Декарта, Гюйгенса, Итлотона, Лейбница. II далеко не последнее место в этом ряду занимает Г1ьер Ферма (1001 —100.1), которого Б. Пас кал г. называл «ве-тчайшим математиком Европы».

Творчеству П. Ферма посвящена обширная литература. II псе лее внимательное изучение его наследия показало, что в нем имеется целый ряд неисследованных, темных мест.

15 настоящей работе проводится петорпко-математпчееннн шалил малоизученных произведений Ферма, содержание которых имеет отношение к аналитической геометрии, дифференциальным и интегральным методам. Эти работы были написаны 1 разное время и период 10,38—1000 гг. 13 двух геометрических трактатах (геометрической диссертации «О решении проблем •еометрпц с помощью кривых. . . » и «Введении в изучение но-¡ерхпостных мест».) Ферма исследует вопросы геометрии, воз-пткнпте в связи с его знакомством с «Геометрией» Декарта, п мучает поверхности второго порядка, впервые рассматривая IX как геометрические места. В работах, посвященных диффе-нчщиалышм проблемам, автором данной диссертации нзу-кк'гся второй способ Ферма определения экстремумов и обо-чюватше с его помощью первого метода, а также приложения Iетодов максимума и минимума. Особенно подробно иселедует-я вопрос о построении по методу Ферма касательных к трансцендентным кривым. Интеграционные задачи Ферма рассмат-жиает в четырех сочинениях, где излагается известный метод 1'ерма нахождения квадратур кривых, а татке фактически не 1сследованпые до сих лор его методы преобразования одних пггегралов в другие. Кроме того, Ферма вычисляет длину дуги по.тлониевон параболы и еггрямляет- нолукубическую параболу.

Многие из перечисленных трудов II. Ферма либо совсем не сследовалнсь историками математики, лнбо подверглись изустно в явно недостаточной степени. По этой причине сведе-пя о достижениях Ферма и указанных разделах математики вляются неполными и- носят отрывочный, несистематический арактер, хотя отражают основные направления его деятель-остп и этой области. Следовательно, вклад Ферма в развитие толк важных отраслей математической наукп изучен еще да-еко по полностью.

Таким образом, тема выполненного ттсторпко-математичес-010 исследования является весьма актуальной.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Дать историко-иатематический анал: творчества П. Ферма б области аналитической геометрии, дш ференциальных и интегральных методов. В частпости, выя нить вопрос о том, знал ли Ферма о взаимосвязи дифференц рования и интегрирования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ. Все основные резулычп диссертации являются новыми. Они состоят в следующем:

1. Из проведенного нсторико-математпческого анализа го метрических работ П. Ферма сделай вывод, что Ферма вперш дал классификацию алгебраических кривых по степеням 1 уравнений, а также попытался ввести в теорию новерхностс рассматриваемых как геометрические места, общую точку зр ния, добавив к известным поверхностям второго порядка ва; пые новые поверхности, и сформулировал общее определен плоскости в пространстве.

2. Установлено, что Ферма предложил два метода иахожд ния экстремумов, один из которых явился обоснованием друг го. При этом он исходил не только из алгебраических нонятп но был близок к понятию предела и фактически пспользон; бесконечно малые величины.

3. Рассмотрен метод Ферма определения касательных к а гебраическим и трансцендентным кривым. В частности, д; полный анализ метода Ферма нахождения касательной к ц клоиде и показано, что его метод касательных основан па з мене одних бесконечно малых элементов другими (нрираш ние функции заменяется ее дифференциалом, бесконечно м лая дуга кривой — прилегающим отрезком касательной п. другой бесконечно малой дугой).

4. Осуществлена реконструкция решения задачи об оиред дешш касательной к квадратрисе по методу Ферма.

