автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.07
диссертация на тему: Логика функций с неопределенными аргументами

Полный текст автореферата диссертации по теме "Логика функций с неопределенными аргументами"

сшт-ттЕРЕУРГск:й ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

БАЛОБАНОВ Виталий Серафимович

ЛОГИКА ФУНКЦИЙ С НЮПРВДШЕНГШИ АРГУМЕНТАМИ

09.00.07 ~ логика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата философских наук

Санкт-Петербург - 1991

Диссертация выполнена в секторе логики научного познания Института философии АН УССР,

Научный руководитель - доктор философских наук, ведущий научный сотрудник Института философии АН УССР

Ипмуратрв А.Т.

Официальные оппоненты: доктор филос. наук, проф.

. Караваев Э.Ф. ; кандидат физ.-мат. наук Кратко М.К.

Ррдущая организация: Санкт-Петербургский институт

точной иаханики и оптики.

Защита диссертации г. в ^

часов ка заседа'гик специализированного совета Д 063.57.01 по защите диссертаций ка соискание ученой степени доктора философских наук при Санкт-Петербургском государственном утиерси^ете.

Адрес: 199034, Саньг-Петербург, Менделеевская линия, д.5.

С диссер^ацией можно ознакомиться в библиотеке им. А.М.Горького

Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан I99I г.

Ученый секретарь специализированного созета кандидат филос. наук Л.М.Райкова

ЛКТУАШ.'СС'ГЬ Т-йЦ. Длп современного этагта НТР характерно стремительное возрастание рода ИНФОРМ^ОГС-ХГО $а:.стора во всех областях человеческой деятельности. Особенно ощутима эта тенденций и современном пром'тлленном производстве. Если еще до 7С-х годов рост производительности труда э ото? области определялся развитием нрупичх предлриятн, специализированных на выпуске больших объемов однородной продукции и не допускающих резких изменений технологии, то сейчас происходят прямо противоположные процессы. Несткие технолог;;;! сменяются гибкими, специализированное автоматы вытесняются универсальными роботами, производство ШКИЙ в Физическом сшсле все более становится производством ЗНАНИЙ о зет;ах, воплощенных в проектах, технологических решениях, программах и программных комплексах для ЭТ1М.

Как следствие технологического динамизма происходит децентрализация структуры управления промигсленних предприятий и связанных с ними хозяйственных объединений, усиление прямых ¡экономических и информационно-технологических связей мехду структурными единицами производственных комплексов. Это в существенной мере сказывается на глубоких социчлъних изменениях в современном таре, благотворно влияет на демократизацию политической жизни общества. Но в свою очередь, социальные процессы предъявляю? повышенные требования к информационному обеспечению общества, как в сшсле развития технических соедств связи, так и с смысле более глубоких научных знаний о природе самой информации.

Получение нового знания /информации/ представляет собоП наиболее наглядную, непосредственно доступную для субъективного восприятия Форму перехода от НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ к ОПРЕДЕЛЕННОСТИ. Но проявляя себя наглядно как незнание, неопределенность долгое время и рассматривалась только в гносиологи-ческсм качестве: как особое свойство субъективного сбраза "абсолютно определенного" объекта, т.е. как прерогатива СОЗНАНИЯ, ко не МАТЕРИИ. С возникновением но квантовой механики картина радикально изменилась: неопределенность не только обрела физический смысл, но стала рассматриваться как иеоть-

емлемое свойство материального мира, в котором недостижима "абсолютная" определенность. Таким образом, научное поникание природе информации оказалось тесно связанным с об!цей проблемой отношения неопределенность-определенность в самом общем виде, характеризующем не только ВОСГРОИЗВЕ$ЕНИЕ "определенного" нечто в форме знания, идеи, но к его первичное СОЗДАНИЕ как независимой от сознания реальности.

Объективный характер неопределенности до сих пор е^е не налел своего адекватного выражения средствами математики к логики /логической семантики/. Ято, в частности, проявляется в растудей конфронтации между математическим аппаратом описания физических явлений и собственно "физическим смыслом". Традиционные логико-математкческие модели неопределенности ассоциируют ее с некоторым спектром возможных альтернатив /статистический универсум, семантика "возможных миров"/, редуцируя тем самым неопределенность к определенности и привнося в ситуацию больше информации, чем она на самом деле моасет предоставить наблюдателю. Подлиней переход от неопределенности к определенности, интерес к которому питается актуальными задачами информатизации общества, остаотся неуловимым при использовании современных логико-математических подходов.

