автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.07
диссертация на тему: Обобщенная релевантная логика и модели рассуждений

Полный текст автореферата диссертации по теме "Обобщенная релевантная логика и модели рассуждений"

На правах рукописи

Зайцев Дмитрий Владимирович

Обобщенная релевантная логика и модели рассуждений

09.00.07 -логика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора философских наук

2 9 \р 2612

Москва-2012

005013054

Работа выполнена на кафедре логики философского факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Официальные оппоненты: Доктор философских наук, профессор

Гриненко Галина Валентиновна

Доктор философских наук, профессор Карпенко Александр Степанович

Доктор философских наук, профессор Меськов Валерий Сергеевич

Ведущая организация: Кафедра логики философского

факультета Санкт-Петербургского Государственного университета

Защита состоится «19» апреля 2012 г. в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.48 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, г. Москва, Ломоносовский проспект, д.27, корпус 4, философский факультет, ауд. А-518.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале отдела Научной библиотеки МГУ имени М.В. Ломоносова в учебном корпусе № 1 по адресу: Москва, Ломоносовский проспект, д. 27, корпус 4, сектор "Б", 3 этаж, комната 300. -

Автореферат разослан « -> »_

И.о ученого секретаря диссертационного совета Д 501.001.48 доктор философских наук, профессор

АШ/

Маркин В.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Сто лет назад, в 1908 году, увидела свет статья Лейтзена Эгберта Яна Брауэра «О недостоверности логических принципов», в которой молодой голландский ученый, совсем недавно защитивший докторскую диссертацию, представил широкой научной общественности свою критику оснований классической математики, послужившую основой интуиционизма — нового направлошя в философии математики.

С этого момента ведет свое начало неклассическая логика — широкий спектр исследований в современной логике, связанных с отказом от принципов, лежащих в основе классической логики. Этот же момент стал, как выяснилось значительно позже, поворотным пунктом в развитии философской логики. С начала XX века философы-логики стали активно использовать строгий математический аппарат символической логики для постановки и решения философских проблем.

В последующие годы не классическая логика бурно развивалась. Возникали новые сферы применения и новые направления — нечеткая логика, немонотонная логика, динамическая логика, логика квантовой механики и т.п. Все более и более усложнялся формальный аппарат логики, постепенно менялась и проблематика исследований, зачастую теряя прямую и непосредственную связь с философией. Так, модальная логика, ведущая свою историю еще от аристотелевской модальной силлогистики и изначальная представлявшая собой классический образец чисто философской логики, в конце XX века приобретает новые черты благодаря расширяющимся применениям в сфере computer science. В середине 70-х годов появился даже специальный термин «продвинутая модальная логика» (advanced modal logic) для обозначения современных исследований в сфере модальной логики, тесно связанных с развитием математики и компьютерных наук, в первую очередь направленных на проблемы разрешимости и сложности. Другой подобный пример той же тенденции дает многозначная логика, эволюционировавшая от моделирования аристотелевского опровержения логического фатализма в сторону изучения алгебраических структур, связанных с различными многозначными логиками, моделирования экспертных систем и формализации нечеткой (fuzzy) теории множеств.

3

Важно отметить, что процесс диверсификации бренда «философская логика» сопровождался отвлечением от чисто философских проблем, которые, вызвав неклассическую логику к жизни, оказались в определенном смысле внешними по отношению к ней (поскольку были в большинстве своем поставлены в рамках более широкого философского дискурса).

Сегодня логика переживает новый этап развития, когда на смену экстенсивному развитию логики «вширь», характерному для начала прошлого века, приходит тенденция, направленная на преодоление «логического плюрализма», на развитие так называемых мета-логических исследований, позволяющих установить взаимоотношения между различными логическими теориями. Если, скажем, середина и вторая половина прошлого века - это время, когда новые логические теории, все возможные и невозможные разновидности и ответвления неклассической логики возникали чуть ли не каждый день, то в конце XX - начале XXI века картина меняется - постепешю исследовательский интерес склоняется к обобщению и классификации полученного множества «логик», к попыткам установления связей и отношений между разными логическими теориями, иногда даже сформулированным в разных языках.

Представляется, что кроме совершенно очевидного и ясного желания навести, наконец, «логический порядок», за этой тенденцией усматривается и более серьезное стремление найти ответ на вопрос, что же представляет собой сегодня философская логика, каков ее предмет, какое место она занимает в ряду так называемых наук о мышлении. В ходе таких исследований зачастую не только обобщаются и классифицируются ранее построенные логики - происходит своеобразный синтез, приводящий к появлению принципиально новых обобщенных логических теорий с нетривиальными свойствами, открываются новые перспективы. При этом старые, хорошо известные и стандартно определяемые логические понятия проявляются в новом свете, открывают себя с неожиданной точки зрения, которая была просто невозможна в рамках традиционного подхода.

Важно отметить ту роль, которую в этой новой парадигме исследований играет релевантная логика вообще и четырехзначная семантическая логика Данна-Белнапа

4

для нервоуровневого фрагмента релевантной логики в частности. Оказалось, что изящный формализм, первоначально предложенный для описания рассуждений абстрактного компьютера в условиях неполной и противоречивой информации, послужил методологической основой для целого комплекса исследований в современной философской логике и моделировании аргументативных рассуждений. Это произошло по целому ряду причин. Во-первых, релевантная логика представляет собой совокупность исчислений, свободных от парадоксов импликации и следования и в силу этого наиболее адекватно формализующих так называемые естественные рассуждения. Во-вторых, в ряду этих исчислений система первоуровневого релевантного следования отличается относительной простотой формальных построений и разрешимостью. В-третьих, разработанная М.Дашюм и Н. Белнапом алгебро-семантическая система объединила в себе сразу два отношения порядка -логический и информационный, что существешю расширило возможности применения этого семантического каркаса, послужив основой для построения так называемых би-решеточных логик. В-четвертых, способ порождения значений неклассической логики как элементов множества-степенн некоторого исходного базового множества значений, использованный М.Дашюм и Н.Белнаном, положил начало новому подходу к обобщенным системам значения.

Одной из перспективных сфер приложения обобщенной релевантной логики представляется моделирование аргументативных рассуждений. Несмотря на отмеченное родство с логикой, судьба теории аргументации складывается принципиально по-другому. С одной стороны, хорошо известно, что исследования в области анализа аргументативной деятельности стимулировали возникновение логики. С другой — за прошедшие века логика успела сформироваться как вполне строгая наука, а теория аргументации, не уступающая логике количеством работ и персоналий, так и не превратилась в единую, общепризнанную научную дисциплину. С середины прошлого века теория аргументации переживает вторую молодость. Одной из причин активизации исследований в этой сфере является изменение в политическом устройстве послевоенного мира и потребности в новых стандартах полемической коммуникации. Другая причина повышенного интереса к

5

аргументативному дискурсу связана с развитием искусственного интеллекта, логического программирования и computer science.

Обращение философов-логиков к моделированию аргументативных рассуждений имеет еще один важный бонус. В споре о том, изучает современная (философская) логика рассуждения или нет, оказывается возможным развитие третьей конструктивной линии, предлагающей совреме1гным исследователям просто снять этот непростой вопрос, обратив внимание на естественные рассуждения в полемике как одну из сфер приложения символической логики.

Именно такие пограничные исследования, направленные на обобщение, универсализацию, и через это - на открытие нового и поиск ответов на вечные философские вопросы, и определяют ближайшую перспективу логической семантики и, тем самым, делают актуальным данное исследование.

Объектом исследования являются естественные (аргуменгативньте) рассуждения, используемые в широких полемических контекстах.

Предметом исследования является представление этих рассуждений средствами обобщенной релевантной логики и ее расширений и модификаций. Степень разработанности проблемы.

Релевантная логика, представляющая собой одно из направлений современной неклассичесюй логики, окончательно сформировавшееся во второй половине 20-го века, возникла как вариант решения проблемы формализации логического следования и условной связи, то есть изначально была связана с задачей моделирования естественных рассуждений. Основы релевантной логики были заложены в работах В. Аккремана1, А. Андерсона2 и Н. Белнапа3. Дальнейшее развитие релевантной логики связано с вкладом Дж.М. Данна4, Р. Роутли5 и Р. Мейера6. В конце прошлого века были

1 Ackernian, W. Bergundung einer strengen Imputation, The jotinal of symbolic logic, 1956. vol il, pp. 113-28.

2 Anderson, A.R. "Some Nasty Problems in the Formal Logic of Ethics" Nous 1967. Vol. 1, pp 354-360

3 Anderson, AR. and N. Bclnap, 'A modification of Ackermamt's "rigorous implication'", (abstract). Journal of Symbolic Logic, 1958, Vol.23, pp ■157-158.

4 Dunn, J. M.tTbe algebra of incensional logics, Doctoral Dissertation, University of Pittsburgh, Ann Arbor, 1966 (University Microfilms). Dunn. J.M ■. Anintuiti\i semantics for filsl degree relevant implications (abstract). The Journal of Symbolic Logic, vol 3d. pp. 362-363

Dunn. J. M.; Intuitive semantics for first-degree entailment and 'coupled trees', Philosophical Studies 29 (1976). Dunn J. M-, Partiality and its Dual. Studia Logica i.5 5-14, 2000.

опубликованы фундаментальные исследования по релевантной логике, подготовленные целыми авторскими коллективами7. В нашей стране релевантная логика развивалась в работах Е.К. Войшвилло8, Е.А. Сидоренко9, В.Л. Смирнова10, П.И. Быстрова11, B.JI. Вамокова12, В.М. Попова13, В.И. Шалака14, также нельзя не упомянуть принципиально важные для развития релевантной логики статьи НМ. Емолаевой и А. А. Мучник15.

Подход к обобщению релевантной логики, основанный на операции взятия множества-степени от исходного множества значений и последующего обобщения функции приписывания значений, восходит к уже упомянутым работам Дж.М. Данна и Н. Бел нала. На современном этапе это направление развивается в работах Я.

5 Richard Routley and Valerie Rowley. Semantics of frstdegrce entailment Nous. 3:335-359. 1972. Routley R. The American plan completed: alternative classical-style semantics, without stars, for relevant and paraconsi stent logics// Stud ¡a logic a. vol. 43. pp. 131-158. 1984.

6 Meyer, R.K. New anomalies for relevant logics - I. Journal of philosophical logic, 1974, \o1.3, pp.53-Jj6. Richard Routley and Robert K. Meyer. Semantics of entailment. In Hugues Lcbhnc, editor, Truth Syntax and Modality, pages 194-243. North Holland, 1973. Proceedings of the Temple University Conference on Alternative Semantics.

7 Routley R. Exploring Meinong's Jungle and Beyond. Philosophy Department. RSSS, Australian National University, i 980, interim Edition. Departmental Monograph number 3. Routley R., Л with Pliurmood, V.. Meyer, R.K. and Brady.R. Relevant logics and their rivals. Part I. The basic philosophical and semantical theory. Atascadero. California. 1982. Anderson, AR.. Bebap, N.D.. Jr. Entailment The logic of relevance and necessity, vol J. Princeton. 1975 Anderson. AR., Bc'nap, N.D., Jr.. and Dunn. J.M. Entailment. The logic of relevance and necessity, vol.2. Prirceton, 1992.

8 Войшвилло Е.К. Семантика релевантной логики и вопрос о природе логических законов II Разчм и культура. Труды международного франко-советского коллоквиума. М, 19S3. Войшвилло Е.К. Логическое следование и семантика обобщенных описа1шй состояний // Модальные и интенсиональные логики и ич применение к проблемам методологии науки, М. 1984 Войшвилло Е.К. Фнлософска-метоэологнческне аспекты релевантной логики, М.,1988. Войшвилло Е.К Символическая логика. Классическая н релевантна«. М., 1989.

9 Сидоренко Е.А. Логическое следование н условные высказывания. М.. 1983. С идо реп.«© Е.А Реляционная семантика релевантных исчислений. В Логические исследования. Вил.З. М.. 1995. сс 53-71. Сидоренко Е.А. Релевантная логика. М. 2 ООО

10 Смирнов В. А Так называемы парадоксы материальной импликации и логические системы с понятием сильного вывода // Исследования логических систех(. М., 1970 Смирнов В. А Формальный вывод и логические исчисления. М.. 1970. 271 с.

11 См. например, Быстрое П И Нестандартный метод табличных конструкций для модальных и релевантных логик // Логические исследования. Вып. I. М.: Наука 1993. сс 156-170

12 См., например, Васю ков В.Л. MN-категории для релевантных логик//Логические исследования Вып. 1. М.: Нага 1993. сс 114-124

13 Попов В.М. О разрешимости релевантной логики RAO // Модальные и интенсиональные логики (Тезисы юердннациоиного совещания). М., 1978 Аналитические формулировки и модели Крипкс некоторых пропозициональных jioiHK керволорядиэвого следований I! Релевантные логики и теории следования. 2-ой Совегско-фижкин коллоквиум по логике. М„ 1979 Попов В.М. Система И.Е. Орлова и релевантные логики // Философские проблемы истории логики и методологии науки. М., 1986. Ч. 1, сс 93-98.

14 См.. например, Шалях В.И. На Щти к категорией харахтертацли релевантной логики // Синтактические и семантические исследования ^экстенсиональных логик. М.: Нгл ка 1989. сс 112-120

15 Ермолаева Н.М.. Мучник А.А. Модальные расширения логических исчислений типа Хао Вана // Исследования по формализованным тыкам н неклассическим лоткам. М.: Наука, 1974, сс 172-193 Ермолаева Н.М., Мучник А А Модальные логики, определяемые эндоморфизмами дистрибутивных решеток// Исследования по теории множеств и не классическим логикам. М: Наука, 1976. сс 229-246 Ермолаева Н.М., Мучник А А. Функционально замкнутые 4-значные расширения булевой алгебры и соответствующие логики II Исследования по неклассическим логикам и теории множеств. М.: Наука, 1979, сс 229-246

Шрамко и X. Ванзинга", а также С. Одинцова17. В дальнейшем такой тип обобщения будем называть «релевантным обобщением».

Моделирование естественных, и в особенности аргументативных, рассуждений - тема огромного количества исследований. Условно эти работы можно разделить на три направления. Во-первых, исследования, ориентированные на практическое применение в аргументативной коммуникации и переговорном процессе. В этом отношении весьма показательны результаты, полученные голландской школой прагма-диалектики, возглавляемой Ф. ван Еемереном18 Во-вторых, работы посвященные построению формальных моделей аргументации. Здесь следует отметить исследования, предпринимаемые Т. Бенч-Капоном, Г. Праккеном, Дж. Поллоком", а

20 Ti

также некоторые фундаментальные работы других специалистов . В-третьих, исследования, ставящие своей задачей приложение аргументативного подхода к рассуждениям в computer science и искусственном интеллекте. В этом направлении формального моделирования аргументации выделяются работы Ф. Дунга с коллегами21, М. Гинзберга22 и В.К. Финна23. Детальную информацию и обзор

16 Shramko, Y., Dunn. J. М. and Takcnaka, Т.: The trilattice of constructive truth values. Journal of Logic and Compulation 11 (2001), 761-788 Shramko, Y. end Wansing, H., Some useful 16-valued logics: How a computer netw ork should think, Journal of Philosophical Logic 34, 2005 Shramko, Y. and Wansing, H., "Hyper-contradictions. generalized truto values and logics of truth and falsehood': Journal of Logic, Language and Information IS: 403-424,2006. StoamkoY.. and H. Wansing, Entailment Relations and/as truth values. Bulletin of the Section ofLogic Volume 36:3/4 (2Q07), pp. 131-143

17 См., например, Odintsov S.P. On axiomatizing Stamko-Wansitig's logic. Stutiia Logics (2009) 91: 407-42S

18 См., налрюгер, Ееиерен Ф. ван. Грооте кдэрст Р.Б Аргументация. кпшукккиш и ошибки. - СП5.: Филологический факультет СПоГУ, 2002. - 160 с. Еемерен Ф. ван, Гроотендорст РЕ Хенкеманс Ф.С. Аргументация: аналш. проверка, преставление: Уч. пособие. - СПб.; «Ва:ильевский остров», 1992. Еемерен Ф. ван. Современное состояние теории аргументация // Важнейшие концепции теории аргументация. СПб.: Филологический факультет СПбГУ, 2006. сс. 14-34

19 Например. Bench-Capon T.J.M., Н. Prakken, Argumentation. In AR. Lodder&A. Oiamp (ids.): Information Technology & Lawyers: Advanced technology in the legal domain from challenges to daily routine. Berlin: Springer Verlag. 2006, 61-80. Pollock J L Defeasible Reasoning // Cognitive Science 1987.11.481-518 Prakken H. Logical Tools for Modelling Aiguments. Kluwer. 1997.

20 Handbook of the Logic of Argument and Inference (Studies in Logic and Practical Reasoning) by D.M. Gabba>. North Holland. 2002.

Kraus S.. K. Sycara, and A. Evenchik. Reaching agreements through? argumentation; a logical model and implementation. In Artificial Intelligence, 104. 1-69, 1998. Lodder. A.. Herag. A Dialaw a dialogical framew ork for modelling legal reasoning, In In Proc. of the 5th international Conference on Artificial Intelligence (1995), pp. 146-155. ACM , New York. Hagc. J.C., Verheij. B. Reason-based Logic: a logic for reasoning with rules and reasons. Law, Computers & Artificial Intelligence: 1994, 3 (2-3), 171-209.

21 Например, Bondarcnko. A. G-, Dung, P. M.. Kowalski, R. A., and Toni, F. An Abstract Argumentation-Theoretic Approach to Default Reasoning. Articial Intelligence 93, 1-2 0997), 63-101. Dang P.M., R.A. Kowatai, and F. Toni Dialectic proof procedures for assumptionbase, admissible argumentation. In Artific\allnte\ligence. 170: 114-159, 200i>.

22 См., Ginsberg, M.: Multivalued lugics: A unifwm approach loieasoning in AI, Compute! Inielligence 4(1988), 256-316

23 См., например. Финн В К. Стандартные и нестандартные логики аргументации 1.1! Логические исследования, выпуск 13, М., 2006,ес157-

8

современной литературы можно найти в работе К. Чезневара, А. Магвитмана и Р. Лои34.