5. Выявлено, что в методе Ферма нахождения квадрату) многочлена РП!(£) л дроби вида Рп(х)/хш, но существу, уст навливается свойство аддитивности определенного интеграла

- 6. Реконструировало доказательство «теоремы» Ферма интегрировании по частям степенной функции вида I (у) -== [у(х)]п (пг1М), где у (х) — монотонно убывающая фун ция с область^ определения [О, Ь] и такая, что у (0) == у (Ь) = 0. Показано, что эта «теорема» справедлива для бол широкого класса функций и что формула Ферма иредставля собой своеобразную комбинацию современных формул аштегр рования по частям и интегрирования путем замены переме пой.

7. Приводятся аргументы в пользу гипотезы о том, что Фе ма была известна взаимообратная зависимость между опе£

rmnr, равносильными современному дифференцированию и ггегрировапшо.

8. Устанонлопо, "что при спрямлении полукубпческон пара-льг, как и при нахождении касательных, Ферма прибегал к ■пользованию бесконечно малых величин п впервые-в своих .ботах вкел л рассмотрение характеристический треугольник, ролге того, показано, что в методе Ферма спрямления полуку-;ческой параболы прослеживается применение .взаимосвязи :фферепцированпя ir интегрирования.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ. Исследования и вьгво-г, содержащиеся в диссертации, могут быть использованы:

— для дальнейших исследовании в области история мате-п'пки пнфшштезималъных величин первой половины XVII ка;

— при разработке учебных пособий и курсов по истории и 'тодологшт математики в университетах п педагогических" гститутах;

—• при разработке учебников, монографий и ' другой спе-шльиой литературы по истории математики.

АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ. Мате-¡алы диссертации докладывались па:

— научно-исследовательском семинаре по истории и мето-|ЛОпш математики и механики механико-математического фа-гльтета Московского государственного университета им. . 13. Ломопосова (1987—1990 гг.);

— XXX, XXXI, XXXII научных конференциях аспирантов молодых специалистов по истории естествознания и техники Институте истории естествознания и техники Российской ака-мшг наук (1987—1989 гг.). При этом ЛИЕТ признал доклад тора данной диссертации на XXXII научной конференции ■чинш и расширенный текст доклада (2 п. л.) был представ-п для публикации в препринтах ИИЕТ (1989 г.).

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ. Работа состоит из вве-!П1я, трех глав, разделенных на 1G параграфов, и заключения, воженных на 174 страницах машинописного текста, а также иска цитированной литературы из 250 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. Во введении обосновывается ;туальность темы исследования, дается краткий обзор лнтера-•ры тго томе, определяются цели исследования. Приведено ос->вное содержание диссертации с делением по главам.

Первая' глава посвящена анализу геометрических работ , Ферма.

В первом параграфе дается краткая предисторпя аналити-ской геометрии, начиная с создания «геометрической алгеб-I» древними греками и применения ее в теории конических -

сечении Аиоллоиня, и до появления геометрических работ Декарта и Ферма.

Во втором параграфе характеризуется вклад Декарта и Ферма в создание и развитие аналитической геометрии на плоскости. Здесь рассматриваются первые математические работы Ферма но восстановлению утерянных книг Аполлония г приводятся, основные результаты из «Введения в изучение плоских п телесных мест» Ферма н «Геометрии» Декарта.

В третьем параграфе исследуется та часть геометрическое диссертации Ферма под названием «О решении проблем геометрии с помощью кривых, наиболее простых и особенно соответствующих каждому роду проблемы», где обсуждаются геометрические проблемы. Здесь дается оценка критическим замечаниям Ферма но поводу «Геометрии» Декарта, направленным, прежде всего, против декартовой классификации «геометрических» кривых. В результате критического подхода к декартовой классификации Ферма фактически предложил классифицировать кривые по степеням их уравнений, как это делается в современной математике. Впоследствии он более яснс высказал свою точку зрения по этому поводу в сочинении, представляющем собой сжатое изложение диссертации. Значительную часть труда Ферма занимает его метод решения урав-■ неппй четной степени с одной неизвестной через пересечение кривых с уравнениями наполовину меньшей степени, который как мы иыясняем, не является общим методом и обладает рядом недостатков.