Так™ образом, проблема отнопения неопределенность-определенность существенным образом затрагивает ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИК, углубляя кризис, обычно связываемый с известными "парадоксами" теории множеств /кстати, в нчх тоже сказывается отождествление ;:ерасчлененкого неопределенного объекта с множеством определенных объектов/. На повестке дня стоит поиск новых логических принципов математического знания, исключающих концепцию Мира /реального или воображаемого/, сос-тояцзго из абсолютно определенных объектов.

СТЕГЫЬ РАЗРАБОТАННОСТИ ПРОБЛЕМЫ. Проблема отношения неопределенность-определенность имеет множество аспектов, в той ,1ли иной степени затрагивающих интересы различных научных направлений: физики, психологии, кибернетики, биологии, социологии и т. д. Данные, полученнье в различных областях знания, по-своему питают общее философское представление о !>"кре, в котором нет четких границ, где "¿се течет и меняет-

ся". Ро при этом, вопросы наиболее абстрактного уровня эдре-соватг математике и логике.

В отличии от математики г других наук /за исключением психологии, оформившейся как наука совсем недавно/, логика никогда не открещивалась от неопределенности, считая мшле-ние, со всеми его "недостатками'', своим предметом исследования. Однако, подход к любым проблемам с позиций некоего идеального абсолюта, четких границ кеяду "это" и "не эм'', прд-надлежит ЛОГИЧЕСКОМ/ инструментарию математики, т. с. прямо взят математикой из логики, что служит- причислении той и другой к классу "точных наук".

До того, как логика стала, по преимуществу, математической логикой / т.е. до того, как язык стал отчуждаться от ин-ления з качестве непосредственного предмета логического исследования/, неопределенность в мепленяи рассматривалась по отношению к трем традиционно выделяемым ШРЛЛМ мысли: ПОНЯТИЮ, СУда-МЮ и ^ЗАКЛЮЧЕНИЮ. Что касается неопределенности в умозаключениях, то здесь традиционная логика не оставила нам каких-либо заметных результатов: они появились лишь в математической логике в связи с задачами о полноте, разрешимости и интерпретируемости дедуктивных теорий /в современной логике "умозаключению" соответствует "вывод", или "секвенция"/. Однако, для понятий и суждений вопросы об их неопределенности изучены довольно глубоз;о еще в античной и средневековой логике. К анализу неопределенности в понятиях явным образом относятся силлогистика, теория дефиниций и "закон обратного отношения" между объемом и содержанием /информационной нагрузкой/ понятия. Неопределенность в суждениях отражена теорией модальностей, корни которой также уходят в аристотелевскую силлогистику.

Важно иметь в виду, что установка на отсутствие неопреде.-' ленностей вне мышления не только не приводила традиционную логику к стремлению устранить неопределенность из ФОМ мысли /понятий, суждений/, что, казалось бы, должно соответствовать требованию адекватности знания, но напротив: подчеркивалась полезность понятий и суждений с наиболее неопределенным /общим/ содержанием нак средства представления наиболее глубоких знаний, отражающих наиболее существенные стороны

- б -

действительности. Эта традиция била поколеблена в послефре-гевскпй период развития логики в связи с установками логического позитивизма /Р.Карнап, М.'Ллик, О.НеЧрат, Ф.Ва?смап, Г.Оойгл/. Однако, после кризиса этих установок з середине 50-х годов с ново«} силой стал проявляться интерес к формам т.,ксли с явно неопределенны?.: информационным содержание:.: /главки образом, к ПОНЯТВЭ/. В советской логико-философской литературе наиболее ярко этот интерес выражают работы Е.г-С.Войнвилло и А.И.Уемова /с их зтеолаки/.

