автореферат диссертации по истории, специальность ВАК РФ 07.00.10
диссертация на тему: Математические фрагменты из трактата "Чжоу Би Суань Цзин" и комментария к нему Чжао Цзюньцина

Полный текст автореферата диссертации по теме "Математические фрагменты из трактата "Чжоу Би Суань Цзин" и комментария к нему Чжао Цзюньцина"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И ТЕХНИКИ

РГ5 ОД

1 Ь МаЙ 1095 На правах рукописи

Яо Фан

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФРАГМЕНТЫ ИЗ ТРАКТАТА "ЧЖОУ БИ СУАНЬ ЦЗИН" И КОММЕНТАРИЯ К НЕМУ ЧКАО ЦЗЮНЬЦИНА

. 07.00.10 История наук и техники

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кадидата физико-математических наук

Москва - 1995

ЛоГ1

Работа выполнена в кабинете истории и методологии математики и механики механико-математического факультета Московского государственнго университета им. М.В.Ломоносова.

Научные руководители - доктор физико-математических

наук, профессор БАШМАКОВА И.Г. кандидат физико-математических наук БЕРЕЗКИНА Э.И.

Официальные оппоненты: доктор исторических наук,

кандидат физико-математических наук РОЖАНСКАЯ М.М. кандидат физико-математических наук, доцент ОЛЕХНИК С.Н.

Ведущая организация- Факультет информатики Российскогс

государственного гуманнитарного университета.

Защита состоится "^j" ш-ьуц^ЛЭЭб Г- в 15 часов на заседании диссертационного совета К 003.11.04 при Институте исторш естествознания и техники Российской академии наук по адресу: I030I2,Москва, K-I2, Старопансккй пер., д. 1/5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Институт; истории естествознания и техники РАН.

Автореферат разослан MAi\ 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

МАР1ШЧЕВ Б.М.

Актуальность теш. В странах Востока в последнее время Еозрос интерес к изучению древней науки к техники. В Китае, Кндцш и в средней Азии проводятся многочисленные исследования памятников материальной культуры и искусства древности: издаются неизвестные ранее древние литературные сочинения; философские, религиозные, научные трактаты и комментарии к ним. Вместе с этим повысился интерес к проблемам древней математики. В ряде статей А. Ззйденберга (Seidenberg А.опубликованных в «Archive for History оХ Exact Sciences»), Б.Л.Ван дер Вердена (B.L.Van der Waerden], А.П.Юшкевича, М.Г.БашмакоЕой и других историков науки были исследованы проблемы происхождения математики.

Ка основе сравнительного изучения ранних математических текстов разных культур (Взвитое, Индия, Греция, Китай) была высказана гипотеза о существовании одного источника происхахдекия некоторых важных математических идей. Сред:-: этих идей находятся задачи, связанные с теоремой Пифагора, пифагорейскими тройкам чисел, квадратными уравненями, системами уравнений второго порядка. Набор этих математических задач играл важную роль на самых ранних этапах развития вавилонской, индийской, греческой и китайской математики.

В работах автороз, исследующих развитие математики в древности (Греция, Индия и Китай) и в средние векв, отмечен повышенный интерес ученых этого периода к философии и астрономии. Математика развивалась зо взоимосвязи с философской мяровозрен-ческой системой, а далее астрономическими проблема»,®.

Заметим, что математика древнего и средневекового Китая, ее связи с другими цивилизациями в исторпкс-математпческсй литера-

туре изучеш недостаточно. Гак, А. Б. ЕЕкевич в статье "Исследования по истории математики в древнем Китае" отметил: "одним из весьма актуальных является вопрос о связях между математикой: древнего Китая и других народов. Для его решения математических текстов недостаточно; здесь необходимо привлечение данных общей истории, и т. д. В этом направлении сделано пока немного. Особенно труден вопрос об истоках древнекитайской математики." В заключении этой статьи он также пишет: "Дальнейших успехов в изучении китайской математики следует оквдагь от более углубленного изучения первоисточников и привлечения раннее не исследованных текстов. Сколь важными могут оказаться полученные результаты, показывают хотя бы недавние работы Вагнера1, его'статьи пролили новей свет на развитие в древнем Китае инфинитезимальных методов. Перевод на европейские языки старинных трактатов и их фрагментов является при этом обязательным условием привлечения к исследованиям более широкого круга историков математики."2.

