автореферат диссертации по истории, специальность ВАК РФ 07.00.10
диссертация на тему: Геометрические преобразования на средневековом Востоке

Полный текст автореферата диссертации по теме "Геометрические преобразования на средневековом Востоке"

М 119 2 российская академия"наук

ИНСТИТУ£ ИСТ6Ш ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И' ТЕХНИКИ

На правах рукописи

ЛЮТЕР Ирина Олеговна

ХЛОМЕГРИЧБСЕЯЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА

СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ 07-00.10 - история науки и техники

. А в я о' р в ф е р а я диссертации на соискание ученой степени -кандидата физико-математических наук

Работа "Ешолнеаа в Институте истории естествознания и техники Российской Ж

Научный руководитель - доктор исторических наук,

кандидат физико-математических наук М.Ы.Рожанская.

Оффициальные оппоненты:

доктор физ иксылат етт иче ских наук И.Г.Башакова

кандидат физико-математических наук Н.Д.Сергеева

Ведущая организация - Институт- математики АН Республики

Узбекистан •

Защита состоится " " ^еп&ты 1992 г. в 15 час. на заседании специализированного совета К. 003.11»04 в Институте истории естествознания и техники РАН по адресу:' 103012 Москва К-12, Староаанский пер., ж. 1/5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института истории естествознания и техники РАН. Автореферат разослан "Я, 9 "1992 г..

Учений секретарь, специализированного совета

Б.М.Мариничев

>оссийскля |

5ИБЛИ0 ГЕКА---

Предает исследования. Геометрические преобразования лежали

в основе такого фундаментального понятия как группа преобразований. С введением последнего стало возможным определять всякую геометрии как учение об инвариантах той или иной группы преобразований. Поэтому вполне закономерен интерес к истории зарождения и введения в математическую практику того или иного вида геометрических преобразований. В настоящей работе с этой топки зрения анализируются математические и астрономические сочикеппя ученых Среднего и Ближнего Востока ЕХ-ХШ вв.

В качестве источников исследуются труды ал-Хорезми (ум.845), ал-Фергани (IX в.), Ибн Коррн (836-901), ал-Фараби (ок.870-550), Ибн Синана (908-946), Абу-л-Вафк •(940-098), ибн ад-Улйса-л (965-1039), ад-Бируни (973-1048), Омара Хайяма (I043-1I3I), ат-Туся (I20I-I274), ат-Еираэи (I236-I3II) и др. Анализ рассматриваемых сочинений строится с учетом социокультурного контекста и особенностей мышления средневековых арабоязычных ученых, что само по себе представляет предает особого исследования.

Актуальность ^емы. Формирование и развитие методов геометрических построений и доказательств с использованием различного рода геометрических преобразований, а также связанное с этим 'становление понятия функции и, более того, исследование ее свойств с помощьп инфинитезимальннх приемов составляют одну из важнейших проблем истории математики в целсга.

Геометрические преобразования, их.свойства и инварианты, встречающиеся в сочикенпях древнегреческих авторов, достаточно глубоко исследованы. В то яе время разработка этих направлений в трудах математиков средневекового Востока, сохранявших и развивших научное наследие древних, только начинается. Многие фундаментальные в этом смысле сочинения вообще не исследовались.

В история, математики до сих пор отсутствует истинная оценка творческого вклада арабоязычных ¿ченых IX-ЛИ вв. в развитие теории гесметрич:скнх преобразований.

Раскрытие этой теш на основании изучения оригинальных трудов ученых указанной эпохи, сохранившихся в значительно": степени в рукош -ном виде, позволяет существенно расширить знания об атом малоизученном эта^е развития математики.

Основные задачи исследования.

1. Исследовать и ввести в научный оборот некоторые ранее не изучавшиеся арабские математические рукописи.

2. На основании изучения средневековых арабоязычных сочинений по геометрии и сферической астрономии выявить и исследовать применяемые их авторши геоьЛтряческие преобразования.

3. Интерпретировать их содержание с точки зрения современной геометрии.

4. Выяснить роль указанных авторов в предыстории теория геометрических преобразоваилй и зарождении понятия функции.

5: Проследить влияние сочинений древнегреческих и индийских математиков на развитие геометрических методов в трудах ученых средневекового Востока и изучить их роль в предыстории . современной геометрии.

Методы исследования. В соответствии с поставленными задачами в диссертации применяется 2Йго£Ы_историко-на£чного_анали-за в сочетании с мето5ами_современной_геометрш, в частности, проективной, а таете с методами сферической тригонометрии. Современнее метода позволяв? интерпретировать результаты средне-зековнх арабоязычных ученых, полученные, как правило, в словесной, табличной и геометрической формах. Они позволяют судить о специфике и степени оригинальности исследуемых приемов и до-

казательств.

Текста произведений, написанных в древности, долхнн бить очищекц от наслоений, которые неизбежно возникает при их кко-гократном переписнЕакки! Эту задачу решает источниковедческий анализ, который витает сопоставление различных рукописных копий ила изданий одного и Того же произведения, сравнитель-нсе содержание раЗннх глав, поиск цитат кз данного текста в работах других авторов, контрольное повторение вычислений (это имеет принципиальное значение для оценки данной работа). Этот метод применялся автором с учетом требований состоковедения.