Со времени основополагающих работ лс математической логике Р.®реге главным объектом логических исследования стала АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ, сформулированная 3 терминах специ-альлого /формального/ языка со строго регламентированными правилами образования выражений и ваделекия среди них "доха-зу«г.шх положений" /теорем/. Этот подход существенно расширил возможности контроля над ходом рассуждений, причем впервые удалось строго сформулировать критерий "логичности" рассуждения - это понятие 1П2Р0ТЙЕ0РЕЧИВ0СТИ аксиоматической теории. Что касается собственно проблем» неопределенности, то она отражена в критериях ПОЛНОТЫ аксиоматических теорий, прежде всего, в известных результатах К.Гедедя /это аспект умозаключения/, а также в опытах аксиоматизации модальной логики /аспект суждения/, впервые предпринятых К.Льюисом и Я.Лук&севичем.

Более высокая эффективное?!, математической логики, по сравнению с логикой традиционной, объясняется тем, что Фреге впервые представил язык как СИСТЕМУ СУНКЦИЙ /в математическом емнеле/. При этом суть дела не в тех функциях, что действуют из "мьра вецей" /это {¿на ¡лсоупМг! в "мир символов", а в тех, что действуют ВНУТРИ "мира символов": именно ПРЕОБРАЗОВАНИЯ одних знаковых вгтраженкй в другие, а не сами знаки и их помСинации, могут претендовать на рель модели мышления как ПРОЦЕССА.

Для функциональной структуры языка характерно ИНТЕНСИОНАЛЬНОЕ задание функций. Функция представляется в виде некоторого СУБЪЕКТА ДЕЙСТВИЯ /далее мьт будем применять' термин "процессор"/, выполняющего кркко-то предписания по изготовлению кз одного или нескольких объектов /''входа процессора"/

нового объекта /"выход процессора"/. Таксе представление работает эффективно, когда предписания субъекту-процессору относится к внутренней структуре преобразуемых объ-^стов. Однако, если предписание должно учитчвать внешние отношения объектов, определяющие НВДЙВ/ЩУАЛЫЮК положение каждого в некотором универсуме объектов, то имеет место на интенсиональное, а ЭКСТЕНСИОНАЛЬНОЕ задание функции: процессор должен "знать в лицо" катдый из объектов, который может попасть па его вход. В случае бесконечного универсума экстенсиональное задание функции требует бесконечно большой информации, и понятно, "то человеческое мышление не может воспроизвести действия соответствующего процессора. Поэтому изучение свойств функций, которые не могут быть оадаш интенсионально, представляют серьесную проблему для математики и логики,

Трудности еще более возрастают, если переход от неопределенности к определенности рассматривать как функцию. В этом случае нельзя прямо применить ни интенсиональный, ки экстенсиональный подходы, т.к. структура неопределенного объекта и его отноаения о друтиш объектами сами представляют неопределенность.

Когда не известно, как задана каждая функция ИНДИВИДУАЛЬНО, можно изучать взаимные ОТНОШЕНИЯ между функциями, закономерности преобразования одной в другую. Последовательное развитие этот подход получил в "комбинаторной логике", а также а "теории топосов", которая является ветвью математической "теории категорий". Во всех этих теориях в разной форме предлагается альтернатива построению математики на основе теории множеств. Свойства функций не выводятся из свойств множеств в предположении экстенсионального задания функций, а рассматриваются самостоятельно в рамках специальной аксиоматической теории, не ссылающейся на теорию множеств.

Однако, объекты всякого аксиоматического описания предполагаются сфоршровавшимися, улв имеющими все свои свойства к отношения до того, как мы начали определять их аксиоматически. Функция яе представляет собой ДЕЙСТВИЕ, призванное создать что-то или изменить; подход к ней как к стационарному объекту не является вполне корректным, на что указывают все

представители КОНСТРУКТИВНОГО направления в математике, начиная с Л.Ерауэра.

Есть е:п,е один путь - отказаться от стереотипа, заставляющего при трудностях с интенсиональным определением функции /опирающимся на внутреннюю структуру объектов/ считать ее зтдашой строго экстенсионально. Есть процессоры, способные работать и ка основе самой минимальной информации экстенсионального типа /при минимуме ОПРЕДЕЛЕННОСТИ/. опираясь лшь на факты /причем непостоянные/ РАЗЛИЧИМОСТИ или НЕРАЗЛИЧИМОСТИ объектов на каждой паре входов, чем бы ни были эти факты обусловлены. Вопрос лишь в конетруктивных возможностям такого рода процессоров, в том, насколько сводима к ним общая картина употребления функций в логике п математике. Исследование этого вопроса и является темой предлагаемой диссертации.