Одним из самих ваших первоисточников, сохранившихся до наших дней с давних времен (1в. до н.э.) и поэтому представляющих исключительный научный интерес, является древнекитайский трактат по математике и астрономии «Чз:оу би суань цзин» (ф^^рй. На

1 Д.В.Вагкер-содрудник Скандинавского института азиатских исследований в Копенгагене.

2Цитата из «Вопросы истории естествознания и техники», 1932 г ИЗ, с.134.

русском языке название этого трактата имеет некоторое варианты: "Математический трактат о Чжоу Си", "Математический трактат о гномоне", (Э.И.Березкина), "Счетный канон о чкоуском гномоне" (Л.И.Кобзев); "Чжоу-Си". Первое название достаточно часто можно встречать в историко-математических исследованиях и других. Первоначальным названием трактата было просто "Чжоу-би".

В трактате «Чжоу би суань цзин^> два цзюаня (свитка): верхний и нижний. Текст в первом свитке написан в виде диалогов, которых в свитке два. Первый ведется между Чкоу Гуном , братом первого чжоуского императора, вполне историческим лицом, и неким знатным сановником Шан Гао, «весьма искусным в счете». Второй диалог

О

происходит между Чэнь Цзы и его учеником Жун Фаном. Что касается второго, то он посвящен вопросам астрономии. В нем описан иньский календарь, изложена космологическая теория "гай-тянь" (буквально «небо-покрывало»).

В самом тексте в диалоге Чэнь Цзы с Жун Фаном дается объяснение термина "Чжоу би": "Кун Фан спрашивает, что такое •Чжоу-би'? Чэнь Цзы отвечает, что в древности царь построил [город] Чжоу, это число [8 чи т.е. длина шеста] происходит из [династии] Чжоу, поэтому назвали этот шест! «Чжоу-би». Би - это шест." Иероглиф «Чжоу» (Щ) обозначает столицу династии Чжоу (XI в.-256 г. до н.э.). Ныне это город Лоян провинции Хэнань. Иероглиф «би» означал шест для измерения солнечной тени. Позже такой шест обозначался иероглифом "бяо" (), например в комментарии Чжао Цзюньщгна к «Чжоу би суань цзин» (Шв.) и в тексте Лю Хуэя. Таким образом, Чкоу - би есть шест, которым вели измерение в эпоху династии Чжоу. Во время династии Тан (618-Э07гг.) математика была выделена как самостоятельный предаем. Это было официально зафиксировано в Гоцзицине (аналог

б

современных университетов). Ученые династии Тан посчитали трактат "Чжоу би" одним из самых ценных в математическом наследии и включили его в знаменитое "Десятикнижье" под названием "Чжоу би суань цзин".

Из-за трудности текста никто не смог его польностью к исследовать. Частичный перевод на европейские языки был осуществлен: на француский Biot в 1841 г., на итальянский Vaoca 1905 г.^1980 г. был сделан перевод на японский язык, однако этот перевод без комментария.

