автореферат диссертации по истории, специальность ВАК РФ 07.00.10
диссертация на тему: Индийская математика в "Шульба-Сутрах" и трудах Арибхаты I и Бхаскары I

Полный текст автореферата диссертации по теме "Индийская математика в "Шульба-Сутрах" и трудах Арибхаты I и Бхаскары I"

АКЛДёмия НАУК ССС^

IНСТИТУТ ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И ТЕХНИКИ

На правах рукописи

¿УФИЯРОВА Ильгнза Илкамовна

УДК 512(091)

ИНДИЙСКАЯ МАТЕМАТИКА В «ШУЛЬБА-СУТРАХ» И ТРУДАХ АРИАПХАТЫ I И БХАСКАРЫ I 07.00.10 — история науки и техники

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физ и к о-м атем л г» чес кл х лаук

МОСКВА — 1990

Работа выполнена в кабинете истории и методологии м; тематики и механики мсханико-математическоги факультет Московского государственного университета им. М. В. Л< моносова.

Научный руководитель — доктор физико-математичсски

наук, профессор И.Г. Башмакос

Официальные оппоненты: доктор исторических наук, вед;

щйй научный сотрудник М.М. жанская, кандидат физико-мат матическиХ наук, доцент С.Н. Ол Хник

Ведущая организация — Институт математики им. В.И. Р'

мановского АН УзССР

Защита состоится « № ».........199 ^ г. в 15 ч;

сов на заседании специализированного совета К 003.11.04 г присуждению ученой степени кандидата физико-математ: ческих наук в Институте истории естествознания и техшп АН СССР по адресу:

103012, г. Москва, К.-12, Старопанский пер. 1/5.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиот ке Института.

Автореферат разослан « 6 » ..........199 г.

Ученый секретарь

специализированного совета < (к А.И. Володарек!

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В последние годы в странах Востока уделяется псе большее внимание изучению развития пауки в древности и в средние века. К истории древней и средневековой Индии проявляется повышенный интерес. Во многих странах, в том числе и в Индии, проводятся «многочисленные исследования древних памятников материальной культуры и нсскуства; издаются древние философские, религиозные, научные трактаты и комментарии к ним. Между тем, математика древней и средневековой Индии, ее связи с другими цивилизациями и псторико-математической литературе изучены недостаточно. Научный интерес, который представляет изучение математики в «Шульба-сутрах», джаи-нистских текстах, трудах Ариабхаты I (У-У1 вв.) и Бхаска-ры I (VII в.), обусловлен тем, что позволяет проследить первые таги и развитие математических идей в Индии вплоть до VII века. Сопоставление математики Индии с математикой античной Греции и древнего Китая дает интересный материал для установления закономерностей ее развития.

В настоящей работе проводится историко-математический анализ четырех редакций «Шульба-сутр» и их сопоставление, а также сравнение с математикой античной Греции и древнего Китая. «Шульба-сутры» были составлены в УП-У вв. до н.э. В них решаются такие математические задачи, как построение плоских фигур с помощью прямоугольных треугольников, преобразование одних фигур в другие, равновеликие данным (например, прямоугольника в квадрат, квадрата в круг), вычисление лучших для того времени приближенных значений 7 я и другие. Далее в диссертации изучается творчество индийских ученых Ариабхаты I и Бхаска-ры I. Ариабхата I внес большой вклад в развитие математики. Часть его сочинения «Ариабхатия» посвящена арифметике, алгебре, теории чисел, геометрии, тригонометрии. Многие

Правила дошли до нас в его формулировке, например, правило извлечения кубического корня. Трактаты Бхаскары I «Маха-Бхаскария», «Лагху-Бхаскария» и комментарии к «Ариабхатии» были обнаружены лишь в тридцатые годы нашего столетия и до сих пор мало изучены. Бхаскара распространил метод «размельчения», данный Ариабхатой для решения уравнений вида ах+с = ву в целых положительных числах, на уравнения вида ах—с = ву, получил решения уравнений вида ах±с=ву из решений уравнений вида ах±1=ву, причем, составил таблицы наименьших положительных значений неизвестных в уравнении вида ах—1 = ву для большого числа значений а и в. Он пользовался отрицательными числами, дал классификацию математики и теории уравнений. Бхаскара заложил основы для дальнейшего развития тригонометрии.