Цель и задачи исследования.

Диссертационная работа преследует две основные цели:

1. Рассмотреть различные направления и соответствующие им варианты обобщения релевантной логики, выделив среди них те, которые могут служить основой для моделирования рассуждений.

2. На этой основе предложить формальные модели для представления естественных (в первую очередь, аргументативных) рассуждений.

Достижение поставленныхцелей предполагает решение ряда задач:

1.1. Рассмотреть различные варианты семантического и синтакстеского построения релевантной логики.

1.2. Проанализировать перспективы развития семантического обобщения релевантной логики на основе содержательных семантик Е.К. Войгавилло, предложить варианты построения содержательных семантик для релевантной логики первого и более высоких уровней.

1.3. Развивая линию «релевантного обобщения», предложить обобщенные варианты релеванттнровапной логики Клини и гибридной «паранормальной» (нараполной и паранепротиворечивой) логики с некоторыми классическими свойствами.

1.4. Критически проанализировать так называемые «американский» и «австралийский» планы построения семантик возможных миров для систем релевантной логики высокого уровня, построить вариант семантики, максимально приближенной к «американскому» варианту для системы К.

1.5. Построить синтаксически и семантически первоначальный вариант обобщенной чистой теории релевантного следования.

2.1. Осуществить критический анализ различных подходов к построению

189.

24 Chcsmvar, С.; Maguitman. A.; and Loui. R. Logical models of argument. ACM Computing Survcj s, 2001, 32:337-333.

теории аргументации, дать определения основных терминов, характеризующих процесс аргументативных рассуждений.

2.2. На основе рассмотренных выше подходов к обобщению релевантной логике предложить ряд обобщенных релевантных моделей аргументации.

2.3. Проанализировать основные подходы к формальной экспликации теории понятия и предложить варианты построения формальной теории понятия на основе идей комбинаторной логики и лямбда-исчислений.

Научная новизна работы. Основные результаты, выносимые на защиту.

Научная новизна диссертационного исследования состоит в том, что впервые в отечественной литературе систематически излагаются подходы к обобщению релевантной логики и предлагаются модели естественных рассуждений, основанные на этих подходах.

На защиту выносятся следующие новые научные результаты:

1. На основе определения логического следования через информационный порядок построена семантика для первоуровневой релевантной логики, обобщающая подход Е.К. Войшвилло, доказана ее адекватность.

2. С использованием процедуры «релевантного обобщения» на основе восьмиэлементной тетра-решетки построена семантическая логика с двумя типами пропозициональных связок, предложена ее аксиоматизация, доказана адекватность.

3. Построена семантически паранепротиворечивая и параполная логика, представляющая собой гибрид логики Данпа-Белиапа и классической имшшкаягивной логики, предложена ее адекватная аксиоматизация.

4. Построена информационная семантика, представляющая собой обобщение аналогичной семантики Е.К. Войшвилло для системы релевантной логики Я, продемонстрирована ее адекватность.

5. Построена семантика возможных миров, максимально приближенная к так называемому «американскому плану», для системы релевантной логики И, доказана ее адекватность.

6. Аксиоматически построена обобщенная чистая теория релевантного

следования, предложены теоретико-множественная и комбинаторная семантики получившейся системы, доказана их адекватность.

7. Критически рассмотрены основные подходы к построению теории аргументации, выявлены особенности аргументативных рассуждений, предложена и обоснована авторская трактовка аргументации.

8. На основе обобщения классических истинностных значений построена формальная четырехзначная модель аргументации, предложена се аксиоматизация в виде исчисления выводимостей.

9. Семантически построена шестизначная обобщенная логика аргументации, показана ее совпадение но множеству валидных выводимостей с логикой Данна-Белнапа.

10. Предложена обобщенная семантическая модель двух-субъектной аргументации, предполагающая формальную экспликацию модифицируемых аргументативных рассуждении.

11. Критически проанализированы основные подходы к логико-философской трактовке и формальной экспликации понятий.

12. Предложены варианты построения формальных теорий понятия на основе типового и бестипового лямбда-исчисления.

Теоретическое и практическое значение диссертации. С теоретической точки зрения, в диссертационной работе, во-первых, систематизированы основные результаты, связанные с использованием обобщенной и/или модифицированной релевантной логики в качестве основы для моделирования естественных рассуждений, во-вторых, предложены различные варианты обобщенных релевантных моделей процесса аргументации и аргументативных рассуждений.

Полученные результаты могут быть использованы при чтении общих и специальных курсов но теории и практике аргументации, неклассической (релевантной и многозначной) логике и логической семантике.

Возможно и практическое приложение полученных результатов в логическом программировании и проекте искусственного интеллекта.

Апробация работы. Рассматриваемые в диссертации проблемы, предложенные пути их решения и полученные при этом результаты обсуждались на заседаниях научного семинара кафедры логики философского факультета МГУ, научно-исследовательского семинара сектора логики Института философии РАН, семинара Института философии РАН «Логика и философия языка», в рамках совместного российско-украинского логического семинара, были представлены в докладах и сообщениях автора на российских и международных научных конференциях и конгрессах.

Основные результаты диссертационного исследования отражены в научных публикациях автора, в том числе в монографии «Обобщенная релевантная логика и модели рассуждений» (М., 2010).

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех разделов, содержащих девять глав, заключения и списка литературы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении содержится обоснование актуальности темы исследования, характеристика ее степени разработанности. Ставятся задачи и цели исследования, характеризуется теоретическое и практическое значение работы, описывается ее апробация.

Первая глава первого раздела работы Релевантная логика первого уровня озаглавлена Основные нонятия. Ее цель - ввести основные алгебраические, теоретико-множественные, синтаксические и семантические понятия, связанные с релевантной логикой первого уровня.

В первом параграфе Алгебра FDE описывается решетка Демограна-алгебраическая структура, соответствующая первоуровневой релевантной логике (FDE от английского First-Degree Entailment). Кроме того вводятся такие теоретико-множественные понятия как кольцо, поле, фильтр.

Во втором параграфе Язык и исчисления первоуровневого следования задается пропозициональный язык логики первого уровня, строятся два вариант исчисления - со схемами выводимостей для языка без символа релевантной

импликации, и со схемами аксиом для языка с символом релевантной импликации. Приводится натуральная формулировка системы РБЕ.

Третий параграф Семантика ГОЕ посвящен рассмотрению различных семантических подходов к построению релевантной логики. В современной литературе по релевантной логике кроме алгебраических семантик принято выделять среди теоретико-множественных семантик два основных плана построения: Американский и Австралийский. Территориальное разделение представляется достаточно условным, поскольку семантики американского плана были построены как в работах американцев Н.Белнапа и М.Данна так и в трудах нашего соотечественника Е.КВойшвилло. Австралийские семантики развиты благодаря усилиям австралийца Р.Роутлн, американца Р.Майера и новосибирского логика и математика Л.Л.Максимовой ([Максимова 1970]).

Начинается рассмотрение семантик первоуровневой логики с австралийской семантики системы РИЕ. Модель для РБЕ - это тройка £, <К, [=,*>, где К -множество возможных миров (обобщенных описаний состояния, теорий, ситуаций и т.п.); (= - функция интерпретации, ставящая в соответствие парам <форигула -возможный мир> ровно один элемент из множества значений {Ч^дак что для каждой формулы А и для каждого возможного мира а из К имеет место а [у! или а ; * -одноместная функция на множестве К такая, что а* *=а.

Американская семантика для системы БИЕ может быть построена как в русле теоретико-множественного (крипкевского) подхода, так и в рамках семантик многозначных (матричных) логик. В основе многозначной семантики Н.Белнапа лежат четыре исходных значения 4 = {Т,В,1Ч,Р}, трактуемых весьма оригинально. Т означает, что формула оценена как истинная и не оценена как ложная; В соответствует случай, когда формуле приписаны как значение "истинно", так и значение "ложно"; N выражает ситуация, когда формула вообще не имеет истинностного значения; наконец, Р может быть приписано формуле, которая приняла значение "ложно" и не приняла значения "истинно". Четыре значения Н.Белнапа можно представить как все подмножества множества {и, л}: 4 = {{и},{л},{и, л},{0}}. Выделенными значениями являются Т = {и} и В = {и, л}.

Примером семантики возможных миров для этой системы является информационная семантика Е.К.Войшвилло. Отличительными особенностями этого подхода можно считать относительную простоту предпринимаемых построений и ясную содержательную интерпретацию семантических понятий. Е.К.Войшвилло исходит из понимания логического следования, предложенного В. Аккерманом: А \В о логическое содержание В составляет часть логического содержания А. Однако, если сам В.Аккерман не уточнил понятия логического содержания, используя данное определение как интуитивное оправдание построенной им системы, то Е.К.Войшвилло предлагает трактовку логического содержания через сематическое понятие информации.

Во второй главе П)Е: философско-методологические аспекты акцент сделан на семантических проблемах релевантной логики первого уровня. Первый параграф этой главы Американский план против австралийского продолжает сравнительный анализ двух основных подходов к построению семантике релевантной логики, что позволяет сделать некоторые важные для целей данной работы выводы и наметить пути дальнейшего обобщения семантически построенной релевантной логики.

Истинность пропозициональной переменной в возможном мире а (а[=г р) понимается «американцами» и «австралийцами» стандартным образом - как наличие переменной в мире (р е а). Основное, главное различие заключается в трактовке противоречия (и соответственно, случая пустоты). Следствием этого фундаментального различия являются не только правила приписывания значений формулам, но и формулировки метатеоретических законов, и их проекций в объектном языке.

Для «американца» одна и та же формула может быть истинной и ложной, а также не истинной и не ложной. В терминах семантики это означает, что условие ложности для переменных принимается в виде а о-р еа и совпадает с условием истинности для отрицания переметой - а Ц-р о-р еа. Австралийский подход характеризуется в противоположность американскому внешней "неклассичностью", за которой, на мой взгляд, скрывается более последовательно реализованная трактовка

отрицания. Для «австралийца» одна и та же формула не может быть истинной и ложной, равно как неистинной и неложной одновременно. Зато, формула и ее отрицание могут быть вместе истинными и вместе ложными.

Подводя промежуточные итоги, можно заметить, что по американскому плану трактовка отрицания представляется более классической, чем понимание ложности. В то же время, отрицание в австралийских семантиках выглядит менее классическим, что компенсируется привычным соотношением истинности и ложности.

Во втором параграфе Отрицание, истина и ложь выявляется неклассический характер отрицания в релевантной логике. Сравнивая американский и австралийский семантические планы, полезно обратить внимание на две традиции понимания ложности, сложившиеся в теории моделей. Согласно одному подходу, который можно условно назвать линией А,Тарского, условие истинности для отрицания получается просто подстановкой в Т-схсму, при этом ложность формулы эквивалентна истинности ее отрицания: |Б1] Тне-/4 о РА. Второй подход - линия Кейслера- исходит из трактовки ложности формулы как не-истинности: р2] ¥А о неТА. Очевидно, что ни в том ни в другом варианте семантик релевантной логики нельзя принимать сразу оба условия. Тогда по свойствам эквивалентности выводимым станет условие [БЗ] Тпг-А о неТА, что сразу же тривиализует семантику, возвращая все парадоксы классической логики.

На специфику отрицания и связанных с ним понятий истинности и ложности проливает свет реконструкция известного определения Истинного и ложного Аристотеля (Метафизика, V. 7, 1011Ь, 25-30). Когда речь идет о семантическом рассмотрении классической логики, то смысл отрицательных вхождений пропозициональных переменных в описание состояния ясен: ие-р е А о р 4 А В семантиках релевантной логики по любому из рассмотренных планов это соотношите не проходит. Таким образом, эквивалентные части аристотелева определения ложного распадаются на две различные части: Р^» <=> р г Л и Р2«р» о не~р е Д. Тем самым возшжает возможность ввести два типа семантического отрицания, соответствующие двум типам ложности: Т«нег/>» о и Т«нег-р» о

F2«p». Оказалось, что только трактовка отрицание типа 2 позволяет избежать парадоксов первого уровня. Поэтому идеологам австралийского плана пришлось изобрести еще одно отрицание, связанное с понятием ложности типа 1: Т«не}-р» «. F] *«/»>'

В третьем параграфе FDE как матричная логика предлагается интерпретация четырех значений Данна-Белнапа как последовательностей классических истинностных значений. В обобщенном описании состояния в смысле Е.К. Войшвилло каждая пропозициональная переменная может встречаться четырьмя различными способами. Это позволяет разделить классические истинностные значения следующим образом:

Bi(f) о р е а, и2 (р) о ~,р <£ а, Л1 (р) о р g а, п2 (р) о -р е а. Таким образом, фактически получается, что произвольная формула принимает в качестве значения пару <а!,а2>, где а^е{и,л}.

Пусть теперь множество В2 есть результат второй декартовой степени множества {и, л}. Сконструированные выше значения как пары будут элементами матрицы В4, а пара <и,и> выделенным значением. Новые матричные операции конъюнкции (л), дизъюнкции (V) и отрицания (-j) задаются покомпонентно на элементах В4 через обычные классические операции &, v and Показано, что построенная семантика адекватна системе FDE.

Последний четвертый параграф этой главы Еще раз об интуитивной семантике следования возвращает к информационной семантике Войшвилло. Как уже отмечалось выше, одной из фундаментальных интуиций, лежащих в основе релевантной логики, является представление о следовании как об отношении информационного толка: Из А логически следует В, если и только если (логическая) информация В составляет часть (логической) информации А. Задача данного параграфа состоит в том, чтобы показать, что определенное стандартным образом в семантике Белнапа отношение логического следования соответствует информационной трактовке следования Е.К. Войшвилло, то есть А [= В если и только если 1(B) сТ(А).

Будем исходить из понятия стандартного языка релевантной логики первого уровня со связками л, v, Рассмотрим бирешетку FOUR2 = <4, <,, п, и, -, <,, П, U, * >, где п, и, - представляют собой пересечение, объединение и дополнение на решетке <4, <, >, а П, U, * - те же операции на решетке <4, <, >. Зададим на ней две функции v и г, понимаемые как функция приписывания значений и функция «информатизации», ставящая каждой формуле в соответствие ее информацию и для произвольных формул Л и В определим стандартным образом отношеггис следования: AtBiffVvfvfAJSviB)).

Для решения поставленной в данном параграфе задачи необходимо доказать основную теорему - показать, что А 1= В <=> V/ (¡(В) £ ¡(А)), то есть, Vv (v(A) <, v(J3)) о V/ (i(3) <t i(A)), что достигается через доказательство двух лемм:

ЛЕММА 2.4.1. V/ 3v ((v(A) <, v(B)) (i(B) <; i{A))),

ЛЕММА 2.4.2. Vv 3/((i(fi) S ¿И)) => (v(/4) <, v(B))).

Третью главу Обобщения первоуровневого следования открывает параграф Мультнрешеткн и полезная 16-тизначная логика, в котором рассматривается понятие бирешетки. Впервые понятие бирешетки ввел Метыо Гинзбург и он же указал, что четырехзначная логика Белнапа задает наименьшую нетривиальную бирешетку. Для определения бирешетки удобнее, следуя М.Фитгингу, начать с понятия пред-бирешетки.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1.1. Пред-бирешетка — это структура В = <В, <t, <i> , где В — непустое множество, а <ь <, - отношения частичного порядка такие, что <В, <и> и <В, представляют собой решетки.

Пред-бирешетка является полной, если для каждого упорядочивания существуют объединение и пересечение.

При этом под <, интуитивно понимается логический порядок, а под — информационный. Наиболее ясный и простой пример пред-бирешетки представляет би-решетка 4, порождаемая четырьмя полезными значениями Белнапа. Оказалось, что бирешетки весьма полезны для представления неклассических теортш истинности (например, теория С.Крипке), для формализации немонотонных рассуждений и

моделирования естественных рассуждений.

В работах Я. Шрамко и X. Ванзинга понятие бирешетки обобщается до понятия мультирешетки. Как оказалось, одна из таких мультирешеток - трирешетка SIXTEEN) - позволила обобщить логику Данна-Белнапа до полезной 16-тизначной логики для целой сети белнаповских компьютеров и послужила основой нового перспективного направления в философской логике. Шрамко и Ванзинг развивают компьютерную метафору, задаваясь вопросом, какая логика получится у сервера, коммуницируюгцего с целой сетью четырехзначных компьютеров. Поиск ответа на этот вопрос приводит к дальнейшему обобщению истинностных значений. В распоряжении сервера должна находиться логика, базирующаяся на 16-тизначном семантическом каркасе, представляющим собой множество-степень множества 4.

Если на множестве 2 можно задать всего один единственный нетривиальный порядок: л <2 и, то множество 4 представляет возможность для определения двух отношений порядка - логического и информационного - и, соответственно, для задания бирешетки. По-другому дело обстоит дело с множеством 16. Кроме информационного порядка, на этом множестве оказывается возможно определить два взаимно независимых отношения порядка по истинности и по лжи.

Для каждого из отношений порядка могут быть заданы свои собственные операции объединения и пересечения, а также на решетке SIXTEENj определяется несколько инверсий. Таким образом становится возможно использовать обощенный семантический подход для выявления свойств различных операций в рамках единой алгебраической конструкции. Обобщенный язык L^ включает пропозициональные связки auv u a6v f,-i f, ассоциированные с соответствующими алгебраическими операциями. Для задания семантики рассматривается функция оценки, понимаемая как отображение множества пропозициональных переменных в множество 16 и стандартным образом распространяемая на произвольные формулы. Логика компьютерной сети любой степени сложности, в частности аксиоматизации отношений следования, задаваемых через порядок по истинности и по ложности в языках L, и Ltсоответственно, совпадают с известной системой выводимостей FDE, то есть представляет собой релевантную логику первого уровня. В выступлении X.