ЦЕЛЬ дасСЕРТАЭДОННОЗ РАБОТЫ состоит в исследовании возможностей особого класса функций /идея которых принадлежит автору/ служить альтернативным семантическим базисом логики и оснований математики по отношению к существующим теоретико -множественным и конструктивным /интуиционистским/ представлениям, предполагающим абсолютнул определенность исходных объектов.

Характерной особенностью исследуемых функций, названных "почти экстенсионально свободными" /кратко - ПЭС-функциями/, является то, что для задания их "способа действия" не требуется никакой информации об индивидуальном состава области определения /экстечсионал - "какой угодно"/, хотя само наличие какой-либо области определения /универсума/ предполагается /отсюда слово "почти" в названии/. По аналогии с ПЗС-функцикми, путем дополнительных рассуждений удается сформировать понятие "экстенсионально свободной" функции /ЭС-функ-ции/, для которой совсем не требуется универсума. ЭС-функцич реализует переход от "чистой" /полностью аморфной/ неопределенности к определенности с некоторой ограниченной мерой. Она представляет собой ПЕРВИЧНЫЙ объект, рте обладающий какой-то внутренней структурой, которая можэт быть изменена под действием ИНТЫСИОНАЛЫЮй функции /з обидном смысле слова/ или же ЬЗС-^ункции. Таким путем представление об универ-

суме снова вводится в употребление, но уже в качезтле ДИНАМИЧЕСКИ формирув;цсйся системы, Мира, рождающегося из "абсолютной неопределенности".

Г.З'реге начинал строить основания математики с логического определения понятия числа на основе понятия функции /отображения множества в множество/. В описываемо"; диссертации также намечается программа реконструкции арифметики на основе ПЭС-функций, однако, реализация эюй программы отложена на будущее. Внимание сосредоточено на подготовительной работе, 1оторая сама по себе довольно обширна.

ОСНОВ'-ЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

- выделен класс функций /в смысле традиционного для математики определения функциональной зависимости/, для которых конкретные свойства и отношения индкеидоз, составляющих универсал /область определения/, но участвуют г определении функции как "способа действия" /это класс П.'ЧЗ-функций/;

- построзна ДИНАМИЧЕСКАЯ кОДЕЯЬ "абсолютной неопределенности", к которой применимы особые действия, &налогичн::г; действиям ПЭС-*ункций на универсуме - эти действия названы ЗС-функциями;

- найдено КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ /нормальная 1-форка/ произвольной ПЭС-бункции через композиции элементарных, доказывающее ФУНКЦИОНАЛЬНУЮ ПОЛНОТУ всего класса ПоС-фужций /аналогичное представление распространяется и на ?С-ф:укк-ции, что позволяет свести их изучение к изучению ЛВС-функций как модельных объектов/;

- рассмотрено расслоение класса ПЭС-функций на ТИПЫ /по аналогии с теорией типов Б.Рассела/ ч произведено распространение канонического представления на композиции ПЭС-функ-

ций разных типоз /РС-функции при этом оказались в роли "исходных" ПЭС-фуняций типа 0/; выяснены основы КОНСТРУКТИВНОГО СВЕДЕНИЯ "функции" в общем смысле слова к операциям над ПЭС-функциями разных типов;

- выдвинута программа реконструкции ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ на базе ЛОГИЦИЗМА /Фреге/, обновленного логическими принципами генезиса определенного из неопределенного и вбирающего в себя принципы ИНТУИЦИОНИЗМА /Ерауэр/ и ФОРМАЛИЗМА /Гильберт/;

- произведена систематизация свойств ПЗС-функций в форме АКШ)МАТ/?1ЕСЯЮЙ ТЕОРИЙ /в нескольких вариантах/; доказана эквивалентность разных вариантов теории, а для .одного из них - непротиворечивость и независимость аксиом; выявлена /геполнота аксиоматической теории ПЭС-фуннций и описан класс всех ее пополнений; доказана эквивалентность формализованной МЕТАТЕОРИИ над теорией П?С-6ункций /за вычетом "нелогических" аксиом/ КОНСТРУКТИВНОМУ исчислен:® высказы ваний;

- найдено представление исчисления предикатов с различной логикой высказываний /классической, паранепротизоречилой, модальной, конструктивной/ в виде специальных систем П~С-фуькций;

- задвинута единая КОНЦЕПЦИЯ ЛОГИКИ, охватывающая различные формальачз модификации, связанные с ПРАКТИЧЕСКИМИ условиям №1сли?(=льного процесса.

МИКОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОШ ИССЛЕДОВАНИЯ. Представление о Мире, развивающемся из состояния абсолютной неопределенности, явно содержит черты ДИАЛЕКТИЧЕСКОЙ традиции в философии, причем вопрос об отношении этого Мира к СОЗНАНИЮ решается в духе МАТЕРИАЛИСТИЧЕСКОЙ диалектики. Из философов нематериалистической ориентации наибольшее влияние в философской части исследований оказали Р.Декарт, И.Кант, Д:с.Беркли, Г.Лейбниц, И.Фихте, Ф.Шеллинг, Л.Витгенштейн, П.Фейэра-бенд.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА ИССЛЕДОВАНИЯ определяется следующими положениями.

- Найден специфический способ задания функциональной зависимости, который нельзя считать нк интеьсиональным, ни экстенсиональным, ни аксиоматическим /аксиоматизация зозмояна, но она имеет вторичный характер/. Этот способ дает возможность рассматривать как функцию переход от неопределенности к определен:,-осаи, что ■ открывает радикально новое направление научных исследований.

- Построена ДИНАМИЧЕСКАЯ модель объектов с внутренней неопределенностью, в корне отличающаяся от традиционных моделей, характерных для семантики "возможней миров".. Вместо статических "описаний состояний" рассматринается процесс преобразования состояний, происходящий в "виртуальном време-

ни" /нет упорядоченной цепи событий/ и состояний из элементарных загон "расцепления" и "склеивания". Всякая определенность при этом представляется в виде интегральных функций состояний, называемых "интервар.чантными связями".

- Предложена принципиально новая семантика логических исчислений, представляющая: их как функциональные структуры. Все логические операции, включая кванторн.:е и медальные, представляют собой чисто структурные изменения л системе функций, производите зг>. конечное число аагов и не зависящие от индивидуального состава уге-вег-'ума.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ проведенного исследования определяется новыми логическими средствами, которые предлагается применять как к проблемам ОСНОВАНИЙ ЦАТШАТШй!, так и вообще к ОБЪЯСНЕНИИ явлений природы и познания. Парадигма генетической сводимости любого процесса и явления к некоторой функциональной структуре, не имеющей абсолютно определенной предметной области, позволяет рассматривать в новом ссег-в проблемы СИСТСШОГЭ АНАЛИЗА /идущего от целого к структуре, от структуры к элементам/.

Аппарат ПсС-функциП и основанкач на нем логика знаиитсль-ко расширяют возможности МЕТОДА МОДЕЯЕЛ в исследовании дедуктивных свойств аксиоматических теорий. Б частности, имеет смысл поставить вопрос о соединении аппарата ШС-функцнй с "языком тернарного описания" /ЯТО/, который применяется А.И.Уемовчм и его учениками как йормально-дедуктивноэ средство общей ТЕОРИИ СИСТЕМ.

Другое возможное применение ПГС-функций можно предвидеть в области теории ИСКУССТВЕННОГО ИВШШСГА, непосредственно связанной с задачами перехода ст неопределенного к определенному, когда этому перехода нельзя предпослать точное описание предметной области.

ГРАФИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ исследовшия езкзака с будущим КИБЕРНЕТИКИ: с технической реализацией сети процессоров, действующих из по принципу булевской двоичной арифметики, а по принципу ПЗС-функции. Что это могло бы дат;/?

В настоящее время конструктор компьютера и программист строяг соответствие одних вьщей другим, одних свойстз, отношений и процессов другим свонстдам, отношениям и процессам.

называя ято ЮдаШАКШ и обработкой ИНФОРМАЦИИ. Однако, строение кода не воспроизводит собственных качеств объекта /как того требует "ленинская теория отражения"/ и не переносит информацию из сознания человека в компьютер: измени конструктор и программист способ кодирования - те же процессы в компьютере ^удут иметь другой смысл, если вообще смогут С ать раз ужо ис.твдованы. С другой стороны, системе ПЗС-функиий доступно именно BOCJ 1Р0ИЗБЩДЕ№ГЗ /пусть приблизительное/ объекта в его собственно».: качестве, независимо от технической реализации ПЗС-функции как процессора. Таким образом, открывается перспектива создания искусственного интеллекта, максимально приближенного к естественному, с теми последствиям для человеческой цивилизации, о которых много рассуждали еще на заре кибернетики.

АПРОБАЦИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ. Первый доклад об открытки ПЭС-функций и ьозмохности их применения для объяснения существенных с войств реального человеческого сознания /функциональная отдаленность идеальной структуры от мозгового субстрата, отличие субъективного ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ реальности от ее КОДИРОВАНИЯ/ был предложен для всесоюзного совещания "Методология случайности, случайного поиска и логики", прохо-дивыего в Кемерово в 1980 г. До этого /19?7-?9 гг./ был сделан ряд сообщений! на научно-теоретическом семинаре кафедры логики философского факультета ЛГУ.

После значительного перерыва, в течение которого происходило накопление теоретического материала, были представлены к публикации еще три работы по данной теме /список см. в конце реферата/.

С 1930 по 1988гг. ход исследований сопровождался обсуждением их на семинаре по системологии в Институте экономики АН УССР /пдессков отделение/. Автор выражает признательность А.И.Уемову и его сотрудникам за ряд ценных замечаний.

В 1990-91 гг. о результатах исследований докладывалось на научно-теоретическом семинаре сектора логики научного познания п Институте философии АН УССР.

СТРУКТУРА И ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОЪ.. Диссертация включает введение, пять глав, заключение, библиографии и четыре приложения. В приложения вынесены параллельные теш, разра-

ботка которых представляет интерес для будут^тх исследований, а также нзкоторые детали математических доказательств и формально-дедуктивных выводов.

Во ВВЗДЕН'Ш обосновывается актуальность исследуемой проблему, определяются це."ь и задачи исследован/я, перечисляются полученные результат:!.

В главе I подвергается критике традиционное определенно понятия функции в математике через понятие множества и доказывается, что понятие функции должно иметь первичный характер. Вместе с тем, отмечаются трудности, связанные с инчен-сио.чалькы!.! заданием функции как "процессора", осу^ествляюле-го некоторые действия. С позиций системного подхода исследуется свя?ъ абстракция "множество" с категориями "определенность" и "неопределенность" и отмечается производный характер "множества" по отнэчеиих к "системе", в которой уже имеют место отношения, характеризуемые как "функциональная зависимость" .

После" методологического обоснования необходимости иметь способ определять функцию как действие /процессор/, не задавая конкретного множества предметов, подвергаемых воздзйот-вию, приводятся примеры (функций, удовлетворяю^;«: этому условию. Дело в том, что независимо от конкретного состава предметной области, в любой многоместной Функции /\ч,,...,х„ ¡'1 Я/ на множеотЕ ) аргументов {х,.....реализуются всевозможные отнопения эквивалентности по мере того, как переменные принимают предаетчао значения. Если переменные и х,- пришли одно обцее значение, то между ниш осуществилось "виртуальное равенство" х,- Ху; если разкре значения, -"виртуальное неравенство" X/ х,-. При любом наборе значений переменных множество {х.,... ,х„/ распадается ка классы эквивалентности, и можно рассматривать функции, действие которых определяется как выбор одного из классов в зависимости от того, какое отношение эквивалентности реализуется в данный момент. Это и есть ПЭС-функции. Простейзие ьетриьиалъше примеры ПсС-функци;} /когда функция не сводится к отдельно взятой перемэ.чной/ следующие:

{х (х&г) ■ ? у (х*г)

,х (■¡(.^¿■х.ФгЯтг&г) Схул Л / У ( X 2 V у 2 } ; 1ху •/ и'ЗЕ

^ ^ <х*--у1/у

Несмотря на простоту, функции этого класса обладают обширными конструктиЕ;!ымй возможностями, убедиться в чем позволят последующие главы.