Диссертация написана на основании изучения орнгинальнпх источников, главным образом, рукописна* а£&боязнчнпх средневековых геометрических я астрономически сочинений.

Основняигг источниками послугали следущиэ трактата: ' I. Абу Исхак Ибрахйи ибн Синая ибн Сабит ибн Курра а) Книга о теневых инструментах (Китаб ф~ плат ал-азлшг). Рукопись библиотека Айя-София (Стамбул); Л 4832/16, ля.666-

б) Трактат об астролябий (Рисала фй-л-астурлаб), Рукопись: Ёанкипурская библиотека (Патна, Индия), й 2468/5, лл.42 6-45 а;

в) Книга о движениях Солнца (Китаб фи харакат ап-панс). Рукопись: Еанкипурская библиотека (Патна)', ß 2460/26, ллЛ1ва-

г) Книга о построении трех сечений (Накала $5 раса ал--куту' ас-саласа). Русский перевод опубликован С.А.Красновой

д) Книга об измерении* параболн (Йггаб'фй иксёха ал-кат* ал-мукафй). Немецкий перевод опубликован Г. Зутерон а 1918 г.

-75 б;

-1246;

и Лк. ад-Даббахом в 1965 г. f4 ] ;

2. Лл-Хасан иби ап-Хайсам. КИига об известных (Макала би т'лумат). Французский перевод (неполный) опубликован Л.СедпЭо з 1834 г. [э].

Научная нотгзкз работы ..■•■'".

I. 3 соответствии о названием диссертации впервые глубоко и исчерпывающе освещено и проанализировано.математическое творчество одного из крупнейших учение средневекового Востока Ибрагима ибк Окяана.

Впервые серев-здекн и изучена-его "Книга о теневых инструментах" , "Гранта? об астролябии", "Избранные задачи", фрагменты "Трактата с движениях Солнпа", а также фрагменты "Книги об известиях" Шн ал-ХайЪвма. ' .

2 Впервые уоталозлено, что йбн Синая I) полно и строго, доказал свойства стереографической проекции; 2) дал первое на средневековоч Востоке решение "задачи Аполлония" о касавдихся прутах (способ решения ее Лсоллониеп не известен); 3) .его геометрическое построение гилерботе из круга, по существу, представляет собой особый вид проективного преобразования -шволю-хивную . гомологию; <1) применяемые им правила определения гори- . зоитагышх кооргицат т'очея небесной сфзрй,. с одной стороны, представляют собоЗ частник случ&£ обвего метода преобразовапгя сферических ксюрдачат, а, с другой сторонн, чкшзадеп'гав сфсрп-чеегаш теоремам сицусоп и косинусов.

3- Впервые в нсторико-научнсй литература выделен и обоб-общрняЯ материал с целью воссоздан ял целостной картины раадатяя методов геометрических преобразований на средневековой: Зяшнем и Средней Востоке. ■. '".■'•..

4 Впервые ьмтедн преобразования координат на сфсре рассматривался каг одато из видов геоме флчеекгг: преобразований,

связашшг. с особым разделом античной и средневековой математики - сферичеЙ.

5. Показано, что дальнейшее развитее этих методов привело к Енделенгто особого класса геометрических задач на плоскости и сфере, в которнх существенную роль кграли функциональные свойства исследузулх групп водички. Рассмотрена разработанные с помощью этих методов алгоритм решения основных задач сферической тригонометрии и астрот.мя (Кбн Корра, >к5н Синаи, ал-Еатгани, Höh Ирак, эл-йзруни и ср.).

Практическая ценность :тсоледсзанпя. Полученные результаты i;o-' гуг быть использована для воссоздания истории развития геометргп на средневековом Востоке; для дальнейшего изучения роли арабо-язт-пгох ученых в сохранении и развитии античного и эллинистического наследия; для более глубокого осмцслония вклада этих уче-инх во многие области математики; для подготовки лскционянх и слетщальннх курсов истории математики, истории естествознания и техники, истории науки и культура стран "остока, для создания учебных пособий по аналогичным тепам.

/пробация работа. Основные результаты исследований были отрахспц' в докладах и вгопунаспилх, сделанных автором на ХХХП (1999). ШИ (Г.-га), хгаг (и >2) Чсесотоннх ваучннх конференциях аспирантов и молэлих специалистов по ¡гсторич естествознания и техники в ИИПТ РАИ, на семинарах соктора истории математики в М1ПТГ Р/ЛГ, на зассдапият секции истории математики на Всесоюзной клнО^ренции по прелелыгам теоремам теории вероятности (Ташкент, TWO).

Публикации■• Основггне результаты опубликована в работах автора, указанных в коиц« автореферата.

На защиту выносятся следующие положения.

Т. 71 геометрических доказательствах и построениях средневековых арабоязочных ученых используются различные виды геометрических преобразований (от простейшего движения до проексивных преобразований), изучаются свойства и инварианты некоторых видов этих преобразований.

2- В математических трактатах Шрахила ибн Синана•применяются движение, сжатие, аффинные и проективные преобразования, стереографическая проекция.

3. Для ученых исследуемого периода характерны разработка и введение правил преобразования сферических координат, которые, по суцесгву, являются соответственными геометрическими преобразованиями на сфере;

Их сочинения представляют собой начальный этап истории нескольких математических дисциплин: проективной геометрии, внутренней геометрии поверхностей, теории геометрических п; i-образований, а такке преднеторки понятий кривизны, конформности, функпии и т.д.