Вашинга на конференции «Шестые Смирновские чтения по логике» (Москва, ¡7-19 июля 2009) была анонсирована аксиоматизация системы РОЕ''1', язык которой включает оба типа связок.

Развиваемый Шрамко и Ванзингом подход к обобщению релевантной логики имеет, кроме очевидного компьютерного приложения, интересные перспективы для логической семантики и философской логики. Дело в том, что возможность по-разному, независимым образом определить логическое следование (выводимость) в рамках одной формальной системы позволяет не только получать новые обобщенные системы с нетривиальными свойствами, но и открывает новые аспекты весьма актуального сегодня вопроса о том, что же представляет собой символическая логика как наука.

Пусть исходное множество значений V содержит два непустых подмножества: множество выделешшх значений V* и множество анти-выделенных значений ТУ. Структура ТУ, ТУ, ®Г>, известна как п-значная ц-матрица (квази-матрица), представляющая собой обобщение стандартной логической матрицы для многозначной логики. Это позволяет ввести целый спектр попарно независимых отношений логического следования, в определениях которых используются требования сохранения выделенного значения (от посылок к заключению), сохранения аити-выделенного значения (от заключения к посылкам) и запрета перехода от (аши)-выделенного значения к выделенному (анти-выделенному).

Несмотря на всю новизну и оригинальность обобщений Шрамко и Ванзинга, оказывается, что в истории логической семантики уже были близкие к ним идеи. 20 лет назад в работах Е.Д. Смирновой25 был предложен обобщенный подход к определению логического следования.

В следующем втором параграфе этой главы Тстрарсшетка 8: другой путь обобщения предлагается другой вариант релевантного обобщения, в качестве стартовой точки которого выбирается трех-элементное множество значений логики Клини.

33 [Смирнова 198й, сс. 91-106].

. Белнаповский компьютер оценивает информацию (отвечает на запросы), исходя из как минимум двух важных в данном контексте предпосылок.

1. Источники могут сообщить компьютеру информацию, обязательно сопровождающуюся ровно одной оценкой из множества 2 = {True, False}.

2. Оценка компьютером информащш как N является исходной и не может быть приписана никакому высказыванию, полученному компьютером от внешних источников

Вполне естественно отказаться от, по крайней мере, второй предпосылки. Точнее, заменить ее предпосылкой

2#. Источники могут сообщить компьютеру три оценки информации -Тше, False vi «Не знаю».

Поскольку последнюю оценку интуитивно трудно отнести к множеству told values, а также для избегания путницы с оригинальной терминологией Белнапа, предлагается ниже использовать термин «reported values» для обозначения обобщенного множества 3 «сообщенных значений». Его элементами будут: а (от asserts), что соответствует ответу «Да», d (от denies), что соответствует ответу «Нет», и и (от uncertainty) - ответ «Не знаю» .

Далее от множества 3 мы переходим к его множеству-степени 8 = Р(3) и в нашем распоряжении имеется восемь полезных значений, алгебраическая структура которых позволяет задать четыре независимых отношения порядка: а-порядок, d-порядок, и-порядок, и информационный i-порядок. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2.1. Пустьл:" = {2е*|г = а}, х*-= {zex\z*¡¡}, xi= {zex |r = d}, x-*={zex\z* di xu= {iex |2 = u}, X'" = {zex |2*u}. Тогда x <„ y x" с / и с лг"*, лг^о^с/и/слЛ

X S,)1«! Су.

Получающаяся в результате комбинации четырех полных решеток <8, ¿а>, <8, <d>, <8, <„> и <8, ¿¡> алгебраическая структура, представляет собой тетрарешетку EIGIIT4. Решетка EiGHTj в качестве алгебраического базиса позволяет ввести обобщенный логический каркас для дальнейших построений. Пусть Lad - базовый язык со связками a^v „-> а, a^vj,-. Определим функцию оценки v как отображения множества пропозициональных переменных в множество 8, удовлетворяющее следующим условиям для сложных формул:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2.3.

v(A Аа В) = v(A) na v(ß); v(A Ad В) = v(A) nd v(B);

v(A va В) = v(A) ua v(ß); v(A vd B) = v(A) ud v(ß);

v(-,,A) = -,v(A); v(-id/() = -¿v(A).

Логика, формулируемой в языке La со связками aa,va,-,a и определением следования для произвольных формул языка La: А Ц, В <=> Vv (v(,4) <„ v(B)), есть в точности релевантная логика первого уровня FDE. Вполне ожидаемо логика над языком Ld со связками а4v 4-> d и определе!шем d-варианта отношения следования (для произвольных формул языка Ld, А f=d В <=> Vv (v(B) <d v(^))) оказывается той же самой стандартной первоуровневой релевантной логикой.

В работе рассматривается нестандартная система выводимостей FDE представляющая собой логику со связками, порождаемыми обоими порядками: <г и <d, образующими язык Lad, дополнительно снабженный константой Г. Дается ее аксиоматизация, доказывается адекватность.

Последний третий параграф этой главы Классическая (релевантная) паранеиротиворечивая и нараполиая логика посвящен особой гибридной логике получающейся через комбинацию матриц Данна-Белнапа для отрицашм, конъюнкции и дизъюнкции с классически заданной импликацией. Выделенными значениями являются Т и В.

Предлагается следующий вариант аксиоматизации построенной логики,

21

назовем ее РОЕР.

А1. Лэ(ВэЛ);

А2. (А=>(БэС))э((Аэ£)э(А=>С));

АЗ. ((А э В) =>А)эА;

А4. -,(А^А)=>В

А5. -1-1/4 гз Л

А6. Л з -,-тА

А7.

А8.

К2. л з В ^Вз -Л

Удобно в дальнейшем использовать следующие определения:

»РЗ.Л&Й <г>£/ и э (В э Р)) э Р

БР4. »ау/1 о Р.

Логика РБЕР является паранепротиворечивой и параполной, но при этом содержит в качестве фрагмента классическую логику высказываний с учетом принятых определений. Доказывается, что класс теорем П)ЕР совпадает с множеством семантически общезначимых формул.

Второй раздел работы Релевантная логика высокого уровня открывает глава 4 Основные понятия, содержащая необходимую информацию об алгебре, синтаксисе и семантике основных систем релевантной логики. Первый параграф этой главы Алгебра релевантной логики посвящен рассмотрению базовой для релевантной логики высокого уровня алгебраической структуры моноида Деморгана. Моноид Де Моргана это структура <5, п, и, е >, где

I. <8, п, и, -1> - решетка Де Моргана,

II. <8, е > - Абелев моноид,

III. моноид является решеточно упорядоченным, то есть, а (Ь и с) < (аЬ) и

(а с).

IV. о обладает свойством квадратов, то есть а ¿яд,

V. аЬ <, с <=> а-,с < -,Ь,

VI. аЬ<соа<Ь-^с.

В следующем втором параграфе Семантнка рассматривается в качестве базиса реляционная семантика для системы Я. модель системы Я представляет собой пятерку ц=<К, Я, О, [=,*>, где К, (=, * определяются, как и в семантике И)Е, И-трехместное отношение на К (И. с К3), выделенный мир О является элементом К (О е К). Формулируются условия наследования и приписывания значений, задаются понятия общезначимости и логического следования.

В параграфе третьем Исчисления приводятся аксиоматические формулировки основных систем релевантной логики. Рассматриваются системы И, Т, Е, мингл-варианты, N11 и некоторые другие.

В последнем четвертом параграфе этой главы Комбинаторы и релевантная логика рассматриваются комбинаторы и их связь с доказательствами импликативных формул в релевантной логике. В последнее время достаточно активно исследуется соотношение между импликативными формулами, комбинаторами Карри и некоторыми алгебраическими структурами. Полученные в этой области результаты позволяют применить комбинаторный подход к решению семантических проблем релевантной логики. Комбинаторная логика появилась в работах Шейфинкеля и Карри как эквивалент X-исчисления Черча и является, по сути, одним из способов представления функции через указание ее значений для произвольного аргумента.

Применение идей комбинаторной логики к классификационному анализу импликативных логик становится возможным благодаря так называемому изоморфизму Карри-Ховарда, устанавливающему соответствие между комбинаторами и доказуемыми импликативными формулами. Изоморфизм Карри-Ховарда имеет свое видимое воплощение, которое заключается в возможности построения доказательства импликативной формулы по соответствующему комбинатору. В принципе, эта идея

достаточно явно содержится в работах самого Х.Карри, который указывал, что каждый комбинатор задает определенную "конструкцию". Под "конструкцией" вполне можно понимать доказательство соответствующей формулы.

Например, аксиоме само дистрибутивности импликации соответствует комбинатор 8: вхуг = *г(уг). Если сопоставить переменным шаги доказательства соответствующей формулы, то легко обнаружить, что порядок записи и число переменных слева от знака равенства в точности соответствуют принятым допущениям, в то время как правая часть уравнения представляет собой указание на последовательность применения правила МР. Все это позволяет по структуре доказательства формулы сформулировать соответствующий ей комбинатор и наоборот, по комбинатору восстановить соответствующую ему импликативиую формулу.

Главу 5 Логико-семантическпе исследования открывает 1 параграф Модальность и импликация. В этом параграфе рассматривается вопрос о соотношении систем модальной и релевантной логики, а также о критерии выражения модальных операторов через пропозициональные связки.

С формальной точки зрения, унарный оператор п должен обладать рядом свойств, позволяющих интерпретировать формулу п (А) как утверждение "необходимо, что А". К числу желательных свойств следует отнести (N1) п(Л) —»Ц/4; (N2) п(А —>#) -» п(Л) ~»п(В), к числу нежелательных - (N3) А Для модальных

систем, построенных Льюисом и Лэнгфордом, в качестве такого определения можно принять -

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.1.1. "необходимо, что А" ¡//^А ->А.

Однако, оказывается, что в других системах, например системе Е релевантной логики, где модальности соответствуют модальностям такое определение не проходит. Это заставляет говорить об еще одном способе определения модальностей через импликацию:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.1.2. ПА$ГА-+А->А.

Имеются еще две эквивалентные между собой возможности для определения модальностей. В языках, содержащих пропозициональную константу I, определение необходимости выглядит следующим образом:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.1.3.

В то же время, если рассмотреть системы, получаемые введением пропозициональных кванторов, то оказывается, что, во-первых, константа I определима через квашор общности и импликацию: ( у^ОУр (р ->/?), а во-вторых, необходимость получает новое выражение -

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.1.4. ПА ¡//0\/р (р ->А

Если в качестве определения необходимости использовать все-таки ОПР. 5.1.2., то №-N4 соответственно примут вид:

1.((/1 ->Л) —>А) -*А - подстановочный случай аксиомы Специального Утверждения ((А -» А) -> В) -* В,

2.С!(04 ->/4) П->/4)->а (А ->• В) -> ((В ~>В )~>В)) - ослабленная Ограниченная Перестановочность;

3 А -> ((А -л А) -> А) - Демодализатор;

Л.(А ->В)-± ((А ->В) А -л В)) А -» В)) - подстановка в Ограшщенное Утверждение.

Таким образом, условие выражения модальности через импликацию в смысле ОПР. 5.1.2. сводится к наличию ослабленных аксиом Утверждения и Ограниченной Перестановочности и отсутствию Демодализатора. Развивая эту идею, можно говорить о минимальной импликативной модальной логике, как об импликативной логике, характеризуемой перечисленными выше условиями.

Во втором параграфе Семантика Воншвилло для системы К предлагается вариант информационной семантики для одной из основных систем релевантной логики. Системы релевантной логики более высокого порядка получаются из языка РПЕ введением интенсиональной импликации -» и соответствующим переопределением понятия формулы. Информационный подход к таким системам связан с необходимостью установления отношения логического следования между

формулами, содержащими вхождения релевантной импликации. А это в свою очередь требует определения информации формул импликативного вида. Таким образом, главная проблема заключается в задании множества Л/д, где А - формула, содержащая

Союз "и" естественного языка, используемый в задании условия ложности для интенсиональных формул импликативного вида языка релевантной логики, следует понимать как утверждение о совместимости истинности антецедента и ложности консеквента, то есть, как метаязыковой аналог интенсиональной конъюнкции (•). Соответственно, искомое определение принимает следующий вид:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.3.1.

При построении модели для системы Я, в качестве исходного пункта используется модель для БОЕ, в которую добавлена операция совместимости: < М, с, | |>. Кроме того, принимаются следующие постулаты: р.1-р.З. - свойства частичного порядка,

р.4. а с Ь о Ь~ с а~;

£5. а • Ь = Ь • а;

16. а • (Ь • с) = (а • Ь) • с;

{.7. а • (Ь и с) = (а • Ь) и (а • с);

р£8. а с а • а;

рО. (а • Ь) с с о (а • с~) с Ь-.

Доказывается адекватность построенной семантики системе релевантной импликации И..

Последний параграф пятой главы Завершенный Американский план посвящен рассмотрению так называемого «американского» семантического плана для релевантной логики. Предлагается семантика системы Я, максимально приближенная к американской. Это означает, во-первых, понимание ложности формулы любого вида как истинности ее отрицания; во-вторых, отсутствие * в условиях истинности формул с отрицанием и импликацией; в-третьих, удаление функции звезды из семантических

постулатов.

R-моделъ r| - это <0, К, R, v, f= >, для которой формулируются следующие определения и семантические постулаты. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.1. а < Ь о ROai.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.2. R2abcd о Зле (Rabx & Rxcd).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.3. V}a(bc)dt> Эх (Raxd& RЪсх).

Семантические постулаты: p.l. ROaa-

р.2. Ruhe => Rh и с,

р.З. RгаЬсй => Rla(bc)d,

р.4. R ааа;

р.э. Rabe /\x<,a^>Rxbc,

Кроме того, т| удовлетворяет постулату рб-7. Rabe => Röjo>, где b =>', с s х. Оценка: v(p,a) = 1 <=>р е а;

\{р,а) = 0 о <£ а.

Наследование: для любых а,Ьир

1.a<b&v(p,a) = l => v(p,b) = 1;

2. я < ft & \(р,а) = 0 => v(p,b) = 0.

Условия истинности (интерпретация) для случая истинности формулируются в точности также, как и в обычной «австралийской» семантике системы R, условия для случая ложности совпадают с классическими для всех связок, кроме импликации: а (=f А -> В о 3fi3c(Rica & Ь К А & с |=f В). Определение следование - стандартное. Доказывается адекватность построенной семантики системе R.

В главе б Теория чистого релевантного следовании подробно рассматриваются основные особенности и некоторые недостатки известных систем релевантной логики. На основании этого анализа предлагается подход к построению новой теории релевантного следования и аксиоматизация этой теории.

В первом параграфе этой главы Выбор аксиом обсуждается вопрос об основаниях принятия или отвержения дедуктивных принципов теории следования, относительно систем Е и И можно сформулировать утверждение УТВЕРЖДЕНИЕ 6.1.2. (Л>); "Всякое следствие закона тождества является теоремой".

В этом, состоит определенная парадоксальность релевантной импликации и соответствующего отношения следования. На смену известным предпосылкам о полноте и непротиворечивости, выявленным в информационном подходе Е.К.Войшвилло, приходит предпосылка о, скажем, "самотождественности". Получается, что все положения информационного подхода Е.К.Войшвилло о привнесенной информации при оценке информативности законов классической логики можно применить и к анализу законов релевантной логики.

Кроме того, имеется еще ряд формул, доказуемых в системе Е_>, но вызывающих определенные сомнения с интуитивной точки зрения. К их числу в первую очередь относятся (А-*В)-> ((В В)), представляющая собой подстановочный

случай закона утверждения коисеквеита, и (А -> В) -> ((В ->А)->(В --> А)), также получающаяся подстановкой из явно парадоксальной А-*(В~* В).

В связи с этим следует упомянуть систему Т_». В ней не доказуемы парадоксальные релевантные формулы ни одного из упомянутых видов, в этом смысле она являет вполне удовлетворительным кандидатом на выражение понятия релевантной условной связи и, возможно, следования.

Негативные аксиомы релевантной логики не отличаются разнообразием и не варьируются от системы к системе. Вот этот список:

N1.(0)110 (Л->В)->(-,В->-Л);

№.(0КТ1) А-у-,-пА;

N4. (ОЛЕ) -,-Л-М.

Наиболее спорной в этом списке выглядит N2. Сомнения вызывает ее "конграпозигивнная" формулировка (А -» В) -» (А В). Она сразу же делает

теоремами все истшшо-значные тавтологии классической логики. В самом деле, простая подстановка А вместо В в сочетании с modus ponens приводит к закону исключенного третьего, этой архетипичной форме классических тавтологий. Существует целый ряд формул, не противоречащих интуиции, и в то же время НС доказуемых в известных релевантных исчислениях.

В первую очередь речь идет о формуле, известной как replacement of disjoined consequent, то есть

RDC (А (В V С)) & (В -» D) (D v С)).

Кроме RDC имеются еще как минимум две любопытные формулы.

RCA (Л->В)&((В&С)-»0)-»((Л&С)->В)

- (replacement of conjoined antecedent) в контексте системы R эквивалентна RDC, и точно так же интуитивно приемлема. Формула

Cut ((A->(ÇvB))&((B&.A)^Ç>)->{A->Q

является самой сильной из приведенных расширений, но также вполне интуитивно допустимой. Ее принятие требует пересмотра правила введения &, и поэтому она, пожалуй, выглядит наиболее проблематично. Как бы то ни было, очевидно, что системы релевантной логики могут быть расширены, по крайней мере, одним из трех дедуктивных принципов.

Первый результат на пути построения теории релевантного следования адекватно применимой для моделирования аргументативных рассужждений будет состоять в "исправлении" системы Е и ведет к следующей формулировке исходной системы "of true entailment" ТЕ: Схемы аксиом -1, В, В', W, CE, CI, DI, DE, Dis, Conti, DNE; правило вывода MP.

Второй параграф Алгебра ТЕ содержит описание алгебраической структуры, лежащей в основе ТЕ. Подходящая для ТЕ структура может быть получена из моноида Де Моргана, и поэтому будем говорить о псевдо-моноиде Де Моргана, имея в виду алгебру ТЕ.