Таким образом, тема выполненного историко-математпчес-кого исследования является весьма актуальной.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. 1 Изучение развития математических идей в Индии до VII века на основе анализа математического наследия Ариабхаты I и БхаскарыЕ

2. Исследование проблемы происхождения математики, в частности, одного из ее этапов — геометрической алгебры.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, полученные в итоге сделанного исследования:

1. Из проведенного историко-математического анализа четырех редакций «Шульба-сутр» и сравнения их с древнегреческими и китайскими математическими трудами сделан вывод, что в своем развитии математика проходит такой этап, как геометрическая алгебра, правда, в различных регионах это происходит на разных уровнях. В Индии геометрическая алгебра появляется независимо от проблемы несоизмеримых отрезков.

2. Предложена новая реконструкция метода решения одной из систем неопределенных уравнений, к которой сводятся некоторые задачи из «Шульба-сутр».

3. Установлено сходство в учении о математическом атомизме джайнистов и «фигурных числах» пифагорейцев.

4. Показано, что Ариабхата впервые в индийской математике ввел обратные операции, исследовал и суммировал ряды и для некоторых из них использовал специальные термины.

5. Определена роль Бхаскары I в развитии математики в Мидии и показано то повое, что было внесено этим ученым: расширил некоторые правила, предложенные Ариабхатой I; составил таблицу наименьших решений неопределенного уравнения вида ах—1 = ву для многих значений а и в, взятых из астрономических задач, а также показал, как из решении этого уравнения получить решения уравнения вида ах-Ы = ву; в числе первых индийских ученых начал пользоваться отрицательными числами и сформулировал некоторые правила действия с ними; предложил классификации как всей математики, которую делил на геометрическую и символическую, так и некоторых ее разделов (например, теории уравнений, причем здесь Бхаскара I основывался на таком абстрактном понятии, как степень неизвестного); рассматривал тригонометрические функции для любых положительных углов, в том числе и больших прямого.

6. Обосновано, что древнеиндийский метод «размельчения» и современный метод решения в целых положительных числах линейного уравнения с двумя неизвестными по существу совпадают, и выявлена связь между наименьшими положительными решениями, полученными в обоих случаях.

АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ. Материалы диссертации докладывались на:

— научно-исследовательском семинаре по истории и методологии математики и механики механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (1986-1988 гг.);

— XXIX, XXX, XXXI научных конференциях аспирантов и молодых специалистов по истории естествознания и техники з Институте истории естествознания и техники АН СССР (1986-1988 гг.).

ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ. Исследования и выводы, содержащиеся в диссертации, могут быть использованы:

— для дальнейших исследования в области истории математики в странах Востока в древности и средние века;

— при разработке учебных пособий и курсов по истории и методологии математики.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ. Работа состоит из знадення, четырех глав и заключения, изложенных па 149 ^границах машинописного текста, а также списка литературы 13 141 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. Во введении обосновывается

актуальность темы исследования. Там же приведен обзор содержания диссертации с делением по Клавам.

Первая глава посвящена анализу математического содержания «Шульба-сутр».

Первый параграф первой главы носит вводный характер. В нем воспроизведена общая характеристика этого труда, дошедшего до нас в четырех редакциях: в редакциях Бауд-хайаны, Апастамбы, Катиайаны и Манавы. Выделены математические проблемы, имеющие наибольший интерес, отмечены выявленные в развитии индийской математики две тенденции: геометрическая и арифметическая (вычислительная).

Во втором параграфе рассмотрены некоторые разделы геометрии ведийского периода. К ним относятся: построение прямоугольника заданной длины и ширины, равнобедренной трапеции; преобразования ромба в равновеликий ему квадрат, квадрата в равновеликий ему прямоугольник и др. Значительное место занимает преобразование прямоугольника в квадрат, которое равносильно решению квадратного урав-ения х2=ав. Проводится сравнение этого преобразования, сделанного авторами редакций «Шульба-сутр» и Евклидом в «Началах», и показывается, что и там, и здесь данное преобразование производится в два этапа, при этом на первом — проделываются идентичные действия. Приводятся и другие аналогии между индийской и греческой математикой (правило, которое в современных терминах имеет вид (а+х)2 = а2+2ах+х2; сходство задач, решаемых в древней Индии и античной Греции; инструменты, которыми пользовались при построении: циркуль и линейка, роль которых в древней Индии играла веревка, закрепленная с одного конца, либо с отмеченными узлами в двух местах; теорема Пифагора и др.). На основе перечисленных аналогий делается вывод, что такое количество совпадений не может быть случайным. Они проливают свет на происхождение геометрической алгебры, описание которой дается следуя Г.Г. Цейтену, Б.Л. ван дер Вардену и И.Г. Башмаковой.