Объем и структура диссертации. Диссертация содержит 150 . страниц машинописного текста В списке /литературы 179 названий (I0Z. русские,?? - иностранные) Работа состоит из введения, шести глав, заключения и трех приложений.

■ СОДГЖЖге РАБОТ?]

Во кведени* обоснована актуальность теш, сформулированы цели исследования, указана научная новизна работы, а твгае.псрс-чяслезы основные положения, выносимые на защиту.

Глава Т("Геометрические преобразования в греческой математике") посвящена истории взедекия и применения геометрических преобразований в грудах древнегреческих ученых.

В § I анализируется простейший вид геометрических преобразований - движение. Рассматривается проблема применения движения з геометрии (Фалес, пифагорейцы, Аристотель, Евклид, Архимед и др.). Большинство древнегреческих уччянх придерживалось позиции Аристотеля, считавшего недопустимым введение движения в математику. Тем не менее, развитие геометрии заставляло их отступать от точки зрения Аристотеля, о чем свидетельствую примеры применения.иш наложения, вращения, простого движения точки или линии, а такие сложных даилений. В этот период движение используется только для определения' линий (кинематического и ме-.ханического) и пространственных тел (тел вращения), хотя и в этом случае, например, Евклид исключает движение из определения круга. В геометрических доказательствах двиаение нигде не используется.

П § 2 рассматриваются частные случая аффинных преобразований в трудах греческих ученых (сжатие и гомотетия). Первый из них - в сочинении Архимеда "О коноидах и сфероидах", где описывается пряг/оч сжатие крута к его диаметру, переводящее его в . эллипс. второй случай (гомотетия) - в трактате Аполлония "О плоских местах" (доведшем в изложении Паппа Александрийского), где Аполлоний рассматривает а еще один вид преобразования - инверсии относигельно окружности. Показано, что Аполлоний знал основные свойства этих преобразований.

3 этом ке параграфе прослеживается зарождение элементов проективной геометрии, в основе которой лежат. "тоектпшне преобразования, п древности. Показано, что хотя результаты, имезещне проективный характер,'были получены в связи с изучением вопросов

перспективы в изобразительном искусстве в архитектуре, только при математическом исследовании свойств фигур, связанных центральным проектированием, появляются понятия и инварианту действительно теории проективных преобразований. Яркий прккер этому - книга УП "Математического собрания" Паппа, где ок пояучаех^ частный случай теоремы об инвариантности двойкчх (или ангармонических) отношений.четверка точек при центральном проектировании, а также доказывает теорему о тон, что гармопическач четверка точек образуется прк пересечении одной диагонали полного четырехсторонника осталышш его диагоналями (т.е. "условие гармонической сопряженности пар точек).

В § 3 рассматривается история появления и применения стереографической и ортогональной проекций, играющих важную роль при решении задач сферики.

Показано, что стереографическую проекцию можно рассматривать как побочный результат исследований Аполлон®I и Архимедом семейств сечений наклонного конуса. Так, например, свойство этой проекций переводить окруяности сферы, не проходящие через ее полюс, в окружности на плоскости проекцийлегко доказывается с помощью предложения 5 книги I "Конических сечений" Аполлония (о существовании двух семейств круговых сячсний наклонного конуса).

В этом жэ параграфе псивег.епы описание стереографпчсско!' Проекции и ее приложение к решен .то сферлко-гасгроиомическкх задач, возводящее не сбрглатъся к 'истодам сферической тригоно-' метрии, в трактате Птолемея "Илакясфорий". Птолемею били мзвеот-на основные «бойс^ея этой проекции (доказательство он ни прц.че- . дат).

Показано, что стереографическая проекция применялась при конструировании астрономических инструментов (аршллярной сфо-рн и др.).

Бзлее простая, ортогональная проекция, изложена в другом сочинении Птолемея - "Лкалемме", где показана ее роль в решении ряда астрономических проблем. Аналогичные ортогональному проектированию методы встречаются у Герона, Диодора Александрийского, Витрувия.

В § 4 рассматриваются правила преобразования сферических координат в "Альмагесте" Птолемея.

Описывается предкстория сфер пси - науки, соединишей практическую астрономию и теоретическую геометрии на сфере и впоследствии способстзугдей возникновению сферической тригонометрии (сочинения Автолика, Евклида, Теодосил, Иенелая).

Опираясь на их результаты, Птолемей в своем "Альмагесте" Дает полное изложение античной плоско!! и сфер" тестой тригонометрии, приводит алгоритмы решения основных задач практической астрономии, включающие и правила перехода от одной из че-чрех известных грекам скстеют сферических координат к другим.

, В этом параграфе правила преобразования координат рассматриваются, с одной сторона,-как форма геометрических-преобразований применительно к задачам сферической астрономии (переход от одноЯ системы сферических координат к другой равносилен со-отвстсгвеннш! геометрическим преобразованиям на сфере)'. С другой стороны,-эти преобразования связаны с процессом появления и развития понятая функции в виде соответствия двух групп величин, заданных "аблично, словесно и геометрически (применительно к геометрия идея функциональной зависимости представляет собой идею геометрического преобразования).