Итак, псевдо-моноид Де Моргана, это Т= <D, п, и,-.,о, е>, где выполняются свойства 1, 3, 6, а также

2.0.* е - единица, то есть е 0 а = я;

2.1." (й » i)» с i в » (Ь о с);

22* (а° b)°c ¿Ь ° (я ° с);

2.3." в • И (« » 6) •

5*. а ° й £ сои о -ic ^ -ift oft о -.с < -.я.

Свойство квадратов (свойство 4 в перечне свойств моноида Де Моргана) отсутствует.

Свойство 5е обеспечивает 7. Кроме того укажем еще ряд полезных свойств: решеточная упорядоченность дает монотонность

(8) a^ft=>c°fl^c°ft;

а резидуальность - своеобразный "modus ponens" в форме

(9) а-»Ь°я ^ ft.

Свойство 2.0." и резидуальность позволяют доказать "теорему следования" - я ft <=> е i а-ьЬ.

Учитывая эти производные свойства, постулаты 2.1*-2.3* можно переписать в более привычном "импликативном"' виде:

2.1** я-»А 2 (с->«)-> (с-> 6);

2.2/" я —> ft < (ft с) (я с);

2.3й а (я -> ft) ^ ан>6.

В следующем третьем параграфе Теоретико-множественная семантика ТЕ осуществляется построение семантики возможных миров для системы ТЕ. Модель <К, О, R, *, |=>, где К * 0, О е К, R с К3, *: К К, |=сК*{/1}.

Определения:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.3.1. я^я iff КОаа.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.3.2. R2abcd iff äv (Raft* и Rjeftc)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.3.3. V?a(bc)d iff 3.v (Raxd и Rftcx)

Модель на основе приведенных определений удовлетворяет семантическим постулатам:

r.l. asa;

r.2. a<,л- и R,yAc => Rabe: r.3. U'ubcd => \l2a(bc)il, r.4. V?abctl ^ R2¿(nc)í/; r.5. Raie Rac*é*; r.6. a** = a, а также условиям:

I. Условие наследования: Для произвольной пропозициональной переменнойр верно, что если а }= р иa¿b,то Ь\=р.

II. Условия истинности формул: (-.) я <=> неверно, чтод*^4; (&) я^&ВояЦиа^Б;

(v) я V В о а fv4 или а f=ß; (-*) иМ-»йо Vi,с е К ((Raie и Ь И) => с И-Ниже речь пойдет о семантике системы ТЕ, но если вспомнить о ее )-формулировке, то соответствующее условие примет вид: а (=/ о О ¿ а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.3.4. Формула А истинна в модели iff О |= А. ОПРЕДЕЛЕНИЕ6.3.5. ЯзА следуетДiffVa е K(aH=>e^ß). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.3.6. Формула А общезначима iff А истинна во всякой модели.

Доказываются метатеоремы о семантической непротиворечивости и полноте. В последнем четвертом параграфе этой главы Комбинаторная семантика ТЕ построена оригинальная семантика системы ТЕ, в основу которой положены идеи о соответствии комбинаторов релеватно-доказуемым импликативным формулам.

Еще Р.Роутли и Р.Майер замечали, что для тернарного отношения достижимости имеет место следующее соотношение: Re¿c О а ° Ь<с. М.Данн и Р.Майер, обсуждая семантические способы представления комбинаторов, приходят к такому соотношению: А°В = {у. За е А, 3 ß е В, Raßy), где А, В - некоторые множества. Все

это послужило основанием для предположения о том, что в контексте семантики ТЕ можно переформулировать условие истинности для импликативных формул: а ¡=/4-*В <=> Vi, с є К ((с = а о ъ и Ь с (=В). Такое определение в некоторой мере напоминает семантический подход А.Уркварта, в основе которого лежит полурешеточная структура.

Алгебраическая структура ТЕ также претерпевает определенные изменения. Теперь это не моноид, а группоид: <D, п, и, °>, где

1. <D, п, и, -i> - решетка Де Моргана;

2. а ° (Ь и с) = (я о Ь) и (а ° с) - решеточная упорядоченность;

3. а о b ^ с о а £ 6 -» с - резидуальность;

4. свойства

4.1. (о о Ь) о с i а ° (Ь о с);

4.2. (я ° Ь) о с о (я о с);

4.3. в о Ъ і (я о Ь) ° Ь\

5. а ° с о я ° ->с ^ -і6 о Ь ° -¡с ^ -.я.

Комбинаторная семантика ТЕ строится по тому же принципу, что и теоретико-множественная. Модель С = <К, •, Jo, где K*0,tt: КК, ||=сіГх{Л}, а бинарная операция на Ä".

Пршшмаются следующие определения:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.4.1. (a«ß)«y = 8 iff 39 (а »ß =6 иЄ»у = 6)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.4.2. a«(ß«y) = 5 iff Вв (а»Є = б и у ß =8).

Семантические постулаты, которым удовлетворяет С, следующие:

с.1.а«а = а;

c.2.a»ß=y=>(a »ß)*ß = y;

с.З. (а *ß) »y = 5=>a*(ß •у)=б;

с.4. (а • ß) • у = 8 => ß» (а «у) = 5;

C.S. а • ß =у =>а • y#=ß#;

с.6.а**=а. 26

Условия нстшшости формул: (->) a|j"-v4oiieBepHo,4Toa*t=^;

(&) а & В а \А и а ^В;

(v) а \\А V В о а И или а ¡=й;

(-*) а В о Vp,y е К ((ар = у и р fld) => Y И-

Формула А ->■ В истшша в модели С (С |j= А В) (¿^Из Л следует В е if (а|И=><4В).

Формула Л общезначима iff А истинна во всякой модели (VC С\\А).

Показано, что комбинаторная семантика адекватна системе ТЕ.

Третий раздел работы Релевантная логика и аргументация состоит из трех глав. Седьмая глава Аргументация и логика открывается параграфом Понятие аргументации.

С середины прошлого века теория аргументации переживает вторую молодость, В то же самое время, несколько парадоксальным образом обнаруживается, что теория аргументации как теоретическая дисциплина до сих пор несмотря на свою многовековую историю так и не сформировалась как строгая и точная наука,

Обосновываемое в диссертации рабочее определение аргументации принимает следующий вид.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.1.1. Аргументация - это явная речевая деятельность, цель которой - изменить позицию какого-либо субъекта с помощью рассуждений. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.1.2. Позиция (точка зрения) субъекта - это совокупность предложений, относящихся к какой-либо теме, которые субъект аргументации считает приемлемыми.

Позиция субъекта не однородна, в нее включаются убеждения, мнения, научные знания, иногда заблуждения, верования, ценности и т.п.

Предлагается следующая модель аргументативного процесса. Пусть, позиция

26 Условимся гаже записывать a|J вместо а * Р

субъекта есть множество предложений естественного языка, снабженных специальными маркерами, выражающими отношение субъекта к этим предложениям. Тогда для произвольного предложения существуют следующие возможности. Во-первых, оно может включаться в позицию какого-то субъекта или отсутствовать в этой позиции. Во-вторых, если предложение включается в точку зрения субъекта, оно может быть помечено маркером «приемлемо» (что соответствует субъективной интерпретации оценки «истинно» - субъект согласен с данным предложением, он его принимает) или «неприемлемо» (что соответствует субъективной интерпретации оценки «ложно» - субъект не согласен с данным предложением, он его отвергает). Следует заметить, что основания для принятия или отвержения различных возможных компонентов позиции могут бьггь совершенно разными.

Будем считать, что

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.1.3. позиция (точка зрения) субъекта изменилась только в том случае, когда какое-либо предложение, включавшееся ранее в позицию, изменило оценку на противоположную.

Именно такое изменение, по сути, соответствует понятию эффективной (результативной) полемики.

Аргументация всегда направлена на изменение точки зрения субъекта, поэтому оправданно различать негативное изменение позиции и позитивное. Под позитивным изменением позиции будем понимать случай, когда субъект под влиянием аргументации поменял маркер какого-то компонента своей точки зрения с «неприемлемо» на «приемлемо». Обратное изменение назовем негативным изменением позиции.

В следующем втором параграфе этой главы Основные подходы к построению теории аргументации рассматриваются основные варианты построения теории аргументации. Сегодня исследователи выделяют несколько направлений и подходов к построению теории аргументации, каждое из которых обладает своими достоинствами и недостатками. Единой общепринятой теории аргументации (в научном смысле этого слова) на сегодняшний день не существует.

Оправданно выделять описательные (дескриптивные) теории, решающие

главным образом задачи описания ц упорядочения эмпирического материала, нормативный теории, в которых законы и правила представляют собой обязательные требования для обеспечения корректности и теоретических рассуждений и практических применений, и продуктивные теории, содержащие описания процедур и действий, необходимых для получеши определенного результата.

Наиболее характерным представителем нормативной теории аргументации является логический подход. Основные черты логического подхода таковы.

• Это нормативный подход.

К аргументации применяется оценка «корректно/некорректно», и корректность аргументации трактуется как соответствие определенному идеалу.

• Это объективистский подход.

Из процесса моделирования практически полностью исключается субъект, а вместе с ним и характеристика аргуметации как убедительной. Фактически, убедительность аргументации приравнивается к ее корректности.

В результате аргументация трактуется как деятельность по основанию какого-либо высказывания.

Примером описательной теоршт может служить лингвистический подход О. Дюкро и Ж.-К. Аискомбра, согласно которому любой речевой акт имеет аргументативный аспект. Задачу построения теории аргументации сторонники этого подхода видят в детальном описании и анализе аргументативного дискурса, что в идеале должно обеспечить адекватное понимание любого аргументативного текста. Другой вариант описательного подхода можно найти в работах нашего соотечественника В. Н. Брюшинкина, предложившего системную модель аргументации. Основу системной модели составляет выявление логико-когкитивно-риторичееких структур в аргументативном тексте.

И нормативный, и описательный подходы к аргументации позволяют решать достаточно важные задачи, но в принципе не претендуют на создание единой комплексной теории. Значительно плодотворнее в этом отношении оказались

теоретические подходы, условно названные продуктивными. Самый известный пример продуктивного подхода - это новая риторика X. Перельмана. Краткая характеристика неоритирики такова. Основная цель: представить свою позицию в привлекательном для аудитории виде. Средством достижения этой цели являются многочисленные риторические приемы и варианты неформальных (недедуктивных) рассуждений. В рамках этого подхода корректность аргументации приносится в жертву ее эффективности.

Другой, пожалуй, не менее известный вариант продуктивного подхода, получивший развитие в таких, казалось бы, плохо совместимых сферах, как образовательная тренииговая технология «Парламентские дебаты» и аргументативный подход у искусственному интеллекту, это модель аргументации С. Тулмина.

Где-то между этими полярными позициями находится прагма-диалектический подход, предложенный Франсом ВанЕемереном. В рамках этой теории делается попытка совместить элементы диалектики с нормативным вариантом построения теории. На смену логическому идеалу приходит так называемая модель критической дискуссии, которая «является не только средством определения правильности прохождения дискуссии, но и также и инструментом ее конструктивного анализа». С одной стороны, его отличает от логического явно декларируемая практическая направленность и учет субъекта. С другой, - аргументация в рамках прагма-диалектики оценивается как корректная в соответствии с нормами так называемой рациональной дискуссии.

В следующем третьем параграфе седьмой главы Логика в аргументации акцент сделан на выявлении логической составляющей как непосредственно процессе самой аргументации, так и при ее моделировании. Очевидно, выбор того или иного аппарата моделирования зависит от целого ряда параметров.

Первым среди этих параметров можно назвать цели исследования. В важный аспект, влияющий на выбор аппарата изучения аргументации, связан с комплексной природой^самого феномена аргументации. Аргументация представляет собой принципиально неоднородное, «многослойное» образование. Изучение аргументации, по крайней мере, так обстоит дело на сегодняшний день, преимущественно

акцентировано на том или ином уровне или слое аргументативного процесса. В результате использование логических или нелогических средств существенным образом зависит от уровня анализа аргументации. Последним аспектом, влияющим на выбор средств аргументации, наряду с целями моделирования и уровнем аргументации, является концептуальная основа предпринимаемого исследования,

И логика и теория аргументации связаны с анализом рассуждений. Но если для логики рассуждения служат (или, по крайней мере, служили и, возможно, должны служить) объектом изучения, то для теории аргументации рассуждения — это средство, способ изменить позицию противоположной стороны в полемике. Пусть имеется конечное непустое множество пропозициональных форм S, на котором задано формальное отношение выводимости (-, аналог отношения подтверждения между аргументами и тезисом (Т). Под аргументацией (аргумеитативным каркасом) обычно понимается некоторое (наименьшее) подмножество S А такое, что A h Т. На множество А можно накладывать дополнительные ограничения, оно может быть непротиворечивым, замкнутым относительно Н и т.п. Таким образом аргументация представляет собой тройку <А, Ь, Т>, удовлетворяющую соответствующим условиям. Иногда на множестве S дополнительно задаются еще некоторые отношения. В первую очередь, это отношение «атакует» (attacks) между аргументами. В самом общем виде один аргумент атакует другой, если в составе второго имеется такая подформула (иногда литерал), что ее отрицание выводимо (в смысле Н) из первого аргумента.

Оказалось, что аргументация и лежащее в ее основе модифицируемые рассуждения представляют собой еще один вариант немонотонных рассуждений, так что вполне естественно, что обращение к логическому анализу аргументации проходило и происходит в более широком контексте формализации немонотонных рассуждений.

Рассматриваются варианты моделирования аргументативных рассуждений, предложенные Дж. Поллоком, Г. Праккеном, Ф. Дуэтом, В. Финном.

Глава 8 Обобщенные релевантные модели аргументации объединяет нескольхо вариантов моделирования аргументации на основе обобщенной релевантной логики. Первый параграф этой главы Релевантная логика первого

37

уровня и естественные рассуждения призван прояснить связь между обобщенной релевантной логикой и моделированием аргуметации.

Рассмотрение релевантной логики в качестве базовой модели для аргументативных рассуждений представляется достаточно очевидным. Поскольку при анализе аргументации мы сталкиваемся с содержательными естественными рассуждениями, очевидно, что такие рассуждения должны быть свободны от многочисленных парадоксов классической логики, связашшх с формализацией условной связи и логического следования.

Понимание аргументативного обоснования как связи между ситуациями, утверждаемыми в аргументах и тезисе, находит свое развитие в содержательных (неформальных) соображениях о специфике непарадоксального следования, состоящих в трактовке этого отношения как выражающего связь по содержанию (ло смыслу) между высказываниями, и естественным образом приводит к формальному построению системы релевантной логики.

Один из вариантов формализации немонотонных аргументативных рассуждений на основе четырехзначной логики (фактически, логики Белнапа, снабженной, по мере необходимости, дополнительным «классическим» отрицанием), был предложен А. Бохманом27. В основе этого подхода лежит понятие би-выводимости, представляющее собой фактически комбинацию двух отношений выводимости (следования). Такой подход оказывается в определенном смысле близок идеям Я. Шрамко и X. Ванзинга, обсуждавшимся выше, и может служить примером использования обобщенной релевантной логики для формализации естественных (аргументативиых) рассуждений.

Во втором параграфе этой главы Нестандартная 4-значная логика аргументации представлена оригинальная модель аргументации, основанная на логике Данна-Белнапа.

Традиционно считается, что значением предложения (истинностным значением) являются два особых абстрактных объекта - Истина и Ложь. Такая трактовка

V См.. на гриме p. BochmanA. Biconsequence Relations. A Four-Vilued Formalism of Reasoning with Inconsistency and Incompleteness,

Notre Dame I. Format Logic Volume 39. Number 1 (1998). 47-73.

предложений как знаков языка восходит к работам Г.Фреге. Не обсуждая актуальность позиции Фреге в ко тексте современной логики, обратимся к анализу феномена аргументации. Очевидно следующее. Во-первых, в процессе аргументации используются не только декларативные повествовательные предложения (высказывания), но и оценочные суждения, вопросы и императивы. Во-вторых, даже для стандартных декларативных предложений с четко зафиксированным смыслом и однозначно устанавливаемым истинностным значением оценка в процессе аргументации не сводится к установлению их истинности. Субъект - участник полемики может быть согласен с каким-то положением (принимать его, включать в свою позицию) или не согласен (отвергать, исключать из своей позиции). При этом далеко не всегда оказывается важно, каким - истинным или ложным - на самом деле является это положение. Фактически это означает, что предложение как знак языка получает две параллельные и почти независимые оценки, с одной стороны, в зависимости от соответствия ли не соответствия действительности подразумеваемого в нем положения дел предложение оценивается как истинное или ложное. С другой стороны, в зависимости от исходных установок субъекта и аргументативной поддержки (соотношения аргументов «за» и аргументов «против») высказывание может быть оценено субъектом как приемлемое или неприемлемое.

Если значение предложения - это комплекс (сочетание онтологической и аргументативной составляющих), и если таких составляющих по две (истинно/ложно и приемлемо/неприемлемо), то очевидно, что число их возможных сочетаний-комплексов равно четырем. Примем для обозначения значения «Истина» символ Т, а для обозначения оценки «приемлемо» - знак 1. Пусть исходное множество II состоит из двух элементов: II = {Т, 1}. Вполне естественно отождествить наши новые значения-комплексы с элементами множества всех подмножеств II. Тогда Р(П) = {{Т, 1}, {Т}, {1}, 0}. Для дальнейшего рассмотрения удобно определить следование для произвольны позитивных формул языка ¿лу—

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.2.3.

А* В <; у(В)); где д: <\у ¡//хсу.

Оказывается, что развиваемая биполярная оценка высказываний открывает новые

возможности для определения отрицания. Первый вариант, назовем его «онтологическим», состоит в понимании отрицания как связки, меняющей истинностное значение высказывания на противоположное. При этом аргументативная составляющая значения никак не затрагивается. Второе полу-отрицание представляет собой чисто «аргументативную» связку, меняющую аргументативную оценку и не затрагивающую онтологическую. Получившаяся в результате суперпозиции двух полу-отрицаний связка является полноценным классическим отрицанием.