Относительно времени создания трактата (оригинала) существуют несколько точек зрения. Бао Ханьцзи (другое имя Бао Цзунь-чжин), живший во время династии южной сун (II27-I279 гг.), перепечатал в 1213г. "Десятикнижье". В предисловии он говорит, что в тексте ведется диалог мегчду Чжоу Гуном и Шан Гао. Чжоу Гун и Шан Гао кили в начале династии Чжоу (Х1в. дон.э.), поэтому трактат составлен в это время. Это обоснование легко опровергнуть, так как в начале текста пишете "Некогда Чжоу Гун спрашивает ...". Очевидно, когда начинали писать этот трактат, Чжоу Гун уже был историческим лицом. Английский историк наукк Дк.Нидем (автор "Science and civilisationin China) полагает, ЧТС этот трактат появился за 200 лет до оформления "Математики i девяти книгах", которая была составлена не позднее первого век; нашей эры. Поскольку в трактате «Чжоу-би» встречаются исторические утверждения сходные с трактатом «Хуай нань цзы» а этот трактат был написан при династии западная Хан (206 г. д н.э. - 23 г. н.э:), то считается, что «Чжоу-Ои» был написа около конца второго столетия до н.э. Книга «Чжоу-би» н упоминается в главе о науках и исскуствах «Истории Хан» (Хань И ), но о ней сообщают Ян Шун (tfr ) и Цай Юн ft ), кс

торые жили в династии Хань. Таким образом, трактат, вероятна, оформился окончательно между 100 годом до н.э. и 100 годом н.э. (конец ранная Хань - начало поздняя Хань). Однако по мнению исследоватей большая часть трактата била составлена задолго до того, как трактат был написан. Эта точка зрения принадлежит китайским историкам математики Ли Янь и Ду Шижан. А дрг^ой историк математики Цянь Баоцун (1892-1974гг.) утвердал, что в древнем Китае как правило трактаты составлялись нескольками авторами, один автор начинал его, а другие заканчивал?. Если рассмотреть содеркание этого трактата, то некоторые сведения о календаре и астрономических данных совпадают с данными из других книг, которые были составлены около 100 лет до нашей эры . Поэтому, вероятно, что трактат "Чжоу би суань цзин" тоже был закончен в это время.

Итак, вероятнее всего, что трактат "Чжоу би", в таком виде, как он должен до нас был записан в I в. до н. э. Однако, содеркание его во многом относится к более раннему времени.

Первым комментатором "Чжоу би суань цзин1' был китайский математик III века Чжао Цзюньцин, творчество которого до мстояшего времени не изучено в полной мере в историко-«атематической литературе. Чжао Цзюньцин написал весьма, ценный сомментэрий к трактату, без которого трудно разобраться в многих ¡го фрагментах, встречающихся в "Чжоу би суань цзин", оценить их «ачение. Он пояснил места, которые в трактате оставались вясными, развил и обобщил некоторые его правила. Биография и ремя жизни Чжао Цзюньщша неизвестны. Ли Чжи, (жил в династии ун 960-1279 гг.), комментировавший по иероглифам "Чжоу би суань зин", заметил, что в тексте комментария Чжао Цзюньцина дважды спользован календар»ь "Чан-с.ян", а этот календарь был обнародо-

ван во время трехцарствия У {222-280 гг.). Поэтому Чжао Цзюньцин по его мнению жил во время династии У. Чжао Цзюньцин также добавил геометрические чертежи "Жи-го" и "Чи-хэн", чертеж для катетов, круга и квадрата, но сами чертежи были утеряны. Позже их восстановил комментатор то тексту. В тексте рассмотрены разные случаи применения теоремы Пифагора .

Другой комментатор трактата Чжэнь Луань жил во время династии северная Чжоу (557-581 гг.). Календарь, усовершенствований им, был обнародован в 566 г.. Чжэнъ Луанъ подробно пояснил некоторые вычисления текста. Но сам текст без вычисления он не комментировал.

Еще один из комментаторов Ли Чуньфзн жил во время династи Тан (618-907 гг.). Он обнаружил некоторые ошибки в комментарк Чжао Цзюньщша и Чжэнъ Луана, и исправил их.