- lu -

Показано, что у Птолемея встречаются функции одной, двух и трех переменных, исслеэдгются их экстремальные свойства, а * некоторые его рассуждения близки к понятию'производной функции.

Я глаза ("Пбрахим ибя Синан. Биографические сведения и научное наследие"). . .

Б § I помещены биографические сведения и список трудов выдающегося багдадского математика и астронома Ибрахима ибн Си-, нана i:6h Сабита ибн Коррн (908-04S). Первые крайне немногочисленны и известны, главным образом, из' его собственных трактатов и из ''Истории мудрецов" Ибн ал-Г&фти (ХЛ в.) [jQ. Некоторые сведения о нем имеются у Зутера Броккельмана [s] к Хволь-

сона [б]. •

Сохранилось восемь трактатов Ибн Синана (песть математических и два астрономических). Семь из них содержатся в рукописи . J" 2468 Еанкяпурской библиотеки в Патне (Индия) [з[] и опубликованы на арабском в "ГСнига о теневых инструментах" сохранилась в рукописи 4332/То библиотеки Айя-Софяя (Стамбул).

В § 2 дается краткое содержание каадого из этих трактатов:.

I. "Книга о теневых инструментах" посвяцена конструированию солнечных часов и дополняет список сочинений по этому вопросу, написанных ат-Хорезми, Ахмадом'эл-!дарвазк (ок. 770- ок.. . 87Q), Ибн Коброй и ал-Фергаяи. Ибн Синаи описывает метода проведения часогах линий на плоскости солнечных часов, расположенной произвольный образом, Б своих выводах он основывается на теории конических сечений Аполлония,'.так как прямая, соединяющая конец гномона с Солнцем, при видимое суточном движении последнего ошючтваег круговой копус, а тень конца гномона на плоскости часов описывает место пересечения этого конусе с это!

а

плоскостью, т.е. коническое сечение. Сохранились книга I и начало книги П этого трактата.

2. '"Книга о методе анализа и синтеза и других деКолгаях.в геометрических задачах" (¡Лакала фи тариж ат-гаглйл ва-г-тарпиб за сайр ал-'амал фн-л-масаил амеандасиЭДа); Цель ятого трактата - классификация геометрических задач. Автор выделяет так называемые "переменные" задачи (сикала, букв "текупи-?."), реие-ния которых принимают бесконечное множество значений. Их г.'окно рассматривать как значения некоторой переиенйоЗ величины.

Это - один из первых и наиболее ранкпЗ случай появления переменной величины в математике средневекового Востока

3. "Книга о построении ^грех сеуениЗ" включает сеыь способов построения конических сечений' по точкам. один для параболы, два для эллипса и четчре для гиперболы. Метод "очечного построения конических сече га!: совершенно оригинален но сравнения с античными построениями.

Л '"Книга об измерении парабслв"I Измеренном площади параболического сегмента занимались еще Архимед и Сасжг кбн т:.эрр&. Трактат >Мч Синапа содержит четыре предложения, л которых заключен его способ решения задачи о тон. что площадь любого сзг-!. Л1та параболы равна А/3 площади' шисаппого в него треугольника. Рдэсь же доказывается, что для лзобих двух сегментов - Р и & одной параболы с параллельными основаниями и диаметрами

даса ва'илм ап-нудчум). Б кем приведена решения сорока девяти задач, имеющих отношение к астрономии- Яаиболышй интерес представляет доказатечьстзо "задачи Аполлония" о г строении круга,

касащегося 'грех данных кругов, которая содержится в не дошедшем до нас сочинении Аполлония "С касании". Ибп Синан получает два случая распо; дгеняя кругов (как известно, сейчас эта задача, решаемая методами проективной геометрии, имеет восемь решений). Это, по сути дела, первое в средкевеговой геометрии решение подобной зах. та. "последствии она была предметом многочисленных и разнообразных исследований таких выдаящихсч ученых, как ф.Виет, И.Ньютон, л'.Эйлер, КЕергонн, Е.Лдамар.

6. "Избранные ?адачь". Название условное, так как первая страница этого, трактата утеряна. В нем приведены реиения сорока одной геометрической задачи. Особый интерес представляет следующая задача: лили три прямые 4В, Е2 и ЕН и три коллине-ьточки От ,£) и К , требуется построить две пересекающиеся в тс .ке Ь прямые СгЬ И ЯЕЬЬ. такие что: I) точка

2)СиЕ?=[Т}; 3)^ЛЕН-{Г}, 4) точки т , Т а -К -

коллинеаркы [12, с.256-264], Эта задача связана с теоремой Де- -заргр и ее можно рассматч'ьать как один, из шагов на пути к созданию проективной геометрии {[7]].

В этих ДГ7Х сочинениях используются результаты Евклида, Аполлония, /Ленелая и Птолемея, методы решения оспсванк на использовании теоремы Менелая и теории составных отношений. .

7. "Тракт?"1 об астролябии" посвящен геометрическому обоснованию теории стереографической проекции.

8. "Книга о движениях Солнца" ОСитаб фй харакат ал-пшмс)

- астрономическое сочинение, целью которого является разрешение противоречий между современниками Ибп Синапа и их предшествен-' никаш, возникших при решении ряда астрономических проблем, таких как определение наклона эклиптики, величины года или времени полного обращения Солнца на эклиптике, разности полуденных

вчсот Солнца во время летнего и зшлшго солнцесгояшт", скорости прецессии и т.д.