Наряду с наличием элементов геометрической алгебры в «Шульба-сутрах», надо отметить, что составители редакций «Шульба-сутр» широко пользуются иррациональными числами. В связи с этим предлагается другая гипотеза появления геометрической алгебры, чем принято считать в историко-математической литературе. В Индии геометрическая алгебра в более ее примитивной форме возникает не в связи с открытием несоизмеримости, а как наиболее удобная, естест-

енная, наглядная и единственно возможная на некотором ровне абстракции и точности математических знаний систе-а для выражения формул и обоснования общих теорем ма-ематики.

В параграфе третьем приведены имеющиеся в редакциях Шульба-сутр» формулировки теорем Пифагора; наиболее дачно этот раздел изложен у Катиайаны. Он сначала запи-ывает теорему Пифагора для двух частных случаев (заме-нм, что при этом Катиайана использует иррациональные исла), а затем как итог формулирует теорему в общем лучае. Скорее всего, Катиайана жил значительно позже сех остальных составителей , «Шульба-сутр». Еще одним одтверждением этому является тот факт, что содержание Шульба-сутр» Катиайаны носит ярко выраженный геомет-ический характер. Отмечается^что иидийцы признавали об-шй характер этой теоремы, но в «Шульба-сутрах» ее строях доказательств не найдено, как, впрочем, и всех других равил и теорем. Правда, встречаются некоторые начатки оказательств в современном понимании. Например, при вы-ислении площади основания жертвенника, имеющего форму авнобедрепной трапеции, рекомендуется проделать определенные действия (преобразовать трапецию в равновеликий рямоугольнпк), которые можно принять за элементы выво-,а формулы для вычисления площади равнобедренной тра-[еции.

Четвертый параграф связан с системами неопределенных равнений, излагаемых в «Шульба-сутрах». Например, рас-матривается система неопределенных уравнений

'ешепие этой системы в «Шульба-сутрах» не содержится. В .иссергации сделана попытка устранить этот пробел и пред-южена реконструкция решения.

Особое место в этой главе занимает последний пятый па-•аграф, посвященный вопросу о происхождении математи-:и. Здесь вкратце излагаются и анализируются теории аме-щканского исследователя А. Зайденберга, швейцарского (сторика науки Б.Л. ван дер Вардепа и советского ученого 1.Н. Веселовского. Наиболее ранними в хронологическом •лапе являются изыскания И.Н. Веселовского, в частности, го докторская диссертация «Вавилонская математика». В

ней автор высказал идею о едином источнике математики И.Н. Веселовский считает, что наиболее вероятно предполо жение о том, что обе геометрии — греческая и индийская — выросли из общей традиции, на почве одной и той же куль туры, которой может являться лишь культура Двуречья. Е настоящей диссертации дается критика этой точки зрения Показывается, что убедительных доказательств своей теории И.Н. Веселовский не привел.

Далее проводится критический анализ попытки Б.Л. ваи дер Вардена частично реконструировать математику эпохи неолита, предшествовавшей египетской, вавилонской, индийской и китайской, и послужившей их важнейшим источником. Автор настоящей работы приходит к выводу, что; несмотря на безусловную оригинальность точки зрения Б.Л. ван дер Вардена, она так же, как и предыдущая, остается необоснованной.

Определенный интерес представляют основные положения исследований А. Зайденберга. Он считает, что у европейской математики были две основные традиции: пифагорейская н вавилонская математические системы, и обе они происходят из более древней, которая должна была быть похожа на математику «Шульба-сутр». Разделение в развитии математики могло произойти следующим образом: в одних цивилизациях развивались имеющиеся арифметические методы, при этом отодвигались на второй план старые геометрические конструкции — это арифметическое направление, встречающееся в вавилонской математике; в других культурах применялись геометрические конструкции и стремились к точности рассуждений — это привело к пифагорейской математике. Однако, пока у пас нет данных, подтверждающих эту гипотезу.