Итак, для получения семантической логики аргументации рассмотрим в качестве модели решетку A4, снабженную унарной операцией полу-дополнение! и функцией оценки v: <P(II), П, и, —ь v>, где Vp,(v(p,) е Р(Н). В окончательном виде определение оценки для произвольной формулы принимает вид:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.2.4.

v(A ЛВ) = v(A) П v(ß); v{A V ß) = v(A) U v(ß); v(^) = -,v(/l).

В работе предложена аксиоматизация отношения следования для данной логики аргументации.

Третий параграф восьмой главы Полезная б-значная логика аргументации

содержит обобщение четырех-значной логики Данна-Белнапа. Согласно развиваемому в работе подходу, любое положение (А) по отношению к точке зрения некоторого субъекта по некоторой теме может быть отмечено трояко. Таким образом, «субъективная» функция оценки v задает отображение из множества пар {<иоложение, позиция>) в множество 3. В качестве значений выберем подмножество множества З2, состоящее из шести элементов: t <+,+> - «взаимоприемлемо» Т <+,0> - «односторонне приемлемо» В <+,-> - «противоречиво» N <0,0> - «нейтрально» F <0, -> - «односторонне неприемлемо» f <-,-> - «взаимонеприемлемо»

Далее будем обозначать это множество как 6.

Условие приписывания значений для отрицания задастся таблично:

А -пА

1 i

Т ¥

В В

N N

К Т

Г

Конъюнкция, как обычно, понимается как минимум значений ее составляющих. Примем, что функция оценки у6 ставит каждому положению, представленному в процессе аргументации, элемент га множества 6. Тогда определение корректного аргуметгтативного перехода примет следующий вид:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.3.1. А ► В о (у6(А) <6 г^В)).

Доказывается утверждение о совпадении новой шести-значной логики и четырехзначной логики Данна-Белнапа.

Последний четвертый параграф этой главы Обобщенная семантическая модель двух-субъектной аргументации посвящен конструированию модели полемического взаимодействия двух субъектов. Рассматривается самый простой вариант такой модели для так называемой двух-субъектной аргументации, основанной на множестве З2. Естественно распространить оценку комплексных (сложных) положений на элементы множества 9. Сделаем это покомпонентно, учитывая оценки, данные этим положениям каждым субъектом:

<а,, а2> д<РьР2>= <о<1&Рь а2&р2>; <«1, а2>у<р1,р2>= <а]УРь а-гч Р'г*', -|<аь а2> = <~аь ~аг>.

В результате получаем так называемую решетку 9. Интересная особенность этой решетки состоит в том, что ее можно рассматривать как би-решетку. В нашем случае

порядок «снизу — вверх» с наименьшим элементом 1тл наибольшим (является логическим порядком, а второй порядок «слева — направо» характеризует изменение в позициях субъекта от одного противоречия до другого, что соответствует максимальной смене позиции. Это сразу же предоставляет возможность для разведения двух базовых типов оценки аргументации — ее логической корректности и ее эффективности (в смысле изменения позиции су&ьекта).

Развиваемый формализм позволяет принять целый ряд полезных определений.

Пусть Ь - множество литералов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.4.1 в - множество возможных выступлений, удовлетворяющее следующим условиям:

(82) Ул,(л,е8=>5,сЬ);

(ЭЗ) V.?, Мр; й-г; или р] г

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.4.2. Множество реальных выступлений - это такое подмножество 8, что для всяких 5,-, 8] е в, имеет место ^ < о] = 4 + 1, удовлетворяющее условиям:

(Ш) 3 5/ (5; е и -.3 ^ (.*,< - существование первого выступления;

(И2) Э (.1, е в, и 1З ($,< ^)) - существование последнего выступления.

Пусть теперь \\'7 с в,2- множество реальных стадий аргументации, задаваемых индуктивно:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.4.4

(XVI) <зд>е\Уг;

(W2) <з„.1,з„> е \\'„ где п + 1 < I

Дополшггельно введем специальную итоговую стадию аргументации -такую что г \\'г. Итоговая стадия отличается от последней стадии (ЛУ,) и конструируется посредством специальной процедуры финализации.

Итак,

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.4.5. аргументативный фрейм *(это структура <L, S, S,. Sb S2, Si, Sf,W, иу >, удовлетворяющая сформулированным выше определениям и условиям.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.4.6. Пусть v - функция оценки, которая каждой пропозициональной переменной в каждом выступлении (возможном или реальном) ставит в соответствие элемент множества 3.

v(p, s,)=+ iff р е s,; v(p,s,) = - iff^P S Si)

v(p,Si) = 0 iff p £ Sill-^p £ S,.

Стандартным образом оценка распространяется на произвольную формулу Л.

Ассоциированная с оценкой функция приписывания значений || задается уже не на выступлениях субъектов, а па стадиях полемики, и представляет собой отображение из множества пар пропозициональных переменных и стадий полемики (в свою очередь представляющих собой пары выступлений двух разных субъектов) в множество 9.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.4.9. Структур а Ж = v, 1|>представляет собой модель аргументации.

Построенная модель аргументации не является в чистом виде логической, скорее она может быть охарактеризован как «пред-программный» продукт, поскольку ее задача - строго описать процесс реальной полемики и предложить формально эксплицируемые параметры и критерии оценки аргументации, что в большей степени соответствует парадигме логического программировахшя и искусственного интеллекта, чем логики.

Последняя девятая глава диссертационной работы Понятие как (релевантная) функция посвящена анализу понятийных структур, используемых в естественных рассуждениях. Начинается этот анализ в первом параграфе Логические теории понятия Фреге и Войшвилло с рассмотрения основных подходов к содержательной трактовке и формальной экспликации понятия.

В современной отечественной логической традиции превалирует концепция понятия Е.К. Войшвилло, активно разрабатываемая В.А. Бочаровым и В.И. Маркиным. Несомненным достоинством этой трактовки понятия является тот факт, что благодаря работам Войшвилло, Бочарова и Маркина теория понятия стала частью курса современной логики, для ее изложения используется аппарат символической логики, обеспечивающий не только точность и однозначность построений, но и возможность практических приложений теории понятия в логике и методологии научного познания.

По Е.К. Войшвилло, «понятие как форма (вид) мысли, или мысленное образование, есть результат обобщения предметов некоторого класса и мысленного выделения самого этого класса по определенной совокупности общих для предметов этого класса - и в совокупности отличительных для них - признаков»21. Примерно также понятие определяют В.А. Бочаров и В.И. Маркин. По Войшвилло, понятие представляет собой смыл общего имени, соответственно знаковыми формами для выражения понятий служат общие описательные имена. Говоря о языковой форме выражения понятий, Бочаров и Маркин указывают на универсалии - языковые конструкции вида: <сх., а2,..., и„>Л(и1, а2,..., а„), где префикс в угловых скобках указывает на род (универсум) предметов, а выражение А[аи а2,..., а„) - на видовое отличие. Понятие трактуется как смысл универсалии.

Согласно подходу Фреге, понятие представляет собой одноместную функцию, значением которой является истинностное значение. Понятие как особая разновидность функции играет фундаментальную роль в онтологии Фреге, состоящей из двух типов сущностей: объектов (включающих «Истинное» и «Ложное») и функций. Сильной стороной фрегевского понимания понятия является «встраиваемость» теории понятия в современное понимание логики. Примерно та же онтология, схожая трактовка смысла и значения языковых выражений продуцируют сходство подходов к теории семантических категорий и функциональному анализу языка.

2Я Войшвихтс Е.К. Понятие как форма мышления: логико-гносеологический анализ М., 19&9, к. 9э.

Во втором параграфе девятой главы Понятие и бестиновое лямбда-нсчііслсшіе развивается формализм бестипового лямбда-исчисления для представления понятий. Будем, следуя Фреге, понимать понятия как специфические функции, которые го исходного множества-универсума выбирают предметы по определенному признаку (закону). Такой подход позволяет трактовать понятийные функции как предметно-истинностные. При этом область определения предметно-истинностной функции представляет собой универсум соответствующего понятия, області, истинности (т.е. подмножество области определения, на котором функция принимает значение "истина") - объем понятия, а предикатор - содержание понятия.

Для выражения понятийных конструкций естественного языка средствами символического языка можно использовать аппарат X-абстракций. Пусть Ха . А(а) -синтаксическая формальная запись для понятия. Для сравнения атрибутивных и понятийных форм высказываний обогатим язык логики предикатов дополнительной операцией применения (функции к аргументу), называемой также аппликацией. Зададим аппликацию на множестве пар <лямбда-терм, константа>, ставящую їм в соответствие формулы языка логики предикатов. Выражение вида Х<Хі, ..., х„>Л(хі, *„) • к і, ..., к„ будем понимать как формалыгую эксачикациго процедуры подведения предметов, обозначенных константами кі, ..., к„, под понятие Х<хі, ..., х„>А(хі, ..., х„). Аппликативные формулы, полученные из предикатно-функциональных и реляционно-функциональных абстрактов, как раз и представляют формальную запись понятийных высказывашш. Их соотношение с обычными предикативными высказываниями устанавливает известное в комбинаторной алгебре требование р-конверсии: Х<х1г ...,х„>.А(хь ...,х„) • ки ..., к„ =А (*/,...,х„/кі, ...Д„).

Последний третий параграф этой главы Понятия и типовое лямбда исчисление представляет попытку построения исчисления понятий.

Рассмотрим вариант языка, содержащий индивидные переменные и константы, функциональные переменные и константы, специальные переменные по типам, символы лямбда-абстракции, функционального отображения (импликации —») и аппликации (приложения *)а также технические символы.

Пусть к..., к„— метапеременные для констант, vj, ..., v,„-метапсремешше для переменных, а А/,..., As - метапеременные для типов. Терм ft)

1. Произвольная переменная есть терм.

2. Произвольная константа есть терм.

3. Если ti и tj - термы, то ti'ti - терм.

4. Если ti- терм, a v - переменная, то ?.v. ti - терм.

Понятийный терм (Щ

1. Произвольная переменная есть понятийный терм.

2. Если к - функциональная константа, a v - индивидная переменная, то к • v есть понятийный терм.

3. Если v - функциональная перемешая, а к- индивидная константа, то v • к есть понятийный терм.

Тип

1. Произвольная переменная по типам есть тип.

2. Если Л, В - типы, то (А —► В) есть тип. Формула(Ф)

Если t - терм, а А - тип, то t: А - формула.

ПРАВИЛА ВЫВОДА:

Правила введение/исключения

—1>,: t; В [Г, у : А], где у свободна в t

X.a.t: (А — В) [Г]

-V t,:A-*B |Г1 Ь : А [А]

ti tj: В [Г, Д]

Правило перестановки характеристик

Per Ф [T.e.S.A]

Ф [Г,Н,0,Д]

Правила аппликации АррВ Ху .Ы : В Н

¿и: к [Г]

ЛррС Ъ.укЛ : В [Г] т-.В[Т]

Лрр1 о(ур5 . В [Г]

сйВ : В [Г], где о и 5 -произвольные термы или пустые символы. Теоремой системы является формула с пустой характеристикой зависимости. Построенное исчисление в первую очередь задумывалось как исчисление понятий, позволяющее формализовать процедуру подведения предмета под понятие, лежащую в основе образования так называемых понятийных форм высказываний. При бестиповом подходе эта процедура соответствовала (5-конверсии. Такая формальная экспликация позволяет решить сразу две проблемы: во-первых, впервые в теории понятия удается учесть процедурный подход, описав, как образуются поиятвдгые. формы высказываний, во-вторых, четко и однозначно решить вопрос о соотношении понятийных и предикативных форм высказываний, постулировав сводимость первых ко вторым.

В Заключении диссертации подводятся итоги исследования, формулируются полученные результаты и намечаются перспективы дальнейших исследований. Монография

Зайцев, Д.В. Обобщенная релевантная лопжа и модели рассуждении /Д.В. Зайцев. -М.: Креативная экономика, 2010. - 312 с. (13,3 а.л.)

Статьи в периодических изданиях, рекомендованных ВАК

1. Зайцев, Д.В. Релевантное отрицание и воображаемая логика Васильева / Д.В. . Зайцев // Вестник Моск. ун-та. Сер.7, Философия. - 1993. - № 5. - С. 20-30.

2. Зайцев, Д.В. Теория релевантного следования I: аксиоматика / Д.В. Зайцев // Логические исследования. -М., 1998. -Вып.5.-С. 119-128.

3. Зайцев, Д.В. Теория релевантного следования II: Семантика / Д.В. Зайцев // Логические исследования. -М., 1999.-Вып.6.-С. 109-115-,

4. Зайцев, Д.В. Теория релевантного следования III: Семантика/Д.В. "Зайцев // Логические исследования. - М., 2001. - Вып.8. - С. 38-50.

5. Зайцев, Д.В. Оценка аргументации: би-решеточная модель / Д.В. Зайцев // Вестник Рос. гос. ун-та им. Иммануила Канта. Сер. Гуманитарные науки. -Калининград, 2008. - № 6. - С. 11-17.

6. Зайцев, Д.В. Философская логика и аргументация / Д.В. Зайцев // ГТолигнозис. -2009. -№1.-С. 3-11.

7. Зайцев, Д.В. Обобщенные модели рассуждений, инференциальная многозначность и квази-матрицы / Д.В. Зайцев // Полигнозис. - 2010. - №1-2. - С. 116-125.

8. Zaitsev, D.V. Yet Another Semantics for First-Degree Entailment / Dmitry V. Zaitsev // Bulletin of the section of logic. - 1998. - Vol. 27, № lA. - P. 63-65.

9. Zaitsev, D.V. Two variations on the theme of "Useful Four-Valued Logic" / Dmitry V. Zaitsev H Journal of Multiple-Valued Logic and Soft Computing - 2005. - Vol. 11, JTa 3-4.-253-262.

10. Zaitsev, D.V. A few more Useftill 8-valied logics for reasoning with tetralattice EIGHT4 / Dmitry V. Zaitsev // Studia Logica. - 2009. - Vol. 92. - P. 265-280.

Статьи

1. Зайцев, Д.В. Moroz и солнце. Интерсубъективность в аргументации / Д.В. Зайцев, Н.В. Зайцева // Мысль : ежегодник С.-петерб. филос. о-ва. - 2006. - № 6. -С.110-120.

2. Зайцев, Д.В. Релевантная логика / Д.В. Зайцев, Е.А. Сидоренко // Новая философская энциклопедия. - М„ 2001.-Т. 3 . - С. 434 435.

3. Зайцев, Д.В. Логическое следование и выделенные значения / Д.В. Зайцев, Я.В. Шрамко // Логические исследования. - М., 2004. - Вып. 11. - С. 126-137

4. Зайцев, Д.В. Содержательная семантика системы Е, понятия реального и идеального типа и вопрос об экспликации противоречия познания в методологии науки / Д.В. Зайцев // Логико-философские исследовашш. - М., 1989. - Вып. 1. -С. 141-147.

5. Зайцев, Д.В. Интенсиональная конъюнкция и следование / Д.В. Зайцев // Логико-философские исследования. -М., 1991. - Вып. 2. - С. 52-61.

6. Зайцев, Д.В. Модальности и импликация / Д.В. Зайцев // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН 1997.-М, 1998.-С. 85-91.

7. Зайцев, Д.В. Теория релевантного следования И: Семантика // Логические исследования. Вып.6., М., 1999 (109-115)

8. Зайцев, Д.В. Отрицание / Д.В. Зайцев // Новая философская энциклопедия. - М 2001.-Т. З.-С. 180.

9. Зайцев, Д.В. Понятие: функциональный подход / Д.В. Зайцев // Я. (А. Слинин) и Мы : к 70-летию проф. Ярослава Анатольевича Слинина. -СПб, 2002 - С 169178.

10. Зайцев, Д.В. Информационная семантика системы R / Д.В. Зайцев // Логико-философские штудии-2. -Спб, 2003. - С. 47-56.

11. Зайцев, Д.В. Релевантная логика понятий/Д.В. Зайцев //Логика и ВЕК. : к 90-летию со дня рождения нроф. Войшвилло Евгения Казимировича. - М., 2003. - С. 130-138.

12. Зайцев, Д.В. Логика и аргументация / Д.В. Зайцев // Модели рассуждений - 1 : логика и аргументация. - Калининград, 2007. - С. 17-36.

13. Зайцев, Д.В. Обобщенная семантическая модель двухсубъектной аргументации / Д.В. Зайцев // Модели рассуждений - 2 : аргументация и рациональность. -Калининград, 2008. - С. 78-96.

14. Зайцев, Д.В. Аргумептативные рассуждения и логика / Д.В. Зайцев // Миссия интеллектуала в современном обществе. - Спб.: Изд-во С-петерб. ун-та, 2008. -С. 446-460.

15. Зайцев, Д.В. Истина, следование и современная логика / Д.В. Зайцев // Логическая семантика: перспективы для философии языка и эпистемологии : сб. науч. ст., посвященный юбилею Е.Д. Смирновой. - М. : Креативная экономика, 2011.-С. 109-125.

16. Zaitsev, D.V Relevant generalization starts Here (and Here = 2) / Dmitry Zaitsev, Oleg Grigoriev // Logic and Logical Philosophy. - 2010. - Vol. 19. - P. 329-340.

Подписано в печать:

12.03.2012

Заказ № 6797 Тираж - 100 экз. Печать трафаретная. Объем: 2 усл.п.л. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 wvvw.autoreferat.ru

Оглавление научной работы автор диссертации — доктора философских наук Зайцев, Дмитрий Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

I. РЕЛЕВАНТНАЯ ЛОГИКА ПЕРВОГО УРОВНЯ

Глава 1. Основные понятия

§1.1. Алгебра FDE.

§1.2. Язык и исчисления FDE.

§1.3. Семантика FDE

1.3.1. Австралийский план.

1.3.2. Американский план. Релевантная логика как многозначная.

1.3.3. Информационная семантика Войшвилло.

Глава 2. FDE: философско-методологические аспекты

§2.1. Американский план против Австралийского.