П. Н главе "Применение дв:;лен::я в гсомо'.'рпп на с-пот снеговом Востоке") излагаются взгляд?; арабоязэтнрх учепих на лрано-мерность применения движения в математике. Погглзаао. чгэ, как и греческие учение, они делятся на последователе.'? А'зггсро.'елт (ал-Фарабп, Омар Хайям) и их оппонентов (".бн Корра, ал-Ха^со;.:, Ибн Синан, Ат-Туси и ап-!1!нраз1.;.

Б п. I анализируется применение двидекия у Сабкго "лбн Кор-рн. С помощью введения "одного простого джггегая" - параллельного перекоса он пытается доке^агъ У постулат Пвклкда. О? "о применяет вращение при определении параболических тел, сск.'о-щенпс фигур для доказатетъетва конгрузчтностн ("раненсгла и подобия").

.и п.2 рассматриваются рассуадешга ач-^арабп, разв-.:гагше положение Аристотеля с препехог-деш;1; математических потяги"; пуген абстрагирования от реальннч предметов п отвлечения о: их качеств, в том числе я от двпкепня.

,') п.З излагаются взгляды сторонника Цби 'лоррн - ".'би ап-Хайсамя " своей попытке доказать У постулат 'Евклида он, сдегогя Сабиту, доказывает существование равпоотстояпих прямых. вводя, по сути де'/а, равномерное прямолинейное поступа гедьпое дарение. Анализируя оригинальное применение движения у '.йн ал-Хя?-сагла при решении "запаян Архимеда" с долепи;; отрезка на частя

г 2 ^ - г

X II С-ЗС , такие, что ;>:х - ~~~ , где Ь - данная площадь, £ - данный отрезок.

В п. 4 расснатризае^ся критика взглядов ал-ХаЗс<_..а Омаром Хайямом. Показано, как ХаЯям продолжает и развивает положение Аристотеля и ал-Фараби о невозможности применения движения в геометрии. (В частности, он утперяда-'.-' . тго линии нельзя

рассматривать как результат движения точки, так как точка -абстракция более высокого порядка, чем линия).

В п.5 дан краткий обзор применения различного рода движений Насир ад-Диком ат-Туси. Линию он определяет как результат движения точка. Вслед за Архимедом и 'Лбн Коррой оя применяет вращение для определения пространственных тел (круга, шара, цилиндра, конуса). Ат-Туси пользуется и наложением, рассматривая его как достаточный признак равенства фигур.

Е п.С анализируется ранее не известный фрагмент '""ниш о теневых инструментах" Ибн Синана, в котором с помощью наложения доказгшается конгруэнтность прямоугольных сферических треутоль- ; ников с соответственно равными катетами.

Б п. 7 рассматриваются проблегдг сравнения прямой и кривой , по длине, цилиндрической и конической поверхностей с плоскими фигурами по площади с.помощью качения (ат-Тусн, агь-Ширази). As>--усг обосновывает зто рравиение с помощью атомистических сооб-рахенпГг, исходя из того, что пряная и кривая состоят, из актуально бесконечно малых неделимых чаете!': - точек, яоторке при качении наяагаягся друг на друга, причем наложение происходи? в течение всего времени движения. Аш-Ширазя отвергает эти соображения считая, что двикедпе качения не дает абсолютного сов-' ыэценкя и нельзя уничтожить иряшзиу прямо?, и кривизну кривой Путем расчленения кх на чаатг-

Исследование se качения иара внутренним.' образом по шаровой поверхности явилось одним из отнравшге моментов теори-i двпяелпя Лунн у ат-Туси.

3 ТУ главе ("Mñtwvsic: с проективные' преобразования на саед-яезсковом Востоке") дагтея обзер применения этих видов преобразований в геометрических построениях и доказательствах средне-

вековых араЗояз[та.^ учете:.

В § 1 рассматриваются частике случаи аффчннггс преобразований - сжатие и гомотетия.

В "Книге о сечеггиях диликдра и его поверхности" Сабит ибн Корра доказнвает, что эллипс может быть получен прямым сжатием (растстением) I. круга или другого элжиса, построенных на большой или малой) оси эллипса, что отношение площадей фигур при атом преобразовании сохраняется. Таким образом, доказывается частный случай творога об инвариантности отношений площадей фигур при апфпшых преобразованиях. Ход рассуждений, используемое методы (метод исчерпывания) и основнне результата близки к результатам Архимеда (см. гл.1, § 2).

Следуя Архимеду и Ибн Корре! Мбрахим ибн Синац в "Каиге о построении трех сечений" применяет прямое и косое сяатие не только дня построения эллипса из круга, но а произвольной гиперболы лз разносторонней гипербола.

Показано, что в "Книге о юм, что необходимо ремесленнику из геометрических построений" Абу-л-Вафы в задачах на построение ■"роутольнигсов и квадратов, больших или меньших данного в указанное число раз, с также в задачах'"Книги об известнпх"Ибн ал-Хайсама содержится идея гомотетии. Ал-Хайс&ч фактически доказывает, что при гомотетии прямые переходят -а прямые, а окружности в окружности.