Таким образом, из сопоставления индийской, греческой, китайской и вавилонской математики можно сделать вывод лишь о геометрической алгебре, приведенный выше.

Вторая глава освещает некоторые наиболее интересные разделы джаинистскои математики (Увв. до н.э. — Ув.н.э.). Джайнизм — одно из религиозно-философских учений Индии, возникшее в шестом веке до нашей эры. О математическом содержании джайнистских текстов исследований в советской историко-математической литературе не было, отдельные сведения о нем можно почерпнуть лишь в статьях и монографиях зарубежных авторов.

В первом параграфе сделан обзор сохранившейся джай-

иистскон литературы. ДжайнпСтскне религиозные тексты делились на четыре группы, одну из которых и составляли тексты, содержащие математические и астрономические знания. Также в этом параграфе изложены основные элементы математических знании джайнпстских мыслителей.

Во втором параграфе проводится сравнение учений математического атомизма джайннстов и «фигурных числах» пифагорейцев. Пифагорейское понятие «фигурных чисел» можно перенести и в джайнистскую теорию атомизма. Так, наименьшие четные и нечетные числа точек в различных геометрический фигурах джайнистов совпадают с треугольными, квадратными, пирамидальными и другими числами пифагорейцев. Отмечается, что у джайнистов встречаются еще четные и нечетные числа точек в круге и шаре, чего не было у пифагорейцев. Здесь же частично затрагиваются представле1 ния о математическом атомизме Аристотеля и Демокрита.

В третьей главе диссертации рассматривается трактат «Ариабхатия», написанный индийским математиком и астрономом Ариабхатой I. Многие вопросы «Ариабхатии» уже изучены в историко-математическойлитературе. Однако автором настоящей работы отмечены отдельные интересные моменты, которые излагаются в данной главе.

В первом параграфе проводится краткий обзор содержания «Ариабхатии», анализируется состояние арифметики на момент создания «Ариабхатии». Показывается, что обратное тройное правило Ариабхаты по существу является первым случаем введения в математику Индии обратных операций в общем виде.

Параграф второй посвящен отдельным разделам алгебры и теории чисел; большое внимание уделяется истории вопроса о прогрессиях и конечных рядах, начиная с древнейших времен и до VII века, сопоставлению достижений индийских ученых с исследованиями Архимеда и Никомаха. Показано, что Арнабхата ввел специальные термины для некоторых рядов, которые применялись и I! дальнейшем. Большой вклад внес Арнабхата в развитие теории чисел, особенно в решение неопределенных уравнений. Он и а шел метод решения неопределенного уравнения первой степени в целых положительных числах —■ метод «размельчения». Однако Арнабхата дал метод «размельчения» только для уравнений вида ах+с=ву, где а, в, с — целые положительные числа, и сформулировал его в «Ариабхатии» не совсем ясно. Этот пробел был восполнен Бхаскарой, который изложил этот

метод в своей книге «Маха-Бхаскария и расширил, распространив на уравнения вида ах—с=ву.

Третий параграф связан с геометрическими и тригонометрическими правилами «Ариабхатии». Наряду с точными формулами для определения площадей фигур (треугольника, трапеции, круга), он приводит и приближенные (например, для четырехугольников). Также в «Ариабхатии» дается значение такой важной константы, как число я, с довольно большой для своего времени точностью гс=3,1416, но без пояснения, как оно получено. Формулируется теорема Пифаго* ра. Из нескольких предложений «Ариабхатии» следует, что его автор знал о подобии треугольников, свойствах диаметра, перпендикулярного к хорде, а также правило для нахождения частей диаметров двух пересекающихся окружностей. Приведена таблица синусов.

Четвертая глава посвящена историко-математическому анализу творчества Бхаскары 1.

Первый параграф содержит обзор всех известных трудов Бхаскары. Первое его сочинение «Маха-Бхаскария» («Большее сочинение Бхаскары») является астрономическим трактатом. Для нас здесь научный интерес представляют отдельные его строфы, связанные с решением неопределенных уравнений и тригонометрией. Второй труд Бхаскары — это подробные комментарии к «Ариабхатии». Наконец, его третье сочинение «Лагху-Бхаскария» («Меньшее сочинение Бхаскары») — более сжатое, краткое изложение материала «Маха-Бхаскария».