§2.2. Отрицание, истина и ложь.

§2.3. FDE как матричная логика.

§2.4. Еще раз об интуитивной семантике следования.

Глава 3. Обобщения первоуровневого следования

§3.1. Мультирешетки и полезная 16-тизначная логика

3.1.1. Логика Данна-Белнапа и понятие бирешетки.

3.1.2. Полезные 16-тизначные логики.

3.1.3. Инференциальная многозначность и обобщенные истинностные значения.

§3.2. Тетрарешетка 8: другой путь обобщения

3.2.1. Told values, marked values и reported values.

3.2.2. Тетрарешетка EIGHT4.

3.2.3. Логики, порождаемые а- и d-порядками.

§3.3. Классическая (релевантная) паранепротиворечивая и параполная логика

И. РЕЛЕВАНТНАЯ ЛОГИКА ВЫСОКОГО УРОВНЯ

Глава 4. Основные понятия

§4.1. Алгебра.

§4.2. Семантика.

§4.3. Исчисления

4.3.1. От FDE до Т, Е, R.

4.3.2. Импликативные фрагменты основных систем релевантной логики.

§4.4. Релевантная логика и теория комбинаторов

4.4.1. Элементы теории комбинаторов.

4.3.2. Комбинаторы и имликативные формулы.

Глава 5. Логико-семантические исследования

§5.1. Модально ста и импликация.

§5.2. Информационная семантика релевантной логики

5.2.1. Основания информационной семантики для основных систем релевантной логики.

5.2.2. Адекватность информационной семантики для системы R.

§5.3. Завершенный Американский план

§5.4.1. Семантика по Американскому плану для R, Ти Е.

§5.4.2. Семантика системы R, приближенная к Американской.

Глава 6. Теория чистого релевантного следования

§6.1. Выбор аксиом

6.1.1. Парадоксы релевантности.

6.1.2. Импликация и отрицание.

6.1.3. Импликация, отрицание и другие связки.

§6.2. Алгебра ТЕ.

§6.3. Теоретико-множественная семантика ТЕ.

§6.4. Комбинаторная семантика ТЕ.

III. РЕЛЕВАНТНАЯ ЛОГИКА И АРГУМЕНТАЦИЯ

Глава 7. Аргументация и логика

§7.1. Понятие аргументации.

§7.2. Основные подходы к теории аргументации.

§7.3. Логика в аргументации

7.3.1. Логическое и нелогическое в аргументации.

7.3.2. Аргументативный каркас и немонотонные рассуждения

7.3.3. Моделирование аргументативных рассуждений

Глава 8. Обобщенные релевантные модели аргументации

§8.1. Релевантная логика первого уровня и естественные рассуждения.

§8.2. Нестандартная 4-значная логика аргументации.

§8.3. Полезная 6-значная логика аргументации.

§8.4. Обобщенная семантическая модель двух-субъектной аргументации.

Глава 9. Понятие как (релевантная) функция

§9.1. Логические теории понятия Фреге и Войшвилло.

§9.2. Понятие и бестиповое лямбда-исчисление.

§9.3. Понятие и типовое лямбда-исчисление.

Введение диссертации2012 год, автореферат по философии, Зайцев, Дмитрий Владимирович

Чуть более ста лет назад, в 1908 году, увидела свет статья Лейтзена Эгберта Яна Брауэра «О недостоверности логических принципов», в которой молодой голландский ученый, совсем недавно защитивший докторскую диссертацию, представил широкой научной общественности свою . критику оснований классической математики, послужившую основой интуиционизма — нового направления в философии математики.

С этого момента ведет свое начало неклассическая логика — широкий спектр исследований в современной логике, связанных с отказом от принципов, лежащих в основе классической логики. Этот же момент стал, как выяснилось значительно позже, поворотным пунктом в развитии философской логики. С начала XX века философы-логики стали активно использовать строгий, математический аппарат символической логики для постановки и решения философских проблем.

В последующие годы неклассическая логика бурно развивалась. Возникали новые сферы применения и новые направления — нечеткая логика, немонотонная логика, динамическая логика, логика квантовой механики и т.п. Все более и более усложнялся формальный аппарат логики, постепенно менялась и проблематика исследований,, зачастую теряя прямую и непосредственную связь с философией. Так, модальная логика, ведущая свою историю еще от аристотелевской модальной силлогистики и изначальная представлявшая собой классический образец чисто философской логики, в конце XX века приобретает новые черты благодаря расширяющимся применениям в сфере computer science. В середине 70-х годов появился даже специальный термин «продвинутая модальная логика» (advanced modal logic) для обозначения современных исследований в сфере модальной логики, тесно связанных с развитием математики и компьютерных наук, в первую очередь направленных на проблемы разрешимости и сложности. Другой подобный пример той же тенденции дает многозначная логика, эволюционировавшая от моделирования аристотелевского опровержения логического фатализма в сторону изучения алгебраических структур, связанных с различными многозначными логиками, моделирования экспертных систем и формализации нечеткой (fuzzy) теории множеств. Важно отметить, что процесс диверсификации бренда «философская логика» сопровождался отвлечением от чисто философских проблем, которые, вызвав неклассическую логику к жизни, оказались в определенном смысле внешними по отношению к ней (поскольку были в большинстве своем поставлены в рамках более широкого философского дискурса).

Сегодня логика переживает новый этап развития, когда на смену экстенсивному развитию логики «вширь», характерному для начала прошлого века, приходит тенденция, направленная на преодоление «логического плюрализма», на развитие так называемых мета-логических исследований, позволяющих установить взаимоотношения между различными логическими теориями. Если, скажем, середина и вторая половина прошлого века — это время, когда новые логические теории, все возможные и невозможные разновидности и ответвления неклассической логики возникали чуть ли не каждый день, то в конце XX — начале XXI века картина меняется — постепенно исследовательский интерес склоняется к обобщению и классификации полученного множества «логик», к попыткам установления связей и отношений между разными логическими теориями, иногда даже сформулированным в разных языках.

Представляется, что кроме совершенно очевидного и ясного желания навести, наконец, «логический порядок», за этой тенденцией усматривается и более серьезное стремление найти ответ на вопрос, что же представляет собой сегодня философская логика, каков ее предмет, какое место она занимает в ряду так называемых наук о мышлении. В ходе таких исследований зачастую не только обобщаются и классифицируются ранее построенные логики — происходит своеобразный синтез, приводящий к появлению принципиально новых обобщенных логических теорий с нетривиальными свойствами, открываются новые перспективы. При этом старые, хорошо известные и стандартно определяемые логические понятия проявляются в новом свете, открывают себя с неожиданной точки зрения, которая была просто невозможна в рамках традиционного подхода.

Важно отметить ту роль, которую в этой новой парадигме исследований играет релевантная логика вообще и четырехзначная семантическая логика Данна-Белнапа для первоуровневого фрагмента релевантной логики в частности. Оказалось, что изящный формализм, первоначально предложенный для описания рассуждений абстрактного компьютера в условиях неполной и противоречивой информации, послужил методологической основой для целого комплекса исследований в современной философской логике и моделировании аргументативных рассуждений. Это произошло по целому ряду причин. Во-первых, релевантная логика представляет собой совокупность исчислений, свободных от парадоксов импликации и следования и в силу этого наиболее адекватно формализующих так называемые естественные рассуждения. Во-вторых, в ряду этих исчислений система первоуровневого релевантного следования отличается относительной простотой формальных построений и разрешимостью. В-третьих, разработанная М.Данном и Н. Белнапом алгебро-семантическая система объединила в себе сразу два отношения порядка — логический и информационный, что существенно расширило возможности применения этого семантического каркаса, послужив основой для построения так называемых би-решеточных логик. В-четвертых, способ порождения значений неклассической логики как элементов множества-степени некоторого исходного базового множества значений, использованный М.Данном и Н.Белнапом, положил начало новому подходу к обобщенным системам значения.

Одной из перспективных сфер приложения обобщенной релевантной логики представляется моделирование аргументативных рассуждений. Несмотря на отмеченное родство с логикой, судьба теории аргументации складывается принципиально по-другому. С одной стороны, хорошо известно, что исследования в области анализа аргументативной деятельности стимулировали возникновение логики. С другой — за прошедшие века логика успела сформироваться как вполне строгая наука, а теория аргументации, не уступающая логике количеством работ и персоналий, так и не превратилась в единую, общепризнанную научную дисциплину. С середины прошлого века теория аргументации переживает вторую молодость. Одной из причин активизации исследований в этой сфере является изменение в политическом устройстве послевоенного мира и потребности в новых стандартах полемической коммуникации. Другая причина повышенного интереса к аргументативному дискурсу связана с развитием искусственного интеллекта, логического программирования и computer science.

Обращение философов-логиков к моделированию аргументативных рассуждений имеет еще один важный бонус. В споре о том, изучает современная (философская) логика рассуждения или нет, оказывается возможным развитие третьей конструктивной линии, предлагающей современным исследователям просто снять этот непростой вопрос, обратив внимание на естественные рассуждения в полемике как одну из сфер приложения символической логики.

Именно такие пограничные исследования, направленные на обобщение, универсализацию, и через это — на открытие нового и поиск ответов на вечные философские вопросы, и определяют ближайшую перспективу логической семантики и, тем самым, делают актуальным данное исследование.

Объектом исследования являются естественные (аргументативные) рассуждения, используемые в широких полемических контексчтах.

Предметом исследования является представление этих рассуждений средствами обобщенной релевантной логики и ее расширений и модификаций.

Степень разработанности проблемы.

Релевантная логика, представляющая собой одно из направлений современной неклассической логики, окончательно сформировавшееся во второй половине 20-го века, возникла как вариант решения проблемы формализации логического следования и условной связи, то есть изначально была связана с задачей моделирования естественных рассуждений. Основы релевантной логики были заложены в работах В. Аккремана1, А. Андерсона2 и Н. Белнапа3. Дальнейшее развитие релевантной логики связано с вкладом Дж.М. Данна4, Р. Роутли5 и Р. Мейера6. В конце прошлого века были опубликованы фундаментальные исследования по релевантной логике, подготовленные целыми авторскими коллективами7. В нашей стране релевантная логика развивалась в работах Е.К. Войшвилло8, Е.А. Сидоренко9, В.А. Смирнова10, П.И. Быстрова11, B.JI. Васюкова12, В.М. Попова13, В.И. Шалака14, также нельзя не упомянуть принципиально важные для развития релевантной логики статьи Н.М. Емолаевой и A.A. Мучник15.

1 Ackerman, W. Bergundung einer strengen Implikation, The journal of symbolic logic, 1956, vol.21, pp.113-28.

2 Anderson, A.R. "Some Nasty Problems in the Formal Logic of Ethics" Nous 1967, Vol. l,pp 354-360

3 Anderson, A.R. and N. Belnap, 'A modification of Ackermann's "rigorous implication'", (abstract), Journal of Symbolic Logic, 1958, Vol.23, pp. 457-458.

4 Dunn, J. M.: The algebra of intensional logics, Doctoral Dissertation, University of Pittsburgh, Ann Arbor, 1966 (University Microfilms). Dunn, J.M.: An intuitive semantics for first degree relevant implications (abstract). The Journal of Symbolic Logic, vol. 36, pp. 362-363

Dunn, J. M.: Intuitive semantics for first-degree entailment and 'coupled trees', Philosophical Studies 29 (1976). Dunn J. M., Partiality and its Dual, Studia Logica 65:5-40,2000.

5 Richard Routley and Valerie Routley. Semantics of frstdegree entailment. Nous, 3:335-359, 1972. Routley R. The American plan completed: alternative classical-style semantics, without stars, for relevant and paraconsistent logics // Studia logica, vol. 43, pp. 131-158, 1984.

6 Meyer, R.K. New axiomatics for relevant logics - I. Journal of philosophical logic, 1974, vol.3, pp.53-86. Richard Routley and Robert K. Meyer. Semantics of entailment. In Hugues Leblanc, editor, Truth Syntax and Modality, pages 194-243. North Holland, 1973. Proceedings of the Temple University Conference on Alternative Semantics.

7 Routley R. Exploring Meinong's Jungle and Beyond. Philosophy Department, RSSS, Australian National University, 1980, Interim Edition, Departmental Monograph number 3. Routley R., R. with Plumwood, V., Meyer, R.K. and Brady,R. Relevant logics and their rivals. Part I. The basic philosophical and semantical theory, Atascadero, California, 1982. Anderson, A.R., Belnap, N.D., Jr. Entailment. The logic of relevance and necessity, vol.1, Princeton, 1975Anderson, A.R., Belnap, N.D., Jr., and Dunn, J.M. Entailment. The logic of relevance and necessity, vol.2, Princeton, 1992.

8 Войшвилло Е.К. Семантика релевантной логики и вопрос о природе логических законов // Разум и культура. Труды международного франко-советского коллоквиума. М., 1983. Войшвилло Е.К. Логическое следование и семантика обобщенных описаний состояний // Модальные и интенсиональные логики и их применение к проблемам методологии науки, М., 1984 Войшвилло Е.К. Философско-методологические аспекты релевантной логики, М.,1988. Войшвилло Е.К. Символическая логика. Классическая и релевантная. М., 1989.

9 Сидоренко Е.А. Логическое следование и условные высказывания. М., 1983. Сидоренко Е.А. Реляционная семантика релевантных исчислений. В Логические исследования. Вып.З. М., 1995, сс 53-71. Сидоренко Е.А. Релевантная логика. М., 2000

10 Смирнов В.А. Так называемы парадоксы материальной импликации и логические системы с понятием сильного вывода // Исследования логических систем. М., 1970 Смирнов В.А. Формальный вывод и логические исчисления. М., 1970.271 с.

11 См. например, Быстрое П.И. Нестандартный метод табличных конструкций для модальных и релевантных логик // Логические исследования. Вып. 1. М.: Наука 1993. сс 156-170

12 См., например, Васюков В.Л. MN-категории для релевантных логик//Логические исследования. Вып. 1. М.: Наука 1993. сс 114-124

13 Попов В.М. О разрешимости релевантной логики RAO // Модальные и интенсиональные логики (Тезисы координационного совещания). М, 1978 Аналитические формулировки и модели Крипке некоторых пропозициональных логик первопорядкового следования // Релевантные логики и теории следования. 2-ой Советско-финский коллоквиум по логике. М., 1979 Попов В.М. Система И.Е. Орлова и релевантные логики // Философские проблемы истории логики и методологии науки. М., 1986. 4.1, сс 93-98.

14 См., например, Шалак В И. На пути к категорией характеризации релевантной логики // Синтаксические и семантические исследования неэкстенсиональных логик. М.: Наука 1989. сс 112-120

15 Ермолаева Н.М., Мучник А.А. Модальные расширения логических исчислений типа Хао Вана // Исследования по формализованным

Подход к обобщению релевантной логики, основанный на операции взятия множества-степени от исходного множества значений и последующего обобщения функции приписывания значений, восходит к уже упомянутым работам Дж.М. Данна и Н. Белнапа. На современном этапе это направление развивается в работах Я. Шрамко и X. Ванзинга , а также С. Одинцова . В дальнейшем такой тип обобщения будем называть «релевантным обобщением».

Моделирование естественных, и в особенности аргументативных, рассуждений -тема огромного количества исследований. Условно эти работы можно разделить на три направления. Во-первых, исследования, ориентированные на практическое применение в аргументативной коммуникации и переговорном процессе. В этом отношении весьма показательны результаты, полученные голландской школой прагма-диалектики, возглавляемой Ф. ван Еемереном18 Во-вторых, работы посвященные построению формальных моделей аргументации. Здесь следует отметить исследования предпринимаемые Т. Бенч-Капоном, Г. Праккеном, Дж. Поллоком19, а также некоторые фундаментальные работы других специалистов20. В-третьих, исследования, ставящие своей задачей приложение аргументативного подхода к рассуждениям в computer science и искусственном интеллекте. В этом направлении формального моделирования аргументации выделяются работы Ф. Дунга с коллегами21, М. Гинзберга22 и В.К. Финна23. языкам и неклассическим логикам. М.: Наука, 1974, сс 172-193 Ермолаева H.M., Мучник А.А. Модальные логики, определяемые эндоморфизмами дистрибутивных решеток // Исследования по теории множеств и неклассическим логикам. М.: Наука, 1976, сс 229-246 Ермолаева Н.М., Мучник А.А. Функционально замкнутые 4-значные расширения булевой алгебры и соответствующие логики // Исследования по неклассическим логикам и теории множеств. М.: Наука, 1979, сс 229-246

16 Shramko, Y., Dunn, J. М. and Takenaka, Т.: The trilattice of constructive truth values, Journal of Logic and Computation 11 (2001), 761-788 Shramko, Y. and Wansing, H., Some useful 16-valued logics: How a computer network should think, Journal of Philosophical Logic 34,2005 Shramko, Y. and Wansing, H., 'Hyper-contradictions, generalized truth values and logics of truth and falsehood', Journal of Logic, Language and Information 15:403-424,2006. Shramko Y., and H. Wansing, Entailment Relations and/as truth values, Bulletin of the Section of Logic Volume 36:3/4 (2007), pp. 131-143

17 См., например, Odintsov S.P. On axiomatizing Sramko-Wansing's logic. Studia Logica (2009) 91:407-428

18 См., например, Еемерен Ф. ван, Гроотендорст Р.Б Аргументация, коммуникация и ошибки. — СПб.: Филологический факультет СПбГУ, 2002. - 160 с. Еемерен Ф. ван, Гроотендорст Р.Б Хенкеманс Ф.С. Аргументация: анализ, проверка, представление: Уч. пособие. - СПб.: «Васильевский остров», 1992. Еемерен Ф. ван. Современное состояние теории аргументации // Важнейшие концепции теории аргументации. СПб.: Филологический факультет СПбГУ, 2006, сс. 14-34

19 Например, Bench-Capon T.J.M., H. Prakken, Argumentation. In A.R. Lodder & A. Oskamp (eds.): Information Technology & Lawyers: Advanced technology in the legal domain, from challenges to daily routine. Berlin: Springer Verlag, 2006, 61-80. Pollock J L Defeasible Reasoning//Cognitive Science 1987,11,481-518 Prakken H. Logical Tools for Modelling Arguments. Kluwer, 1997.