В § 2 анализируются предложение I? вышеупомянутого трактата Ио'п Корри и "Книга об измерении парабола* Ын Синана.

Покапано, что рассматриваемое !'бн КорроЙ преобразование эллипса в круг разной площади, является первш з истории мате -матпки случаем применения эквиаффиннсго преобразования. А его доказательство, что при этом преобразовании сегмента эллипса.

переходит в равные in-i по площади сегменты крута, является, по существу, доказательством частого случая теоремы об инвариантности площадей фигур при эквяайфинных преобразованиях.

" предложении I зказгнного трактата Пбн Синана рассматриваются две произвольные многоугольные фцгурц, получаемые друг из друга аффинным преобразованием общего вида. Само ае это предло-кеняз представляет собой общий случай теоремы об инвариантности отнссени:; площадей Фигур при общих аффинных преобразованиях. ¡5 этом трак гаге общие аффинные преобразования изучаются впервые в истории геометрии (в Западной Европе их впервые ввел А. Клеро).

'' 3 исследуются геометрические построения Ибн Синана и ая-Гл;рунч, в основе которых лежат проективные преобразования.

Первое из них - построение разносторонней гиперболы из круга у Пбн Синана. в "Книге о построении трех сечении".

Показано, что это построение представляет особый, вид проективного преобразования - инволщгивную гомологию, переводлуга

1 2 2 2. 2. 2. круг х + tj = а. в гиперболу х - у = а и имеющую координатную запись г _< а1/ J а =

Ь1=

Зторое - это построение ал-Бирули для случая "ссверпенпо'" йстрздябпи" (см. след. гл. § 2), переводящие окружности в конические сетения в той ке плоскости. Этим построениям посвящены несколько разделов его- "Книги исчерпания всех возможных способов построения астролябии1'

Текил образок, в истории геометрии 2-ZI вв. известны два стучал построений, основанных на применении проективных прообразовали", в которых точка:*. окружности ставятся в соответствие

точки конического осчения.

У гл'ЭЕа ("Проекции") посвящена длум иройнцчям - стерсо-. графической к параллеггьноЗ (в том числе ее чистиому случаю -ортогональной проекции), которые имели воягое значение; в средневековой науке. Стереографическая проеюпя лекит в основе конструирования всех вгаоз астролябий (арабское название это": проекции - "проекция астролябии',' тастпх ач-асгурлаб). Будучи, по существу, конформным преобразованием, она широко прю:еня-лась в картографии. При конструирован:™ астролябии разрабатывались всевозможные модификация этих двух проекци*!. Оба э::: метода проектирования сферы на плоскость долгое время сосуществовали с тригонометрическими методами решения сферпкэ-астро-номичееккх задач..

В § I рассматривается геометрическое обоснование теории стереографической проекции б "Книге о построении астротябия" ел-щерх-ани и "Трактате об астролябия" Ибн Спнана. Это иервые сочинения о стереографической проекция на средневековом Востоке, посвященные решению этого вопроса.

1'аиболее подробно анализируется зпзрвче расс: итрпваемнГ; нами трактат Ибн Синена.

Далее обосновывается правомерность применения стереографической проекции в географии и. в частности, картографии. 3 силу ОДНОГО ИЗ СВОЙСТВ ЭТОЙ Проекции уг':4 мотк^ лгапямч на

плоскости проекция, изображаются з нагуралыгуп т>«л:'лш<у, что существенно для путепеоталнникор и мореплзватзлеГ:.-

В § 2 описывается модификация сто р с о г рг/'ч-гс с. т ;опроекции - • "совершенная проекция" ас-Оагаки (уи.ЭйО), пзлэяедоюя им в "Книге о способе проектирования .сфяры аа плоскость астролябии'. В этом случае лога» ярсекцаи .чог.ет быть расположен я лвбэ5 точ-

ке внутри или вне сферы, а щ>уги сферы иеображаются при проектировании коническими сечениями.

хЗ § 3 приведен предельный случай "совершенной проекции" (центр проектирования находится в бесконечно удаленной точке оси мира, т.е. имеет место параллельное проектирование вдоль . этой оси). Это - так называемая "цилиндрическая проекция" ал-Бируни, к ?орую он упоминает в трактате "Исчерпание всех возможных способов построеиия астролябий".

Эту же проекцию применяет Сабит ибн Корра в "Книге о сечениях цилиндре...", где он доказывает, что параллельной проекцией круга на произвольной плоскости может быть круг или эллипс.

Неоднозначность "цилиндрической" или-"совершенной" проекций замечена уке в Средние века. Поэтому, например,"ал-Ферга-•щ не считал возможным их применение, так как, если прямая, соедянящая центры двух произвольных кругов сферы, параллельна оси проектирования, то проекции этих кругов совпадают.

В § 4 приведет* чршеры использования стереографической и ортогональной проекций при решении задач сферической астрономии в сочинениях ал-Хорезми, ал-Баттани, Ибн Корры, ал-Еируни и др. Показано, что методы ортогонального проектирования сферы ; на плоскость восходят к индийской.математике.V

У1 глава ("Преобразования координат в стер! .еской астролябии") . Ь этой главе аначизируются правила перехода от одной системы сферических координат к другой. Показало, что необходимость ввгдеиия этих правил объяснявтая прежде всего тем, что в практике вычислений применялись в основном смешанные координаты. Выявлены отличительные черты этих правил пс сравнению с

греческими. Главным образом, это широкое применение в них функций сферической тригонометрии.