В четвертом параграфе разбирается трактат Ферма «Введение в изучение поверхностных мест», в котором рассматриваются некоторые проблемы пространственной геометрии. Jio называется, что в этом сочинении Ферма изучает поиерхногп второго порядка посредством метода сечений, рассматрлва; их как геометрические места н добавляя к уже известным важные новые поверхности второго порядка, а также прямые и наклонные цилиндрические поверхности. Кроме того, Ферма дает пример плоскости как поверхностного места, формулирует об щее определение плоскости в пространстве и устанавливает связь между «Введением 'в изучение плоских и телесных мест>: и «Введением в изучение .поверхностных мест». В результат« исследования последнего «Введения» мы пришли к выводу, чт< хотя Ферма еще не пользуется здесь пространственными координатами в явном виде, но идея распространения координатпо го метода на пространство уже была заложена в этом произведении. Реализована же она была в 1650 году в работе «11ово< употребление в анализе радикалов второго и высшего порядков».

Во второй главе изучаются дифференциальные методы X Ферма н их приложения. Особое внимание уделено методу касательных.

В первом параграфе кратко изложена история дифференциальных методов. При этом более подробно рассмотрена так называемая «задача Геропа» и особое внимание уделено развитию основного нрпнцнпа нахождения экстремумов, согласно которому экстремальная точка гладкой кривой является стацио-гарной.

Во втором параграфе этой главы рассматриваются два метода нахождения экстремумов II. Ферма. Показывается, что ¡торой метод имеет свои истоки в работах Панна и Виета и что ж был применен Ферма для обоснования первого метода.

В третьем параграфе приводятся некоторые приложения петодов нахождения максимума и минимума П. Ферма. Наиболее интересными из них представляются решение задачи Аполлония о минимальном значении дроби (вторым методом) I определение экстремального значения выражения, содержащего иррациональности.

Существенное место в творчестве Ферма занимает вопрос о нахождении касательных к различным кривым. Исследованию )того вопроса посвящены следующие три параграфа второй главы.

В четвертом параграфе дается краткая характеристика методов определения касательных к алгебраическим кривым Тор -эпчеллн, Роберваля, Декарта и несколько иодроонее излагается метод Ферма. При этом выясняется, что именно Ферма понимал под «специфическим свойством» кривой и прослеживается эволюция его метода касательных на н_рнмере алгебраи-хеских кривых.

В пятом параграфе рассматривается вопрос о нахождении ласагельной к циклоиде. Сначала кратко излагается последовательность действия самого Ферма, а затем дается полный разбор метода с точки зрения современной математики.

В шестом параграфе дается реконструкция решения зада-ш об определения касательной к квадратрнсе но методу Ферма и анализ этого решения.

Третья глава посвящена исследованию интеграционных методов Ферма.

Первый параграф является вводными освещает развитие интеграционных методов от Архимеда до появления трудов по квадратурам и спрямлеишо П. Ферма. Здесь приводится крат-гая характеристика работ, посвященпых этой проблеме, Кеплера, Кавальери, Торричеллп, Роберваля, Валлиса.

Во втором параграфе кратко излагаются результаты Ферма з области квадратур, полученные им с помощью модифпциро-

ванного метода Архимеда, и указываются отличия нового метода квадратур, разработанного Ферма несколько позже, от метода Архимеда.

В третьем параграфе этой главы исследуется метод Ферма, с помощью которого квадратуры новых кривых сводятся к известным квадратурам парабол и гипербол. Ферма приводит несколько конкретных примеров, анализ которых позволяет перейти к рассмотрению 'вопроса и общем виде и сделать вы-вод, что решая задачу своим методом, Ферма устанавливает свойство аддитивности определенного интеграла.