Глава '<'■ начинается с распространения принципа ПЭС-функции на случай, ¡;огда никакого множества предметов, на которые бы ока яоздейстаовала, не задано вообще. "Область определения" функции замещается "абсолютной неопределенностью", для которой строится модечь в вида ПРОЦЕССА, состоящего из актов "расцепления" и "склеивания", в некотором /неопределенном/ субстрате. Поскольку б данном процессе не может быть однозначно установлена линейная последовательность отдельных актов, вводится гокцепция ВИРТУАЛЬНОГО ВРЕМЕНИ, допускакяцего в качество возможных самые различные структуры связи преемственных событий: разветвления, петли, возвраты назад. В качество интегральной связи между "событиями" в указанном процессе вводится представление об "экстенсионально свободной" функции /ЭС-функции/, для которой ПЗС-функция оказывается моделью, приемлемой для исследования практически всех ее математических свойств.

Х-функции характеризуется как первичные САМООПРЕДЕЛЕНИЙ! объекты, ко имеющие в себе информации о своем "месте" среди каких-либо других вепрей, т.е. не нуждающиеся в концепции "универсума" для установления ю: определенности. .В связи с отим формулируется общий принцип генезиса определенностей, называемый принципом ИНТЕРЙАРЙАНТА. Динамические связи, характеризуете абсолютную неопределенность как процесс в виртуальном времени, и все их комбинации называются ИНТЕРВАРИ-: АНТгШИ связями /иктервариантами/. Принцип интерварианта гласит, что.именно эти связи /и те, что строятся на их основе/ являются источником любой определенности в материальном мире и сознании.

Понятия ЭС-функции, ГОС-функции и пр." шип интерварианта составляют тот необходимый задел, на основе которого далее в глаье 2 обсуждаются проблемы оснований математики, оставшиеся поело открытия Парадоксов теории множеств и интуиционист-

око* критики Л.Ерауэра принципов классической логики, предлагается новая программа реконструкции оснований математики и пересмотр общего понимания природы логики с обновлением концепции Л0ГК!£13'М Г.Фреге и Б.Рассела.

В глазе 3 детально исследуются свойства ПЭС-Фукпций, пся-воляэдив осуществлять их преобразования и создавать • сяожине бункциокальже конструкции. Доказкчается функциональная полнота всего класса ПХ-функций относительно композиций одной ПЭС-функции с тремя аргументами /Вхуг/. Строится каноническое представление ПРС-функций в ■ "чормальной 1-форме".

Каноническое представление йЗС-функцик, характьризучцее ее внутреннее динамическое строение, гтозполяе? определять некоторые ЯНРЕВСШНАЛЬШЕ операции над "ЗС-фужцикми. При этом, особого внимания заслуживает операция "шйтролксаци»:" аргумента функции и определяете на ее оснсге "интеграторы", действие которых аг.алогипно квантор'".! в исчислении яредиха-тов. Важно отметить-, что зее операции талого рода являются дтя ПЭС-фуккц::й сугубо ФКНЙТЙЙШ и не требуют /как ото об:.";-но делается/ обращения к представлешям о бесконечных совокупностях.

Глаза 3 заканчивается рассмотрением иерархии классов ПОС-функций, аналогичной теории типов Е.Рассела. Иерархия основана на том, что "тождественное" равенство функций //"=6/ рассматривается как "виртуальное" ¡рсх/Ц яра пов;-гпекии типа функций. 3 тексте главы даются лишь осноанке по;.саеккя, а бол^е детальное рассмотрение композиций ПйС-функций смешанных типов, которое может представлять интерес в качестве задела для будущих исследований, шнесено з приложение I. Важным результатом здесь является теорема о распространении нормально? I—формы на композицию ПЯМ'уякцчГ. смешанных: типов.

Ваяно отметить, что в рамках иерархии типов происходит виход за пределы собственно ПСС-функций и го-фуккций и выявляется принципиальная возможность кокструкти-вного сведения функции вообще к функциям этого частного вида.

В главе 4 излагаются три варианта аксиоматической теории ПЗС-фуннций /без учета типов/. Доказывается равносильность этих аксиоьатиэяций и для одной из них /система В1/ - независимость аксио!» и непротиворечивость. Детали доказательств

вынесены в приложения II и .III. При исследовании аксиоматической теории на полноту выявляется ее неполнота, однако, строится система пспол!штанх постулатов и 1.^авил вывода. Доказывается, что аксиоматическая теория ПЗС-функций имеет формализуемую "ЗТАТк'СРШО, представленную в виде КОНСТРУКТИВНОГО /интуиционистского/ исчисления высказываний с некоторыми содержатель., ш /нелогическими/ аксиомами без кванторов. Особо важным оказывается факф, что дедуктивно эквивалентные формулы аксиоматической теории iTiC-функциЙ точно распределяются по классам эквивалентности алгебри Линденбаума-Тарско-го, построенной для формализованной метатеории.