Научный интерес, который представляет изучение трактата "Чжоу би суань цзин" и исследовании Чкао Цзюньцин, обусловлен тем, что дает возможность проследить первые шаги, а затем далнейяюе развитие математических идей в Китае вплоть до И века. Сопоставление математики Китая с математическими труда!, античной Греции, древней Индии дает несомненно важный матери; дли установления закономерностей ее развития. ПоэЖЬму хронолог) ческие рамки данного исследования ограничены историческ периодом с древнейших времен до III века нашей эры вклкиительн Многочисленные исследования по развитию математических знаний этот период содержатся в трудах китайских, русских, японских других зарубежных авторов. При этом авторы высказывают различи точки зрения относительно развития математики в древнем Китг Только полнйй перевод всего трактата "Чжоу би" и коммендария нему поможет разобраться во всех возникающих вопросах. В данз

работе ограниченно рассмотрение верхнего свиг*ка трактата "Чжоу би суань цзин" и к этому свитку комментарий Чжао. Таким образом, эта тема еще далеко не полностью исчерпана. Все вышевысказан-ное обуславляет актуальность теш диссертации.

Цель работы. I. Изучение древнекитайского трактата по математике и астрономи «Чжоу би суань цзин» (I в. до н.э.) и к этому трактату комментария Чжао Цзюньцина (III в.)

2.Перевод математических фрагментов с древнекитайского на русский язык «Чжоу би сунь цзин» и комментария Чжао Цэюньцина к этцмЗ фрагментам, именно первой, второй и куска третьей части верхнего свитка трактата и к ним комментария Чжао Цзюньцина.

3.Реконструкция математических методов, црименяющихся ■ в трактате и его комментарии Чжао.

4.Исследование вопроса о применении в трактате геометрической алгебры.

Метода исследования, используемые в диссертации, включает в себя:

-историко-научный анализ некоторых редакций древнекитайского трактата "Чжоу би суань цзин" и их сопоставление. -сравнение с математикой античной Греции и древней Индии древнего Вавилона.

-историко-методологический анализ развития и обобщения методов, примененных в "Чжоу би суань цзин" и комментарий к нему Чрло Цзюньцина.

Научная новизна работы. Впервые переведены на русский язык математические фрагменты трактата "Чжоу би суань цзин" и математических исследований Чжао Цзюньцина, изложенных в качестве комментария к этому трактату. Также впервые в историко-математической литературе подробно исследованы математические фрагменты трактата "Чкоу би суань цзин" и сочинение его первого

комментатора Чжао Цзюньщша. В диссертации исследуется также творчество древних китайских математиков Чжао Цзюньцина и Лю Хуэя (III в.) и сопоставляются их методы решения проблемы об определениях расстояний до недоступных предмедов (метод "Чун-ца"). Все основные результаты работы являются новыми и получены автором на основе изучения оригинальных сочинений, а также многочисленной литературы, касающейся темы исследования.

Апробация результатов исследования: Материалы диссертации докладывались на:

-научно-исследовательском семинаре по истории и медотологии математики и механики механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломолосова (1994 г.);

-XXXV, XXXVI научных конференциях аспирантов и молодых сиециалтстов по истории естествознания и техники в Институте истории естествознания и техники АН РФ (1993, 1995 гг.); -на спецсеминаре по проблемам истории и методологии математики ж механики механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.(1994 г.). -на семинаре по китайской истории и культуре Института Азии и Африки. (1994 г.)

Практическая реализация: Исследования и выводы, содержавшиеся ^диссертации, могут быть использованы: -для дальнейших исследований в области истории математики в странах Востока в древности.

-при разработке учебных пособий и курсов по истории и методологии математики.

Объем и структура диссертации: Работа состоит из введения, трех глав, разделенных на 9 параграфов, заключения, изложенных

на 145 страницах машинаписного текста,*а также списка литературы из наименования. К диссертации приложен перевод математические фрагменты трактата "Чжоу би суань цзин"

Содержание работы: Во введении обосновывается актуальность теш исследования, дается краткий обзор относящейся к ней литературы и обзор содержания диссертащш с делением на . главы..

Первая глава посвящена пифагорейским тройкам и теореме Пифагора. Она делится на три параграфа.

В первом параграфе рассмвтрены пифагорейские тройки в древнем Китае. В нем рассказывается история пифагорейских троек и формул для них в древнем мире: В Индии, Греции, Вавилоне и Китае. Приведено пояснение комментатора Чкао к тройке (3,4,5), имевшее наибольший интерес, отмечены выявленные в ранней математике (у пифагорейцев и китайцев) связи между пифагорейскими тройками и основными фигурами (квадрат, круг и треугольник). Освещается также философский смысля тройки (3,4,5), принятый в ранней китайской традиции.