В § I исследуется важная астрономическая задача - определение азимута А и высоты ft, Солнца по его склонению £> , часовому углу "fc и известной широте места , т.е. функций А * (\, (i.vpj't) и к которой сводилась весила актуальная для того времени геодезическая задача: определение в данном географическом пункте азимута другого, если заданы их географические координаты. Ее частный случай - знаменитая' задача определения азимута кнблы (направления на Мекку)в любой точке земного шара . Решение исследуемой задачи в общем случае эквивалентно сферическим теоремам косинусов и синусов, кмепцим. важное 'значение в процессе становления тригонометрии как самостоятельной математической дисциплины. Они существенно упрощали решение задач сферической астрономии. К ним сводились, что представляет для нас особый интерес, правила перехода от экваториальной систем сферических координат ( Ь , t) к горизонтальной ' ( А , V) и наоборот.

Приведены решения этой задачи у ал-Хорезми, Ибн Корры, ал-Баттани, ал-Вируни и др.

Л Выделен и проанализирован ранее не известный 4 раздел "Книги о теневых'инструментах" Ибн Синана, в котором решение этой • задачи можно; считать одним из первых доказательств сферических теорем косинусов и синусов. Кбн Синаи исходит яз тригонометрии хорд Птолемея и теоремы Менелая о полном сферическим четырехстороннике. Однако, Ибн Синан, как и больпшнство ученых средневекового Востока, не понял универсального хар. ктера обеих теорем.

В § 2 рассматриваются методы преобразования сферических координат в "Каноне Мае уда" ал-Бируни, являющемся итогом всег; сделанного ученнш средневекового Востока во многих областях

математика, астрономии, географии и хронологии, а также в трак-таге его 'учителя Ибк Ирака (X-XI вз.) "Таблице минут". ,

Правила преобразования сферических координат, задаваема в словесно:';, тзбд:г-г:ю£ и геометрической Формах, можно рассматривать как §ушпональнкэ заз'псимссти, свнзнваквдте величина, :трк!1а]уто,"са!3':е этил системам.

Показано, что Д7Я сочинеиим ö'jого периода, и в особенности указанных ал'гороз, ха£шг?ерн.э увеличение числа функциональных ьаъ;та".ооте£, дадьне&'&а разработке способов задачия фун:?ц;й : в оаягп с этим введение алгоритмов репепая основных задач с$ор:;ческой грчгоносе cp:i? :: &с;роцо*ш с .чспользозанием обратных л '.'лозжых Оункил::.

/лэжтзируртся подмоченкач Пбн Ираком и ал-Еаруни аналогия между экватор:».*; л ьннмл и эглиптическими коордчнатами, что имеет существенное значение х: яре£у:г:орни понятия функции, так как в ötom случае учекнй отплетается от конкретной астрономической задач*; и рассматривает по лученное правило перехода как некоторую функциональную завчс.ггоотъ общего характера.

3 § 0 показано, что дальнейшее развитие "функциональное направление" получило в области ''небесно:! кинематики", в которой супественнул роль начинает играть применение сригкпалышх пифвдгезпиалвнцх методов ",1бя Корра, ал-Ьлрунн). Они основаны на рассмотрении раэностеь близ г;их значений йупкцчт: первого и. второго порядка. Эти кею/л: зраглонялиоь к изучению неравномерного двпес.'.ия .очг.и по округлости, а тагсг.е к изучению монотонности непрерывности, точек экстремумов и перегиба функций, опиоыьакол:: это движение.

:i зекл/лочат рассматривается пути пролккновокпя иэлог.оп-

пых выше результатов математиков средневекового Востока в Западную Европу и их роль в формировании предыстории современной геометрии и зарождения понятия функции.

Приложения.

1. Фрагменты'"Книги о теневых инструментах* Ибн Синана.

2. "Трактат об астролябии* Йбн Синана.

3. Фрагменты "Избранных задач" Ибн Синана.

Знводн.

I., На оснований изучения арабских источников (главным образом рукописных) показано, что в геометрических построениях и доказательствах ученых Среднего и Ближнего Востока применяются следующие геометрические преобразования: движение (параллельный перенос, вращение, наложение, качение), сжатие, гомотетия, . стереографическая и параллельная проекции, аффинные (общего вп-• да и эквиаффшные) и проективные преобразования.

' я: Прослежено применение и развитие греческого и индийского научного наследия средневековыми арабоязычными учеными в их геометрических и астрономических сочинениях.

Ш. Переведена и проанализированы ранее не исследованные трактата Ибрехима ибн Синана и фрагмент "Книги об известных" йбн ал-Хайсама, имещие отношение к теме диссертации.

* 17. Введены в научный оборот следущпе Сочинения Ибн Сина-

на: "Трактат об астролябии", "Кинга о теневых инструментах", "Избранные задачи", "Книга о движениях Солнца".