Во втором параграфе рассматривается вклад индийских ученых в расширение числовой области отрицательными числами. В своих комментариях к астрономической части «Ариабхатии» Бхаскара пользуется отрицательными числами, применяя для них термин «рна» (долг). При этом он говорит о том, что в результате сложения отрицательного и положительного чисел можно получить как нулевое, так и отличное от нуля значение.

В третьем параграфе изучается вопрос о различных классификациях математики. Пол<алуй, это единственный вопрос в комментариях Бхаскары к «Ариабхатии», го связанный с предложениями Арпабхаты. Одна из самых ранних известных индийских классификаций математики дана Бха-скарой, который утверждал, что математика делится на два вида: геометрическую и символическую.

Здесь же приведены несколько классификаций уравнений, как по степени, так и по числу неизвестных. Примечательно, что классификация Бхаскары носит весьма абстрактный характер, что свидетельствует о достаточно высоком уровне развития алгебры в рассматриваемый период. Любопытна классификация основных операций, применяемых в математике (операции увеличения и операции уменьшения), п.деление на восемь групп правил и задач, объединенных чаще предметами исследований, реже — методами решений, с которыми в VII веке имели дело математики. Для сравнения приведены питагорейская и арабские классификации математических наук.

Значительное место в данной главе занимает четвертый параграф, связанный с неопределенными уравнениями первой степени, в частности, с индийским методом его решения, названным методом «размельчения». Кроме обзора того, что сделано Бхаскарой в области решения неопределенных уравнений, с помощью метода «размельчения» решен один из примеров, взятый из комментариев Бхаскары к «Ариабхатии». Проведено подробное сравнение решения уравнения вида ах+с=ву современным способом с помощью непрерывных дробей и методом «размельчения». В результате показано, что рассмотренные методы по существу не отличаются и выявлена связь наименьших решений (хо, уо), полученных современным способом, и (хо1, уо'), полученных методом «размельчения». Найденная зависимость выражается равенствами хо' = хо+рв, уо' = уо+ра, где р —- определенным образом полученное число.

В последнем параграфе настоящей диссертации рассматриваются достижения Бхаскары в области тригонометрии. В историко-математической литературе принято считать, что индийцы рассматривали тригонометрические величины в пределах только первой четверти круга. Однако уже в «Ариабхатии» встречается правило, комментируя которое Бхаска-ра пришел, видимо, к идее формул приведения. Их вывод основан на несложных геометрических построениях. Дан вывод одной из формул приведения, обнаруженных у Бхаскары. В заключение описывается вклад, внесенный Бхаскарой в развитие математики в Индии.

В заключении, завершающем диссертацию, подытожены результаты проведенного в ней исследования.

выводы

1. Проведенный в диссертации историко-математичсский анализ древнеиндийских практических руководств по строительству алтарей «Шульба-сутр» (в переводе с санскрита «Правил веревки») в редакциях Баудхайаны, Апастамбы, Катиайапы и Манавы показывает, что ученые Индии в период создания этих трудов (по предположению многих исследователей это было в VII-V вв. до н.э.) успешно решали такие математические проблемы, как построение (квадрата, прямоугольника и др.) и преобразование большого числа одних плоских фигур в другие, равновеликие им (квадрата в прямоугольник и круг, круга в квадрат и др., но при этом они не различали точные построения от приближенных); проводили вычисления лучших для того времени приближенных значении Г? и л. Составители «Шульба-сутр» владели теоремой Пифагора, использовали пифагоровы тройки и в отдельных случаях приводили элементы доказательств используемых фактов.

2. Сравнение маЪема'|ики «Шульба-сутр» с математическими трудами античной Греции- и древнего Китая показало, что геометрическая алгебра возникает не в связи с открытием несонзме. римости, как принято считать в историко-математической литературе (Г.Г. Цейтен, И.Г. Башмакова и др.), а как необходимый этап на определенном уровне ее развития. В античной Греции геометрическая алгебра была преобразована в строгую теорию, когда было открыто существование несоизмеримых отрезков. А в Индии она возникла без связи с проблемой несоизмеримости.

3. Критический анализ гипотез о происхождении математики И.И. Веселовского, Б.Л. вап дер Вардена и А. 3 айден -берга показывает, что ни одна из них не является достаточно обоснованной.