В четвертом параграфе разбирается та часть трактата «О преобразовании и упрощении уравнений мест для сравнения различных криволинейных площадей либо между собой, либо с прямолинейными, и одновременно, о применении геометрической пропорции для квадрировашш бесчисленных парабол и гипербол», где сформулирована «общая теорема» Ферма об интегрировании но частям. Ферма только лишь излагает последовательность, своих действии .и дает окончательный результат,, 1; которому они приводят. Какое-либо доказательство или обоснование этого результата 15 его работе отсутствует. Поэтому мы предлагаем предположительную реконструкцию рассуждений Ферма, основываясь только на тех фактах, которые были безусловно известны ему.

Особое место в данной главе занимает .пятый параграф, в котором выяснйется значение- «общей теоремы» Ферма. Здесь делается вывод о том, что Ферма, возможно, знал о взаимообратной связи операций, соответствующих современному интегрированию и дифференцированию функции. Кроме того, в этом параграфе показано, что «общая теорема» Ферма справедлива для более широкого класса функций, чем тот, который был предложен самим Ферма, и что в ней заключено не только то правило, которое мы называем интегрированием по частям, но н интегрирование путем замены переменной.

В шестом параграфе исследуется вопрос о том, каким образом Ферма применял свои интеграционные методы' при спрямлении кривых. Ферма вычислил' длину дуги обыкновенной параболы и полукубической параболы; причем в последнем случае он активно использовал основные идеи своих интегральных и дифференциальных методов, в том числе, взаимосвязь дифференцирования и интегрирования. Именно поэтому изучение проблемы ректификации кривых по методу Ферма является столь важным моментом для нас. *

В заключении, завершающем диссертацию,1 подытожены результаты проведенного в ней исследования.

в ы в о д ы

1. ТТроведоттып в диссертации ттсторпко-математпческий анализ малоизвестных геометрических работ П. Ферма показывает, что толчком к написанию одной из них — диссертации в трех частях «О решении проблем геометрии с помощью кривых, наиболее простых п особенно соответствующих каждому роду проблемы» — послужило знакомство Форма с «Геометрией» Декарта. В этом труде Ферма высказал критические замечания по поводу декартовой классификации «геометрических» (алгебраических) кривых н впервые фактически дал классификацию кривых, аналогичную современной (по степени уравнений кривых), приоритет в создании которой приписывается Ньютону. Здесь же проанализирован метод, предложенный Ферма для решения уравнении степени 2п с одной неизвестной, суть которого заключается в нахождении точек пересечения кривых наполовину меньшей степени. Установлено, тго этот метод обладает рядом недостатков и по является общим.

2. Исследование «Введения в изучение поверхностных мест» Ферма позволяет сделать вывод, что Ферма -впервые попытался ввести в теорию поверхностей, рассматриваемых как геометрические места, общую точку зрения; дал перечисление поверхностей второго порядка, добавив к известным ранее поверхностям общий эллипсоид, эллиптический параболоид тт двухтголостпын гиперболоид (по он не заметил существования эллиптических гиперболоидов и гиперболических параболоидов). Кроме того, оп впервые рассмотрел прямые и наклонные параболические и гиперболические цилиндры и дал общее определенно плоскости в пространстве.

3. В диссертации показано, что хотя Ферма нри изучении поверхностных мест не использовал в явном виде систему координат в пространстве и исследовал поверхности методом сечений, тем но менее ему удалось установить связь между «Введением в изучение плоских и телесных мест» п «Вводе--нием в изучение поверхностных мест» и распространить па пространство общие положения, полученные им во «Введении в изучение плоских п телесных мест».

4. Изучение теории максимумов п минимумов Ферма показывает, что помимо широко известного метода нахождения экстремумов Ферма разработал (на основании изучения трудов ГГаппа Александрийского и Виета) второй способ решения таких задач, ставший обоснованием его первого метода. Выявлено, что давая зто обоснование, он вышел за рамки алгебраических понятий, приблизился к понятию предела переменной

величины и фактически использовал бесконечно малые вели чипы.