Второй параграф касается времени происхождения теоремы Пифагора ее первого доказательства в Китае. В нем приводятся осщяя формулировка теоремы Пифагора из трактата "Чжоу би суань цзин", точное письменное изложение доказательства теоремы Пифагора из комментария Чжао?:- а также сравнения ^такими же доказательствами в Индии, и арабском мире. На основе анализа дол индийских и китайских вариантов формулирован теоремы Пифагора делается вывод, что хотя теорема Пифагора почти одновременно появилась в Индии и Китае, а также и в античной Греции, и мокно считать, что открытие этой теоремы независимо друг от друга.

Третьй параграф посвящен тесной связи математики и философии

в трактате "Чжоу би суань цзин". Показано, что в VIII-V вв.д Н.э. в китайской философии главными принципами считается учени о противаполохных и взаимосявязанных силах "Инь и Ян", действи которых рассматривалось как причина движения и изменчивости природе. Представления об Инь и Ян нашли также разнообразно применение б разработке теоретических основ китайской астроно Mim, математики, медицине, химии, музыки и т.д. В "Чжоу би суан цзин" мы встречается с применениями "Инь и Ян" в математике.

Вторая глава освешает математические исследования коммента тора Чжао Цзюкьцина к "Чжоу би суань цзин".

в первом параграфе дано пояснение математической терми нологий, употребляемой в "Чжоу би суань цзин" и в комментари Чжао Цзюньцин. Древнекитайские математические термины -эт богатая облость исследование по истории китайской математики Объяснены самые важные термины, применяющееся в "Чжоу би суан цзин" и в тексте Чжао, а также в тексте Лю Хуэя, который жи тоже в III веке.

Особое место в этой же главе занимает второй параграф, по

священный квадратным уравнениям у Чжао Цзныщна. В ком рассма

рены все его квадратные уравнения: г г , с -Р

1. х +рх=-, где - с гиподенуза прямоугольного треуголь

г

ника, р - разность катетов;

2. хг+2ах=Ъг(или хг+2Ьх=аг);

3. система

ху=аг

х+у=2с*

Отмечено, что решение первого уравнения проводится путе геометрических преобразований. Для второго уравнения, решеш которого не дано, сделана реконструкция решения. Система (с встречается в таком я:е виде и у древних вавилонян, и у Диофантг

Показано, что все решения основаны на нахождении разности неизвестных, после чего применяются различные алгебраические тождества: (х+у)г-4ху=(х-у)2 у Чжао, а х2-^=(х-у) (х+у) у Диофанта. Отмечается, что этот важной факт не был учктен М.Я.Выгодским при данной им реконструкции метода вавилонян.

В третьем параграфе рассматрена геометрическая алгебра з математических исследованиях Чжао Цзкньцкна. К ним относится реконструкии геометрических предложений, интерпретирующих некоторые алгебраические тождества. Отмечается многочисленые анологий с экологичными предложениями в Древней Греции и Индии и делается еывод, что такое количество совпадений (в древней Индии , античной Грециии и Китае) не может быть случайным. По видимому, все доказательства в древнем мире (Вавилоне, Китае и Индии) имели геометрически! характер. С нашей точки зрения это объясняется тем, что буквенные символики в то время не было, а геометрия была единственным способом проставления произвольных величин и зависимостей между ними.

В третьей глава диссертации рассматриваются учения о подобии и числовых последовательностях в "Чжоу би суань цзкн", в также древнекитайский математический метод "Чун-ца".

Параграф первой посвящен методу "Чун-ца". В кем дана реконструкция решения задачи у чжао Цзюньцина для определения высоты Солнца (по чертежу "Яй-го" см. рис.1) при помоши двух шестов.