Из сопоставления этих предположений о едином источнике математики можно увидеть, что их авторы расходятся во мнении о том, каков был источник. Его помещают то в Европу (Б.Л. вам дер Варден), то в Двуречье (И.Н. Веселовский), а то н вовсе говорят только о его существовании, не называя конкретно места расположения (А. Зайд^нберг). Но единственный вывод, который можно сделать из сравнения индийской, греческой, китайской н вавилонской математики древнейших времен, это вывод о возникновении геометрической алгебры.

4. Установлены аналогии в учении о математическом атомизме джапнистов и «фигурных числах» пифагорейцев. Так, и те, и другие изображали многоугольные числа в форме треугольников, квадратов, трехгранных пирамид, кубов и т. д. Отметим, что джайппсты добавили еще и числа, изображаемые в форме круга и шара.

5. Показано, что в «Арнабхатпи» была предпринята первая в Индии попытка пвестн обратные операции в общем виде. Это было сделано с использованием обратного тронного правила. Лрпабхата ввел специальные термины для конечных сумм квадратов и кубов натуральных чисел, которые затем пошли в индийскую математику.

0. Выявлено, что Бхаскара в числе первых индийских математиков использовал отрицательные числа и привел некоторые правила действия с ними.

7. Изучение всевозможных классификации математики, имеющихся в индийской математике У-УП веков, найденных в комментариях Вхаскары к «Арнабхатпи», показало, что в тот период были составлены классификации как для всей математики, так и для некоторых ее разделов (например, теории уравнении). Первая известная индийская классификация математики была дана Бхаскароп: математика делится па геометрическую и символическую. По-видимому, под последним следует понимать алгебру. Кроме того была сделана попытка упорядочить теорию уравнений, основываясь на делении уравнений по степеням неизвестных пли по их количеству. Достоинство этих классификаций состоит в том, что они учитывают не конкретное содержание задач, а более абстрактные начала, как, например, степени уравнений.

8. Сравнение древнеиндийского метода «размельчения» и современного метода решения линейного неопределенного уравнения с двумя неизвестными в целых положительных числах, найденная при этом зависимость наименьших решений, полученных обоими методами, показывает, что суть методов одинаково основана па использовании алгоритма Еп-клида. Они отличаются записью наименьших положительных значений неизвестных, что можно объяснить отсутствием у индийцев необходимой алгебраической символики. Хотя они нашли своеобразный метод описания решения, при котором наименьшие значения неизвестных и весь процесс решения записывается в удобной форме —в виде таблиц.

9. В «Маха-Бхаскарии» Бхаскары обнаружены задачи, при

решении которых приходилось иметь дело с углами, большими прямого. Откуда и возникла необходимость составления формул, подобных современным формулам приведения в тригонометрии.

10. Показано, что видное место в истории развития математики в Индии занимал Бхаскара I. Его комментарии помогают разобраться в таком энциклопедическом труде, как «Ариабхатия», первым комментатором которого, как нам известно, и был Бхаскара. На основе его успехов в теории чисел и выводов, сделанных в пунктах 6, 7 и 9, можно утверждать, что вклад Бхаскары Г в развитие математики Индии достаточно велик.

Основное содержание диссертационного исследования и его результаты наложены п следующих публпкацнх автора:

1. Зайдуллнна H.H. Математика «Шульба-сутра». — М., 1987, 20 с. Рукопись представлена Московским университетом. Депонирована в ВИНИТИ 22.00.87, № 450(>-В87.

2. Зайдуллнна И.И. О некоторых предложениях «Ариабха-тии». — М., 1989, 9 с. Рукопись представлена Московским университетом. Депонирована п ВИНИТИ 06.05.89, № 2988-В89.

3. Зайдуллнна И.И. Бхаскара I и его труды // История и методология естественных наук. М'.: Изд-во МГУ, 1989. Вып. XXXVI. С. 45-49.

4. Зайдуллнна И.И. О классификациях математики в античности и в средневековой Индии. — М., 1989, 10 с. Рукопись представлена Московским университетом. Депонирована в ВИНИТИ 06:05.89, № 2989-В89.

Тип, г. Октябрьского Госкомиздата БашССР, 1990 г. Зак. №3241