5. Рассмотрены некоторые приложении методов экстремумов Ферма, среди которых наибольший интерес вызывает нахождение экстремальных значении выражений, содержащие иррациональности, поскольку оказалось, что в этом случас Ферма дал первый пример применения правила диффереицнро вания функции нескольких переменных (на примере фупкцнт двух переменных).

6. В диссертации сделан подробный анализ метода Ферме 'для определении касательной и данной точке данной кривой В результате установлено, что Ферма, в отличие от своих со временников, решил эту задачу чисто математическим путем применив единый метод не только к алгебраическим, по и 1 трансцендентным кривым. При этом он фактически пользовался уравнением линии, называя его «специфическим свойством): кривой, и разделял кривые на «геометрические» (алгебранчес-

■ кие) и «механические» (трансцендентные) по виду уравнения не изгоняя последние из геометрии, как это делал Декарт, ; считая те п другие линии вполне равноправными, но тольке по-разному характеризуемыми, что полностью соответствуем современному подходу к этой проблеме.

7. Изучение метода касательных Ферма позволяет сделап

■ .вывод, что этот метод, имея алгебраическую форму, оказывает ся применимым и наиболее эффективным только в том случае если допустить, что Ферма достаточно осознано и целенанрав-лено пользовался тем, что мы сегодня называем бесконечно ма

■ лыми величинами: при определении касательных к алгебраическим кривым он заменял прнращенпе функции ее дифференциалом: при определении касательной к циклоиде производилась замена бесконечно малой дуги образующей окружное™ прилегающим отрезком касательной; а из осуществленной нами реконструкции решения задачи об определении касательной к квадратрисе по методу Ферма следует, что решение это; задачи возможно только в том случае, если произведена заме-па одной бесконечно .малой дуги вспомогательной окружносп другой бесконечно малой ее дугой. Более того, если в примера> с алгебраическими кривыми, где «приравнивались» только отрезки прямых, нельзя было непосредственно доказать, что оп отпезкп должны отличаться друг от друга на бесконечно малую величину, то при исследовании решения задачи о проведении касательной к циклоиде доказано, что «приравнивание» дуги кривой и соответствующего отрезка касательной действительно есть замена одной бесконечно малой величины на другую, причем того же самого порядка малости.

'8. Кроне того, здесь же установлено, что Ферма задабаЛ циклоиду самым общим способом — ее. параметрическим уравнением; выисиены причины, которые .могли натолкнуть Ферма на мысль о замене душ кривой прилегающим отрезном касательной именно при нахождении касательной к циклоиде; показано, что решив задачу о построении касательной к циклоиде, Ферма, собственно говоря", нашел угловой коэффициент этой прямой, взяв в качестве параметра угол наклона касательной, проведенной в соответствующей точке к образующей окружности.

9. Рассмотрено применение .метода квадратур Ферма -для квадрирования новых кривых путем сведения квадратур этих кривых 1С уже известит,ш квадратурам парабол п гипербол, то есть иначе говоря, кпадрироваппе по методу, разработанному Ферма, выражений вида у = Р„(х) и у = Ри(х)/хга (ш, пз,1\') и определено, что сам этот метод является следствием метода квадратур Ферма и что, разрабатывая ого, Ферма, по существу, вывел свойство аддитивности определенного интеграла.

10. По формулировке «общей теоремы» Ферма, которую с современной точки зрения можпо интерпретировать как теорему об интегрировании но частям степенно и функции с'натуральным показателем степени, реконструировано доказательство этон теоремы на основании только тех фактов, которые были .безусловно известны Ферма.

11. Выяснено, что Ферма, по-видимому, знал о непосредственно!"! связи между операциями, равносильными современному интегрированию и дифференцированию, и вполне мог воспользоваться этим знанием при выводе своей «общей теоремы».