В работе предлагается реконструкция метода "Чун-ца" у Чжао. Она основывается на установлении равенств некоторых прямоугольников. Такая ке задача, т.е. определить расстояния до недоступных предметов и их размеров, была изучена другим известным математиком Л» Хуэй в его трактате "Математический трактат о етрском острове", он также назвал рэсение таких задач методом

К М

С

_В

г s g н рис Л.

"Чук-ца". До сих пор полагали, что метод "Чун-ца" у Лю Хуэя основан на подобии произвольных треугольников. Мы показали, чт-с задачу Лю Хуэй мог решить при помогщ той г-:е конструкта:, что i Чжао. При stojj он применял учение о подобии только лряту-оугольнз^; треугольников. Паша реконструкция базируется на анал-ise оригинального текста Лю Хуэя.

В параграфе второй приведены имеющиеся в "Чжоу си суань цзин применения подобия прямоугольных треугольников. Изучая учение ■ подобии еце б текстах Лв Хуэя (III в.), делается вывод, что д IV века в китайской математике применяется только подоби прямоугольных треугольников, причем в "Чжоу Си суень цзик рассматривается случай, когда эти два подобные треугольник имеют общий угол, и кх основание лежит на одной прямой.

В третьем параграфе рассматривается чертеж "Чи-xsh". которь состоит из семи концентрических кругов с центром - северны,! пс лисом и шестью равны},® промежутками. Отмечено, что диаме^ты длины округлостей этих крутоЕ образуются две арифкзтическз ярогрески:

I) Dn=2ü+2n-i, где ^=2,3,4,5,6,7 с зъ - диаметры кругов).

2) Вп=2тС(1+Вг1-1, где п-2,3,4,5,6,7 (Вп - длины окружностей).

В заключении, завершающем диссертацию, подытожены результаты проведенного в ней исследования.

Приложение делится на две части.

В первой изложен перевод первой, второй части верхнего свитка трактата "Чжоу бк суань цзга" и комментария Чжао Цзюныцша с древнекитайского на русский язык.

Во второй части приведены примечания к переводу.

Основные результаты диссертации.

1. На основе исследования оригинального текста трактата «Чжоу би суань цзин» и комментария математических фрагментов этого трактата Чжао Цзшыоша сделан перевод с древнекитайского на русский язык.

2. На основе исследования комментария Чжао показано, что древнекитайский математический метод "Чун-ца" основан на применении двух шестов и установлении равенств некоторых прямоголь-ников.

3. Показано, что с помощью этого же методом "Чун-ца" можно дать реконструкцию способа Лю Хуэя, применяемого им в "Математическом трактате о морском острове". Таким образом, показано, что Лю Хуэй мог получить все свои результаты, не рассматривая подобие произвольных треугольников.

4. Рассмотрены сходства и различие в решениях системы

Гху=а

уравнения|х+у=ъ У Диофанта, Чжао Цзюньцина и Вавилонян. Показано, чтсгво всех этих методах необходимом этопом было определение разности х-у, а затем применение тех или других алгебраических тождеств.

5. Из проведенного г.сторжо-математического анализа матема-

ткческих исследований комментартора Чкао Цзюньцина и сравнения их с древнегреческими и индийскими математическими трудами (в том числе и "Шульба-сутра") сделан вывод, что в своем развитии математика проходит такой этап, как геометрическая алгебра, правда, в различных регионах это происходит на разных уравных. В китайской математике геометрическая алгебра появляется независимо от проблемы несоизмеримости.

Основные результаты опубликованы в следующих работах автора:

1. Яо Фан, "Чжоу би суань цзин" и к нему комментарий Чжзо Цзюньцина // Вопросы истории естествознания и техники, 1995 г. №2.

2. Яо Фан, Математик Чжао Цзюньцин. М.: ВИНИТИ, II, 04, 1995 г. Js Э83-В95 Деп., 23 с.

3. Яо Фан, Теорема Пифагора в древнем Китае. М.: ВИНИТИ, II, 04, 1995 г. .№ 982-В95 Деп., 10 с.