3 глазе 5 рассматривается опыт погружения логики как определенной систеж операций в систему ПЗС-функций. Сама необходимость написания этой главы обусловлена результатами предыдущей. Если е главе 4 логические операции являются ме-татсоретическк„м, va здесь даются их корреляты в виде П.'С- функций /объектов самой теории/.

Логика реконструируется как специальная система П2С-функ-цчй, содержащая две так называемые глобальные переменные & и Т , интерпретируемые соответственно как понятия "ничто" и "ситуация" /наличное состояние дел/. Статус "глобальных" определяется тем, что, являясь аргументами каких-либо функций, эти переменные не допускают- подстановки вместо себя других переменных или функций. Систему образуют IlSC-функции вида F-вух,...хл такие, что при каждом наборе гначений ар-

гументов в,у,х, ,...,хл функция принимает только значения переменных G или у. Такая ПЗС-функция называется КОКЦЕПТОИ-P0U /и действительно обладает существенными свойствами понятия/, а переменная у называется СОБСТВЕННОЙ переменной кон-цептсида /ср. со "специфицированной" переменной Е.К.Войшвил-ло/. Если собственной является глобальная переменная. V, то кокцептоид' называется г'-концептоидом и выполняет в системе роль "суждения" /предиката/. Концептеид F называется ПРШО-ЗЖДОНАЛЬНО УСТАНОВИМЫМ /Р-установимнм/ч если имеет место тождественное равенство f^f. Если Гф в , то концептоид Г называется КОНЦЕПТУАЛЬНО УСТАНОБИШ /С-установишь/. .

Самостоятельный'интерес.•представляет■результат, полученный попутно в ходе обыгрывания различных способов введения

логических операций над концептсядамк. Сказывается, что совмещение дзух рядои операций, каждый из которых з отдельности не выводит за замки классической логики, образует ПАРАККТРО-ТИВ0РЕЧИ373Э ЛОГИКУ.

Класс кегадептоидоз образует булеву алгебру относительно логических операций /специальных ГПС-фуккци':/ и отнозента логического следования. Ввздэгаем дополнительной интенсиональной операции ста алгебра преобразуется в ТОПОЛОГуГШС'.СТ булеву алгебру, средствами которой i/оделируютск модальное исчисление ¿>'4 Льшса и конструктивная логика.

Ваэснда результатом описываемых построений является возможность финитного определения кванторов /а рамках булевой алгебры т-онцептсидов/, а также особой их разновидности, служащей для построения модальных операторов. Основой для этих особых кванторов являются так называемые ВНУТРЕННИЕ интеграторы - операции над ГРС-Футапямл, сэойстьа которнх исследуются в приложении IV.

Глава 5 заканчивается обсуждением возможностей обобщения изложенного подхода к логике и его применения. в "лоп;ке графических рассуждегий".

В ЗАКЛЮЧЕНИИ ггодводятся общие итоги проведенных исследований, формулируются выводы и оцениваются перспективы дальнейшего развития предложенных концепций.

Основные полок;кия диссертации и смежные те ¡.¡и отражены в содержании следующих работ.

1. Балобанов З.С. Струкгурообразующая функция иезяяния и принципы ее исследовашш. //тезисы докл. созещанил "Методология случайности, случайного поиска и логики".-, Кемерово, 1980, с. 13-19.

2. Балобанов B.C. Функциональная модель логики понятий. -Рукопись деп. в ВИМИ з I3S9 г., РДС7992, 27 а.

3. Балобанов B.C. К вопросу о механизмах психичгского отражения /кибернетический аспект/. - Рукопись деп. я ВГИИ в 1983 г., ВД07993, 22 с.

4. Балобанов В.С, Операции над неопределенностью и рациональность. //Логика и проблемы рациональности, Киев, "Нау-кова думка", /Я печати/.

Подписано к печати 12..09.91 Заказ 311 Ти^р. 100 Объем 1п.л . Бесплатно.ПМЛ ИГ 19903^, С. Петербург.наб.Макарова.б