12. Показано, что «общая теорема» Ферма справедлива не только для степенных функций с натуральным показателем степени, но и для сложных функций вида и ~ { (у (х) ), где х ;[0, Ь], у (х) — дифференцируемая, монотонно убывающая на [О, Ь] функция, причем у (0) = (1, у (Ь) = 0, а Г (у) — пепрерывпо-дифференцнруема на [0, с1]. Кроме того, установлено, что эта «теорема» объединяет не только то правило, которое мы называем интегрированием но частям, но и интегрирование путем замены переменной илл подстановкой.

13. Проанализировано спрямление полукубической нерабочи П. Ферма п установлено, что при решении этой задачи Фер->га развил идеи, лежащие в основе его дифференциальных и штегральпых методов. В частности, он не только заменял ма-1ьте дуги кривых прилегающими отрезками касательных, но и тменял на данном промежутке нею кривую ломаной, состав-

лепной пз прилегающих отрезков касательных таким образов чтобы разность между длинами кривой и ломаной была скол угодно мала. Здесь же Ферма впервые в своих трудах построй И использовал в вычислениях характеристический треуголыпи делая это точно так Лхе, как Б. Паскаль.

14. Выяснено, что спрямление параболы с. уравнение у3 = кх2 Ферма свел к нахождению квадратуры архимедово параболы х2 = р (р+у) с параметром р = 4к/9, фактпческ используя взаимнообратпую зависимость дифференцировано и интегрирования. Прослежена связь метода Ферма сирямленп полукубической параболы с современным методом вычисленп длины дуги кривой.

В целом, в результате проведенного в диссертации псследс вания, можно сделать вывод, что Ферма нельзя считать созд; телем дифференциального и иптегрального исчисления (хот в работах некоторых авторов, например, Кэджори Ф., Тапш ри П., высказывается противоположное мнение), иосколы; Ферма, владея некоторыми основпыми методами анализа, и выработал соответствующей математической символики и боле простых алгоритмов, характерных для исчисления, а также и выразил в явном виде взаимнообратпую зависимость диффере! цировапия н, интегрирования. Тем не менее, изучение рабе П. Ферма, связанных с аналитической геометрией, диффере! циальными и интегральными .методами, дает нам все основанп для того, чтобы говорить о значительном вкладе Ферма в ра: витие этих областей математики. В его трудах мы находи: идеи, близкие современной математике, глубокое понимали методов дифференцирования и интегрирования. И хотя Ферм не создал дифференциального и интегрального исчисления, и он вплотную подошел к ному. Ему не хватало символики, кс торой Ферма вообще пренебрегал, н стремления создать обще доступные алгоритмы. Это было сделано вскоре после его сме] тл Иыотоном н Лейбницем. Причем Ньютон прямо говорил том, что идею метода дифференциального исчисления он и: влек, изучая труды Ферма.

Основное содержание диссертационного исследования и ег результаты изложены в следующих публикациях автора:

1. Тарановская Т. Д. Некоторые вопросы аналитически

геометрии в работах 11. Ферма. — М., 1988, 16 с. Рукоиис представлена Московским университетом. Депонирована ВИНИТИ 10.11.88, № 7969-В88.

2. Тарановская Т. Д. Примеяеппе методов максимумов ft минимумов П. Ферма при построении касательных // Материалы XXXII всесоюзной научной конференции аспирантов и молодых специалистов по истории естествознания н техники (октябрь-ноябрь 1989). М.: ЛИ СССР ИИЕТ, 1990. Ч. I. С. 8-10.

3. Тарановская Т. Д. Теория максимумов и минимумов II. Ферма в работе «Максимум н минимум». — М., 1988, 24 с. Рукопись представлена Московским университетом. Депонирована в ВИНИТИ 10,11.88, № 7970-1388.

Тип. МВОКУ Поди, к наб. 25.08.92, поди, к неч. 25.US.il2 объем 0,75 п. л. Зак. 59