20 Handbook of the Logic of Argument and Inference (Studies in Logic and Practical Reasoning) by D.M. Gabbay, North Holland, 2002. Kraus S., K. Sycara, and A. Evenchik. Reaching agreements throughs argumentation: a logical model and implementation. In Artificial Intelligence, 104: 1-69, 1998. Lodder, A., Herzog, A Dialaw: a dialogical framework for modelling legal reasoning. In In Proc. of the 5th International Conference on Artificial Intelligence (1995), pp. 146-155. ACM , New York. Hage, J.C., Verheij, B. Reason-based Logic: a logic for reasoning with rules and reasons. Law, Computers & Artificial Intelligence: 1994,3 (2-3), 171-209.

21 Например, Bondarenko, A. G., Dung, P. M., Kowalski, R. A., and Toni, F. An Abstract, Argumentation-Theoretic Approach to Default Reasoning. Articial Intelligence 93, 1-2 (1997), 63-101. Dung P.M., R.A. Kowalski, and F. Toni Dialectic proof procedures for assumptionbase,

Детальную информацию и обзор современной литературы можно найти в работе К.

Чезневара, А. Магвитмана и Р. Лои24.

Цель и задачи исследования.

Диссертационная работа преследует две основные цели:

1. Рассмотреть различные направления и соответствующие им варианты обобщения релевантной логики, выделив среди них те, которые могут служить основой для моделирования рассуждений.

2. На этой основе предложить формальные модели для представления естественных (в первую очередь, аргументативных) рассуждений.

Достижение поставленных целей предполагает решение ряда задач:

1.1. Рассмотреть различные варианты семантического и синтаксического построения релевантной логики.

1.2. Проанализировать перспективы развития семантического обобщения релевантной логики на основе содержательных семантик Е.К. Войшвилло, предложить варианты построения содержательных семантик для релевантной логики первого и более высоких уровней.

1.3. Развивая линию «релевантного обобщения», предложить обобщенные варианты релевантизированной логики Клини и гибридной «паранормальной» (параполной и паранепротиворечивой) логики с некоторыми классическими свойствами.

1.4. Критически проанализировать так называемые «американский» и «австралийский» планы построения семантик возможных миров для систем релевантной логики высокого уровня, построить вариант семантики, максимально приближенной к «американскому» варианту для системы R.

1.5. Построить синтаксически и семантически первоначальный вариант обобщенной чистой теории релевантного следования.

2.1. Осуществить критический анализ различных подходов к построению теории аргументации, дать определения основных терминов, характеризующих процесс аргументативных рассуждений.

2.2. На основе рассмотренных выше подходов к обобщению релевантной логике admissible argumentation. In Artificiallntelligence, 170: 114-159,2006.

22 См., Ginsberg, M.: Multivalued logics: A uniform approach to reasoning in AI, Computer Intelligence 4 (1988), 256-316.

23 См., например, Финн B.K. Стандартные и нестандартные логики аргументации I. // Логические исследования, выпуск 13, М., 2006, сс157-189.

24 Chesnevar, С.; Maguitman, A.; and Loui, R. Logical models of argument. ACM Computing Surveys, 2001, 32:337-383. предложить ряд обобщенных релевантных моделей аргументации. 2.3. Проанализировать основные подходы к формальной экспликации теории понятия и предложить варианты построения формальной теории понятия на основе идей комбинаторной логики и лямбда-исчислений.

§1.1. Алгебра РБЕ

Алгебраическая структура, соответствующая первоуровневой релевантной логике, представляет собой решетку Де Моргана, допускающую естественную интерпретацию.

Начнем с рассмотрения основных элементов искусственного (пропозиционального) языка некоторой теории и соответствующих им теоретико-множественных понятий.

Пусть пропозициональным переменным р, (/, и т.д. соответствуют множества а, Ь, и т.п. ситуаций, в которых истинны соответствующие высказывания. Для формул вполне естественно продолжить аналогию и сопоставить конъюнктивной формуле р & q множество ситуаций, образованное через пересечение исходных множеств а и Ь, соответствующих формулам ряд. Тогда дизъюнкции р v ц будет соответствовать объединение а и Ъ.

Несколько менее тривиален случай импликативных формул А -> В. Если понимать каждое вхождение импликации как аналог отношения выводимости и, следовательно, логического следования, то напрашивается такой перевод: "множество ситуаций, в которых истинен антецедент, включается в множество ситуаций, в которых истинен консеквент", то есть асб. Как известно, отношение включения представляет собой разновидность отношения частичного порядка <, поэтому последнее утверждение можно переписать в обобщенном виде следующим образом: а < Ъ.

Остановимся подробнее на условиях, которым удовлетворяет отношение частичного порядка: р1. а < а - рефлексивность; р2. если а<Ъи Ь <а, то а = Ь- антисимметричность; рЗ. если а<Ьи Ь<с, то а< с- транзитивность.

Следующий шаг будет заключаться в развитии предложенной выше методологии здравого смысла. Сформулируем условия, которым должны удовлетворять операции пересечения (о) и объединения (и), чтобы они выражали нашу логическую интуицию относительно истинности соответствующих формул логики высказываний. Все приведенные ниже условия достаточно очевидны. р4 п. (аг\Ь)< а, (аг\Ь)< Ь; р5 п. если д: < а и л: < Ъ, то х < (а п Ь); рб и. я < (д и Ь), Ъ < (а и Ъ); р7 и. если а < х и Ь < х, то (а и Ь) < х.

Получившаяся структура <Ь, <, п, и >, удовлетворяющая постулатам р1-р7, естественным образом оказывается решеткой. Проиллюстрируем это используя стандартные определения (см. [Плоткин 1991]).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.1 Решеткой называется частично упорядоченное множество Ь, если каждая пара элементов из Ь обладает точной верхней и точной нижней гранью.

Введем понятия верхней и нижней (точных) граней.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.2 (Верхняя грань) Если ВсЬиаеЬ, той - верхняя грань для В, если для всякого д: из В, х < а.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.3 (Точная верхняя грань) Верхняя грань, меньшая всякой другой верхней грани, есть точная верхняя грань.

Нижняя (точная) грань определяется двойственно.

Легко заметить, что рби, р7и гарантируют наличие верхней (точной) грани, а р4 п, р5 п, соответственно, - нижней (точной) грани.

Для того, чтобы продолжить аналогию с логикой, в число постулатов следует добавить дистрибутивность: р8 п и. а г\ (Ь и с) <(а п Ь) и с.

Решетки, удовлетворяющие этому постулату, принято называть дистрибутивными решетками. Следует заметить, что в указанном выше смысле практически каждой логике соответствует та или иная решетка. Получившаяся у нас решетка соотносима с позитивным фрагментом классической логики. Для установления полного соответствия нужно добавить в алгебраическую структуру дополнение и задать постулаты, которым оно будет удовлетворять. Результатом такого построения будет дистрибутивная решетка с дополнением.

Существует несколько различных способов охарактеризовать свойства дополнения, ассоциированного с классическим отрицанием. Ниже будет избран наиболее экономичный, однако позже мы вернемся к рассмотрению различных дополнений на дистрибутивной решетке.

Итак, интуиция относительно множества ->а (для удобства будем использовать значок -I как для обозначения отрицания, так и для теоретико-множественного дополнения, с соответствующими пояснениями, когда это необходимо) остается прежней: это множество ситуаций в которых истинно отрицание формулы, для которой область истинности (множество ситуаций) представляет множество а. Основным свойством, которым, по-видимому, должно обладать любое дополнение, чтобы считаться таковым, является та или иная форма контрапозитивности. Для дополнения, соответствующего классическому отрицанию, сформулируем это свойство в виде двух постулатов: р9 -п. а < -nb => b < -,я; plO -i.-ia<-ib=> b<a.

Можно показать, что из постулатов pl-plO получаются законы Де Моргана. В качестве примера рассмотрим demi. -1 (я о b)= -ifl u —>Ь и dem2. —>(а u b)= а n Ь, где а - b означает, что a <b & b < я. Докажем, что -л(я и Ь) < -,а о —>Ь. Пусть -i(я и Ъ). По р6, р9-10 -,(я и Ь) < ~>а и ->{а ué)< -i b. По р5, р2 -.(а и Ь)<-лаг\ -,6.

Характерной особенностью отрицания в классической логике является его "участие" в парадоксах материальной импликации: (р & —>р) zd q и qz>(p v -ip). Соответствующие постулаты для дополнения имеют вид: pli-. (яп-1я)<6; pl2-i. a<(b u -ib).

Другая фундаментальная структура, которую часто связывают с представлением логических систем, носит название алгебры. Алгебра — это система <S, и>, где S непустое множество элементов, а и - множество операций: S => S. Для классической логики соответствующей структурой будет булева алгебра <D, n , и, -.> удовлетворяющая следующим свойствам: bl. а n а = a; a u а - я;

Ь2. anb = br\a; я и 6 = 6 и я;

ЬЗ. я n (6 о с) = (я n b) п с; а ис)=(я иб) ис;

Ь4. я n (а и Z>) = я; я и (я n 6) = я;

Ь5. —I—¡я = я;

Ь6. -.(я nb) = -,a и-16; -п(я и ¿) = -пя n Ь7. (я и-,я) nô = i; (я п-1я) kj b = Ь.

Дополнительно можно ввести я n -чя = 0 и я и->я = 1, где 0 и 1 — соответственно, наименьший и наибольший элементы.

Если ввести по определению я<6ояп6 = я, легко показать, что булевой алгебре соответствует булева решетка.

Теперь вернемся к релевантной логике первого уровня. Избегание парадоксов при формализации логического следования для формул нулевой степени осуществляется за счет исключения из рассмотрения парадоксальных формул типа А —» В, где или А отрицание тавтологии, или В тавтология, или и то и другое вместе. Желаемый эффект достигается тем, что в системе певоуровневого следования классические тавтологии перестают быть теоремами. Если внимательно, с "релевантной" точки зрения посмотреть на классические тавтологии, то легко заметить, что в них обязательно явно или не явно встречается отрицание: —>р v р, —i(p & —¡р). Даже если рассматривать импликативные формулы (скажем, р гэ р), то, учитывая функционально-полный характер связок классической логики, эту формулу можно будет выразить через v р.

Таким образом, переход от алгебраической структуры, соответствующей классической логике, к "релевантной" структуре связан с изменением дополнения, с которым ассоциировано отрицание. Более того, в силу установленного параллелизма между алгебраическими выражениями и выражениями языка классической логики, видно, что иррелевантный характер носят постулаты pli, р12. Простой отказ от них приводит к дополнению, удовлетворяющему р9-р10, которое носит название дополнения Де Моргана. Оказывается, что алгебраическая структура, представляющая собой дистрибутивную решетку с дополнением Де Моргана, то есть удовлетворяющая pl-plO, и называемая решеткой Де Моргана, соответствует системе первоуровневого следования. Важно отметить, что любая семантика системы FDE, которая вообще может быть построена, должна представлять собой, с алгебраической точки зрения, решетку Де Моргана.

Введем еще некоторые полезные алгебраические понятия.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.4. Кольцо - семейство подмножеств некоторого множества, содержащее вместе с любыми двумя множествами их теоретико-множественное пересечение и объединение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.5. Полем называется кольцо множеств, которое вместе с любым множеством содержит его дополнение.

Особый интерес для нас представляет утверждение о том, что любое кольцо в естественной упорядоченности является дистрибутивной решеткой.

В [Расева & Сикорский 1972] рассматривается непустое множество и, на котором задана инволюционная операция g: g(g(x)) = х. Пусть множество и замкнуто относительно операции квази-дополнения, заданной следующим образом: ~х = u/g(x), где / - теоретико-множественная разность, а х подмножество и. Тогда <Q(u), п, и, ~> - квази-поле, где Q(u) - кольцо подмножеств и. Квази-дополнение обладает всеми свойствами дополнения Де Моргана, и, следовательно, квази-поле множеств есть решетка Де Моргана.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.6. Непустое множество F элементов решетки L называется фильтром, если и только если (1) если л:, у е F, то л: n у е F и (2) если л: е F и j 6 L, tojcu je F.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.7. Простой фильтр - это фильтр, удовлетворяющий дополнительно свойству (3) если дсиуер, тодгеР или у е р.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.8. Фильтр Т на решетке Ь называется истинностным фильтром, если и только если он непротиворечив (не существует хеЬ такого, что д: е Т и —х £ Т) и полон (для всех д:еЬ либо х е Т, либо -л: е Т).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.9. Фильтр [©) — это главный фильтр (порожденный единичным множеством 0), если и только если [©) — это множество всех таких у, что 0< у, где < есть отношение порядка на Ь.

§1.2. Язык и исчисления первоуровневого следования.

Система первоуровневого релевантного следования известна под названием Efje или просто FDE от английского First-Degree Entailment. Первый вариант названия связан с тем, что эта система является фрагментом известной релевантной логики Е. Однако, как оказалось, первоуровневые фрагменты всех систем релевантной логики совпадают, и в том отношении система Е не имеет какого-либо приоритета, так название оказывается Efde не совсем корректным. Далее везде эта система будет называться FDE.

Известны разные формулировки этой системы. Иногда ее строят как систему выводимостей, иногда как систему с аксиомами (схемами аксиом). Последнее объясняется способом задания языка первоуровневой релевантной логики.

Пусть язык FDE Lfde включает следующие пропозициональные связки: конъюнкция, дизъюнкция и отрицание. Тогда определение формулы может быть представлено следующим образом: А-=р„ \-А \ (Aj ScAiftiAivAj)}

При таком построении языка естественно рассматривать в качестве синтаксического аналога релевантного следования отношение выводимости |-г. Соответственно, выражение вида А [> В; где А и В — формулы, далее будем называть выводимостью.

Схемы аксиом:

А h А; А&В |> А; А&В А |-rAvB; В |-r AvB;

А |-r -1-1А; —i—1/l |-г А.

Правила:

R1. АВ, Г \ГС => А, Г |-rC. R2. А^; А яГ=> Г\-,В.

R3. Г|>£; Г|-ГС; => Г|>Я&С. R4. Г,А\-,В^> Г, |>-u4.

R5. Г, А К С; Г, В f-rC=> Г, AvB |-гС.

Получившуюся систему легко переформулировать в виде системы натурального вывода FDEN с характеристиками зависимости формул от допущений. в:ЛГР1. ДГР1 8сщ-Л8сВ\ТУ] &и,^&ДГР1

А8сВ[Щ A[D] B[D] ув,;у4ГР1 ув?: ДГР] УкЩЩВУуЩ

AvB[ D] QD]

1 Данная форма записи носит название Bacus-Nauer Form (сокращенно BNF) и представляет собой часто применяемый способ записи индуктивно определяемых синтаксических выражений. Названа так в честь John Backus и Peter Naur, разрабатывавших удобный способ формальной нотации выражений языков программирования. Подробнее см. [Knuth, Donald Е. "Backus Normal Form vs. Backus Naur Form". Communications of the ACM 7 (12), 1964: 735-736.]

-■в: -|ДГА1. ДГР1 -.и: дистр: А&(ВуС№Л

А[Щ (А8сВ)чС{Щ

->в: БГА1 ->и:Л->2?Г-ЫГР1

А ->В[-]

Понятое вывода, доказательства, теоремы полностью соответствуют аналогичным, использованным Войшвилло при построении натуральных вариантов систем ЕДи т.д.[ ]. Единственное отличие - в характеристиках зависимости: теперь они представляют отдельную формулу.

Другой вариант построения той же системы получается, если исходный перечень символов языка Ь^е расширить символом релевантной импликации. При этом формула определяется так, что допускается вхождение релевантной импликации только в качестве главного знака. Такому подходу к построению языка соответствует система РОЕ со схемами импликативных формул. Понятие импликативной формулы либо вводится по определению (если в число исходных символов включается импликация): если А, В — формулы, то А -»В - импликативная формула; либо понимается как сокращение - \-А —>В <г>А\В.

А1. (А&В) ->А; А2. (А&В) ->Я; АЗ. А ->(АуВ)\ А4. В -> (А\гВ)\ А5.А& (ВыС) (А8сВ)УС\ А6. А ->-,-и4; А7. -1-1А ->А.

Правила вывода:

III. А В —>С; К2.А ->В.А ->С: А -»С А ->(В8сС)

КЗ. А ->С. В ->С; К4. А ;

А\/В) -»С -пВ

Вывод в ББЕ - непустая конечная последовательность импликативных формул, где каждая импликативная формула есть либо одна из посылок, либо получена подстановкой в схемы, либо получена из предыдущих по правилам.

Доказательство в ББЕ - вывод из пустого множества посылок.

Интересно отметить важную особенность этой системы. В любой из ее формулировок отсутствует правило М.Р, а значит, ее теоремами являются только импликативные выражения. Таким образом, даже если принять определение материальной импликации через дизъюнкцию и отрицание, оказывается, что не все законы классической логики высказываний доказуемы в FDE.

Возможны и другие аксиоматические формулировки системы первоуровневого релевантного следования. Стоит отметить так называемую Логику Де Моргана, эквивалентную FDE. Ее формулировка приведена в [Routley & Plumwood etc. 1982]. Система Де Моргана получается естественным образом при аксиоматизации соответствующей алгебраической структуры, которая была рассмотрена выше.

§1.3. Семантика FDE

Существует несколько альтернативных подходов к построению семантик системы FDE. В современной литературе по релевантной логике кроме алгебраических семантик принято выделять среди теоретико-множественных семантик два основных плана построения: Американский и Австралийский. Территориальное разделение представляется достаточно условным, поскольку семантики американского плана были построены как в работах американцев Н.Белнапа и М.Данна ([Belnap 1977а], [Belnap 1977b], [Dunn 1966], [Dunn 1971], [Dunn 1976]), так и в трудах нашего соотечественника Е.К.Войшвилло ([Войшвилло 1983], [Войшвилло 1988]. Австралийские семантики развиты благодаря усилиям австралийца Р.Роутли, американца Р.Майера ([Routley & Meyer 1973]) и новосибирского логика и математика Л.Л.Максимовой ([Максимова 1970]). В нашей стране широкую известность получили так называемые информационные семантики Е.КВойшвилло, которые можно отнести с известной долей условности к двузначной разновидности американского плана.