У. Показано следующее.:

Т. К началу ХШ века йзижение систематически применяется . не только для определения пространственных тел, ро и в Геометрические доказательствах. Включение.движения в геометрию дела» ет актуальный исследование арабоягкчныда учеными (ат-Туси, ал-

Пирази) условий наложения поверхностей и линий различной кривизны, что, по существу, представляет начальный этап в становлении теории внутренней геометрии поверхности, понятия кривизны линии и поверхности и изучении условий развертнваемости по-верхносгей.

2. Введенная древнегреческими учеными стереографическая проекция Епервые получает полное и строгое теоретическое обоснование в сочинениях исламских математиков (ал-Фергани, Ибн Синан). Это делает правомерным ее использование в конструировании астролябий и в картографии, так как она представляет собой конформное преобразование, переводящее окружности на сфере, не проходящие через полюс проектирования, в окружности на плоскости проекций.

3., Исследованы геометрические задачи на построение, основанные на идее гомотетия (Абу-л-Вафа) и в которых доказываются ее свойства переводить прямые в прямые, окружности в округлости (Ибн ал-Хайсам). '

4. Показано, что применяется н'е только частные случаи афь-финзых преобразований, но и впервые в истории математики исло-' льзуетоя эквиаффиняое преобразований (Ибп Корра). Впервые и именно на средневековой Востоке встречается аффшноЪ преобразование общего вяда (Ибн Синан). Среди инвариантов этой группы преобразований выделено только отношение площадей фигур (доказываются общие п частные случая теоремы об инвариантности отношений площадей при аффинных преобразованиях).

5. Обнаружены два случая проективных преобразований, одно из которых представляет собой инвато.тивную гомологии, лежащую в основе построения конических сечений из круга (Ибн Синан, ал-йфуни).

6. Как один из видов геометрических преобразований на сфере выделены и проанализированы правила преобразования сферических координат. Показана их связь с фундаментальными теоремами сферической тригонометрии (теорема),ш синусов и косинусов), а также их роль в предыстории понятия функции.

Основное содержание работы отражено в следующих публикациях:

1. Лютер И.О. О математических трактатах Нбрахлма ибн Синана. Г.!атериалн ОШП Всесоюзной научной конференции аспирантов и молодых специалистов по истории естествознания и техники. М.: 19; 0: ч.1, с.4-5.

2. Лютер И.О. О трех трактатах Ибрахипа ибн Синана. Тезисы ХХХШ Всесоюзной конференции аспирантов и молодых специалистов по истории естествознания и техники. И.: 1>Л, чЛ, с.26--27. • •

3. Лютер И.О. Математические трактата Ибрахима ибн Синана// Препринт Ш1ЕТ РАИ. М.:' 1090, .'5 36, с. 1-24.

4. Лютер И.О. Преобразования координат в трудах средне-ьексв'-гк прабоязычных математиков. Тезисы ХИ1У научной конференции аспирантов и молодых специалистов по истории естествознания и техники. М.: 1902, чЛ, оЛО-Н.

5. Лютер И.О. Проективные преобразования в трактатах Ибн Синана//, Труды ХХУП-ХГХ1 научн.конф. аспир. и молод.спец. по истории естествознания и техники. Секция истории математики

(в печати).

Литература, цитированная в автореферате

I. Вахабов С.А. Проективные преобразования в трактате ал-Биругга об астролябий// Историко-штематические исследования,

Вып. 32-35. M.: Наука, I9S0, с.339-344.

2. Евклид. Начала. Тт.1-Ш./ Пер. Д.Д.Мордухай-Болтовс-

кого. il.-JI.: Госчехаздат, 1948-1950.

3. Расайл Ибн Синан. Хайдарабад. I367x. (1948) Сна араб.

яз.). •.

it. йбн Синан. khv.ia о построении трёх\конических}сеченк:;. Пер. Ря. ад-Даббаха и С.А.Красновой// Исгорико-катеиатлческпе : исследования. Выл.16. М.: Наука, IS65", е. 427-436. " . .

5. BrockeXmann С. Geschichte der arabischen Literatur. Leiden, 1898-1902. Bd.l. S.244; SupplementbHnd 1. 1937. S.386.

6. Chwplaohn D. Die Ssabier und der Ssabismua. Amsterdam: Orlental press. 1965. Bd.1. S.825; Bd.2. S.920.

7. Hogendjllc J.P. Reafranging the Arabie mathematlcal and astronomical manuacript Banlcipore 2468 // Journal for the historjr of Arable Science. Aleppo, 1982, toI 6, p. 133-159.

8. Iba al-yiftl. Тал rïh al-hukamâ / Hrsg. J. Lipper t. Leipalgj Dieterich, 1903, S.518.

9. Sédillot L.A. Du traité de connus géométriques de Hassan ben Haitha» // Journal asiatljue, З-сле série', 1834. Д.13, ï.435-458»

10. Suter К, Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Verice,// Abhandl. Gesch. math. Viiss. Leipzig, 1900, H.X, S.53-54.

11. Sutsr 2. Abhandlung über die Auetnesaunß der Parabel топ Ibrâhîm b. Sinan b. Thabit.// Viertel^nrhochr. Uaturforoch. Сяа. iflrich. 1918, 63, Л 1-2,S. 214-223.

12. The worlcs of Ibrahim Iba Sinan. / Ed. bj .A.S.Saidan, Kuwait, 1983 ( in дхаЬ );

OGfl ОБЛС7ATА ЗАК.41Й. ТИР. 100.