Семантики австралийского плана в основном известны в нашей стране по статьям Л.Л.Максимовой и единственной переведенной работе Р.Роутли и Р.Мейера [Раутлей & Мейер 1981]. Все эти публикации отражают первые ранние результаты, достигнутые в релевантной логике в начале 70-х. С этого времени не только появилось много новых интересных работ, но и достаточно большой прогресс был достигнут в методах доказательства метатеорем, были наработаны приемы, ставшие стандартными для семантик релевантной логики. Многие технические результаты, представленные в данной работе (в особенности, касающиеся систем R и Е), получены с использованием таких методов и приемов.

Заключение научной работыдиссертация на тему "Обобщенная релевантная логика и модели рассуждений"

Заключение

Научная новизна диссертационного исследования состоит в том, что впервые в отечественной литературе систематически излагаются подходы к обобщению релевантной логики и предлагаются модели естественных рассуждений, основанные на этих подходах.

На защиту выносятся следующие новые научные результаты:

1. На основе определения логического следования через информационный порядок построена семантика для первоуровневой релевантной логики, обобщающая подход Е.К. Войшвилло, доказана ее адекватность.

2. С использованием процедуры «релевантного обобщения» на основе восьми-элементной тетра-решетки построена семантическая логика с двумя типами пропозициональных связок, предложена ее аксиоматизация, доказана адекватность.

3. Построена семантически паранепротиворечивая и параполная логика, представляющая собой гибрид логики Данна-Белнапа и классической импликативной логики, предложена ее адекватная аксиоматизация.

4. Построена информационная семантика, представляющая собой обобщение аналогичной семантики Е.К. Войшвилло для системы релевантной логики И., продемонстрирована ее адекватность.

5. Построена семантика возможных миров, максимально приближенная к так называемому «американскому плану», для системы релевантной логики Я, доказана ее адекватность.

6. Аксиоматически построена обобщенная чистая теория релевантного следования, предложены теоретико-множественная и комбинаторная семантики получившейся системы, доказана их адекватность.

7. Критически рассмотрены основные подходы к построению теории аргументации, выявлены особенности аргументативных рассуждений, предложена и обоснована авторская трактовка аргументации.

8. На основе обобщения классических истинностных значений построена формальная четырех-значная модель аргументации, предложена ее аксиоматизация в виде исчисления выводимостей.

9. Семантически построена шести-значная обобщенная логика аргументации, показана ее совпадение по множеству валидных выводимостей с логикой Данна-Белнапа.

10. Предложена обобщенная семантическая модель двух-субъектной аргументации, предполагающая формальную экспликацию модифицируемых аргументативных

262 рассуждений.

11. Критически проанализированы основные подходы к логико-философской трактовке и формальной экспликации понятий.

12. Предложены варианты построения формальных теорий понятия на основе типового и бестипового лямбда-исчисления.

Теоретическое и практическое значение диссертации. С теоретической точки зрения, в диссертационной работе, во-первых, систематизированы основные результаты, связанные с использованием обобщенной и/или модифицированной релевантной логики в качестве основы для моделирования естественных рассуждений, во-вторых, предложены различные варианты обобщенных релевантных моделей процесса аргументации и аргументативных рассуждений.

Полученные результаты могут быть использованы при чтении общих и специальных курсов по теории и практике аргументации, неклассической (релевантной и многозначной) логике и логической семантике.

Возможна и практическое приложение полученных результатов в логическом программировании и проекте искусственного интеллекта.

Важно отметить, что между двумя ключевыми для этой работы конструкциями — обобщенной релевантной логики и модели рассуждений - существует достаточно устойчивая связь. Пожалуй, главный тезис этой работы состоит в том, что обобщенная (в указанных выше смыслах) релевантная логика является одним из наиболее адекватных, если не самьм адекватным, формальным средством моделирования естественных, и в том числе аргументативных, рассуждений. Соответственно, основной результат предпринятого исследования, на мой взгляд, заключается в обоснование этого тезиса — практически все формальные построения, осуществленные в первой и второй частях работы, находят свое применение в третьей части в качестве материала для построения моделей аргументации.

Список научной литературыЗайцев, Дмитрий Владимирович, диссертация по теме "Логика"

1. Андреева, Г.М. Социальная психология / Г.М. Андреева. - М. : Наука, 2001.-324 с.

2. Аншаков, О.М. Логические средства экспертных систем типа ДСМ / О.М. Аншаков, Д.П. Скворцов, В.К. Финн // Семиотика и информатика. -М., 1986.- Вып. 28.-С. 65-101.

3. Аристотель. Сочинения. В 4 т. Т.2 / Аристотель. М. : Мысль, 1978. -685 с.

4. Барендрегт, X. Бестиповое ^-исчисление / X. Барендрегт // Справочная книга по математической логике. М., 1983. - Ч. 4. - С. 278-318.

5. Белнап, Н. Как нужно рассуждать компьютеру / Н. Белнап // Логика вопросов и ответов / Н. Белнап, Т. Стал. М., 1981. - С. 208-239.

6. Биркгоф, Г. Теория решеток / Г. Биркгоф ; пер. с англ. В. Н. Салий. М. : Наука, 1984.-568 с.

7. Болотов, А.Е. Ученый и время / А.Е. Болотов, Д.В. Зайцев // Вестник Моск. ун-та. Сер.7, Философия. 1993. - № 5. - С. 3-8.

8. Бочаров, В.А. Введение в логику : учеб. / В. А. Бочаров, В. И. Маркин. -М.: Форум : ИНФРА-М, 2008. 553, 1. с . : ил.

9. Бочаров, В.А. Основы логики / В.А. Бочаров, В.И. Маркин. М. : Космополис, 1994. - 271,1. с. : ил.

10. Ю.Бочаров, В.А. Понятие, суждение, мысль / В.А. Бочаров // Смирновские чтения : 3 междунар. конф. М., 2001. - С. 109-111

11. Н.Бочаров, В.А. Понятия, их формы и схемы / В.А. Бочаров //

12. Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке : материалы VII Общерос. науч. конф. СПб., 2002. - С. 214-216.

13. Брюшинкин, В.Н. Обобщенная системная модель аргументации / В.Н. Брюшинкин // Аргументация и интерпретации. Исследования по логике, истории философии и социальной философии. Калининград, 2006.-С. 11-17.

14. Брюшинкин, В.Н. Системная модель аргументации / В.Н. Брюшинкин // Трансцендентальная антропология и логика : тр. междунар. семинара «Антропология с современной точки зрения» и VIII Кант, чтений. -Калининград, 2000. С. 133-155.

15. Ванзинг, Г. Логика компьютерных сетей / Г. Ванзинг, Я.В. Шрамко // Логические исследования . М., 2005. - Вып. 12. - С. 119-145.

16. Войшвилло, Е.К. Логика как часть теории познания и научной методологии . В 2 кн.. Кн. 1 / Е. К. Войшвилло, М. Г. Дегтярев. М. : Наука, 1994.-310 с.

17. Войшвилло, Е.К. Логическое следование и семантика обобщенных описаний состояний / Е. К. Войшвилло // Модальные и интенсиональные логики и их применение к проблемам методологии науки. М., 1984. - С. 183-192.

18. Войшвилло, Е.К. Понятие / Е. К. Войшвилло. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1967.-284 с.

19. Войшвилло, Е.К. Понятие как форма мышления : логико-гносеологический анализ / Е. К. Войшвилло. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989.-238 с.

20. Войшвилло, Е.К. Релевантная логика как этап развития логики, ее философское и методологическое значение / Е. К. Войшвилло // Логические исследования. М., 1993. - Вып. 1. - С. 143-156.

21. Войшвилло, Е.К. Семантика релевантной логики и вопрос о природе логических законов / Е. К. Войшвилло // Разум и культура : тр. междунар. франко-совет. коллоквиума. М., 1983. — С. 69-76.

22. Войшвилло, Е.К. Символическая логика. Классическая и релевантная : филос.-методол. аспекты / Е. К. Войшвилло. М. : Высшая школа, 1989.- 149 с.

23. Войшвилло, Е.К. Философско-методологические аспекты релевантной логики / Е. К. Войшвилло. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1988. — 139 с.

24. Вригт, Г.Х. фон. Логика и философия в XX веке // Вопросы философии. 1992. - № 8. - С. 80-91.

25. Герасимова, И.А. Введение в теорию и практику аргументации. М. : Логос, 2007.-312 с.

26. Герасимова, И.А. Практический курс по аргументации / И. А. Герасимова ; Рос. акад. наук. Ин-т философии, Гос. ун-т гуманитар, наук. М.: ИФ РАН, 2003. - 237, 1. с.

27. Девяткин, Л.Ю. Неклассические определения логического следования // Смирновские чтения по логике : материалы 5-ой конф. М., 2007. - С. 26-27.

28. Еемерен, Ф. X. ван. Аргументация: анализ, проверка, представление : учеб. пособие / Франс X. ван Еемерен, Роберт Гроотендорст,

29. Франциска Сноецк Хенкеманс. СПб. : Филол. фак. СПбГУ, 2002. -160 с.

30. Еемерен, Ф.Х. ван. Аргументация, коммуникация и ошибки : пер. с англ. / Франс X. ван Еемерен, Роб Гроотендорст. — СПб. : Васильевский остров, 1992.-207 с.

31. Еемерен, Ф. X. ван. Современное состояние теории аргументации / Франс X. Еемерен // Важнейшие концепции теории аргументации. -СПб.: Филол. фак. СПбГУ, 2006. С. 14-34.

32. Ермолаева, Н.М. Модальные логики, определяемые эндоморфизмами дистрибутивных решеток / Н.М. Ермолаева, A.A. Мучник // Исследования по теории множеств и неклассическим логикам. М.: Наука, 1976. - С. 229-246.

33. Ермолаева, Н.М. Модальные расширения логических исчислений типа Хао Вана / Н.М. Ермолаева, A.A. Мучник // Исследования по формализованным языкам и неклассическим логикам. М.: Наука, 1974.-С. 172-193.

34. Ермолаева, Н.М. Функционально замкнутые 4-значные расширения булевой алгебры и соответствующие логики / Н.М. Ермолаева, A.A. Мучник // Исследования по неклассическим логикам и теории множеств. М. : Наука, 1979. - С. 298-315.

35. Зайцев, Д.В. Американская семантика R без звезды / Д.В. Зайцев // Материалы X Всесоюзной конференции "Логика, методология, философия науки". Минск, 1990. - С. 14-23

36. Зайцев, Д.В. Аргументативные рассуждения и логика / Д.В. Зайцев // Миссия интеллектуала в современном обществе. Спб.: Изд-во С-петерб. ун-та, 2008. - С. 446-460.

37. Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке : тез. докл. конф. СПб., 1996. - С. 15-23.

38. Зайцев, Д.В. «Если., то» новая интерпретация / Д.В. Зайцев //

39. Зайцев, Д.В. Логическое следование и выделенные значения / Д.В. Зайцев, Я.В. Шрамко // Логические исследования. М., 2004. - Вып. 11. -С. 126-137

40. Зайцев, Д.В. Обобщенная релевантная логика и модели рассуждений / Д.В. Зайцев. М.: Креативная экономика, 2010. - 312 с.

41. Зайцев, Д.В. Обобщенные модели рассуждений, инференциальная многозначность и квази-матрицы / Д.В. Зайцев // Полигнозис. — 2010. -№1-2.-С. 116-125.50.3айцев, Д.В. Отрицание / Д.В. Зайцев // Новая философская энциклопедия. М., 2001. - Т. 3. - С. 180.

42. Знаменская H.A. Паранормальная логика PContPComp как пересечение паранепротиворечивой логики PCont и параполной логики РСотр /

43. H.A. Знаменская, B.M. Попов // Шестые Смирновские чтения по логике : материалы междунар. науч. конф. М., 2009. - С. 63-65.

44. Зайцев, Д.В. Релевантная логика понятий / Д.В. Зайцев // Логика и

45. B.E.K.: к 90-летию со дня рождения проф. Войшвилло Евгения Казимировича. М., 2003. - С. 130-138.

46. Зайцев, Д.В. Теория и практика аргументации : учеб. пособие. М.: ИД «ФОРУМ» ; ИНФРА-М, 2007. - 224 с.62.3айцев, Д.В. Теория релевантного следования I: аксиоматика / Д.В. Зайцев // Логические исследования. М., 1998. - Вып.5. - С. 119-128.

47. Зайцев, Д.В. Теория релевантного следования II: Семантика / Д.В. Зайцев // Логические исследования. М., 1999. - Вып.6. — С. 109-115.

48. Зайцев, Д.В. Теория релевантного следования III: Семантика / Д.В. Зайцев // Логические исследования. М., 2001. - Вып.8. - С. 38-50.

49. Зайцев, Д.В. Философская логика и аргументация / Д.В. Зайцев // Полигнозис. -2009. №1. - С. 3-11.

50. Ивин, A.A. Теория аргументации : учеб. пособие / А. А. Ивин. М.: Гардарики, 2000. - 414 с.

51. Ивлев, Ю.В. Теория и практика аргументации / Ю.В. Ивлев. М. : Проспект, 2009. - 288 с.

52. Ишмуратов, А.Т. О паранепротиворечивой логике / А.Т. Ишмуратов, A.C. Карпенко, В.М. Попов // Синтаксические и семантические исследования неэкстенсиональных логик. М., 1989. - С. 261-284.

53. Карпенко, A.C. Введение в многозначную пропозициональную логику / A.C. Карпенко. М. : ИФ РАН, 2003 - 112 с.

54. Карпенко, A.C. Истинностные значения: что это такое? / A.C. Карпенко // Исследования по неклассическим логикам. М.: Наука, 1989. - С. 3853.

55. Карпенко, A.C. Предмет логики в свете основных тенденций ее развития / A.C. Карпенко // Логические исследования. М., 2004. — Вып. 11.-С. 149-171.

56. Карри, Х.Б.Основания математической логики / Х.Б. Карри. М. : Мир,1969.-528 с.

57. Критическое мышление, логика, аргументация : сб. ст. /Калинингр. гос. ун-т, Каф. философии и логики.; Моск. гос. ун-т им М. В. Ломоносова ; под. ред. В. Н. Брюшинкина, В. И. Маркина. -Калининград : изд-во Калинингр. гос. ун-та, 2003. 172, 1. с.: ил.

58. Кузина, Е.Б. Лекции по теории аргументации / Е. Б. Кузина. М. : Изд-во Моск. ун-та, 2007. - 136 с.

59. Максимова, Л.Л. Некоторые вопросы исчисления Аккермана / Л.Л. Максимова // Доклады АН СССР. 1967. - Т.175, № 6. - С. 1222-1224.

60. Максимова, Л.Л. О ^-теориях / Л.Л. Максимова // Алгебра и логика,1970. Т9, № 5. - С. 320-325.

61. Максимова, Л.Л. Семантика и теоремы отделения для логических исчислений Е и R / Л.Л. Максимова // Алгебра и логика. — 1971. Т.10, №4.-С. 232-241.

62. Орлов, И.Е. Исчисление совместности предложений / И.Е. Орлов // Математический сборник. 1928. - Т. 35, вып. 3/4. — С. 263-286.

63. Панкратов, Д.В. О некоторых модификациях логики аргументации / Д.В. Панкратов // Научно-техническая информация. Сер. 2., Информационные процессы и системы — 1999. № 1-2. - С. 76-82.

64. Плоткин, Б.И. Универсальная алгебра, алгебраическая логика и базы данных / Б. И. Плоткин. М. : Наука, 1991. - 446 с. : ил.

65. Погожина, И.Н. Экспериментальное исследование влияния личностных особенностей коммуникатора на убедительность аргументации / И.Н. Погожина, A.A. Панкратова // Вестник Моск. ун-та. Сер. 14, Психология. 2005. - № 4. - С. 43-48.

66. Попов, В.М. Аналитические формулировки и модели Крипке некоторых пропозициональных логик первопорядкового следования // Релевантные логики и теории следования : материалы 2-го Советско-фин. коллоквиума по логике. М., 1979. - С. 47-51.

67. Попов, В.М. О разрешимости релевантной логики RAO / В.М. Попов // Модальные и интенсиональные логики. М., 1978. - С. 115-119.

68. Попов, В.М. Система И.Е. Орлова и релевантные логики / В.М. Попов // Философские проблемы истории логики и методологии науки. М., 1986.-4.1.-С. 93-98.

69. Расева, Е. Математика метаматематики / Е. Рассева, Р. Сикорский. М. : Наука, 1972.-591 с.

70. Роутлей Р. Семантика следования / Р. Раутлей, Р. Мейер // Семантика модальных и интенсиональных логик. М., 1981. - С. 363-423.

71. Сидоренко, Е.А. Логическое следование и условные высказывания / Е. А. Сидоренко. М.: Наука, 1983. - 173 с.

72. Сидоренко, Е.А. Релевантная логика : предпосылки, исчисления, семантика / Е. А. Сидоренко. М.: ИФРАН, 2000. - 243 с.

73. Сидоренко, Е.А. Реляционная семантика релевантных исчислений / Е. А. Сидоренко // Логические исследования. М., 1995. - Вып. 3. - С. 5371.

74. Смирнов, В.А. Логические методы анализа научного знания / Е.А. Смирнов. М. : Наука, 1987. - 263 с.

75. Смирнов, В.А. Логические методы сравнения научных теорий / Е.А. Смирнов // Вопросы философии. 1983. - № 6. - С. 80-90.

76. Смирнов, В.А. Теория логического вывода / В. А. Смирнов. М. : РОССПЭН, 1999.-318 с.

77. Смирнов, В.А. Формальный вывод и логические исчисления / Е.А. Смирнов. М. : Наука, 1972. - 272 с.

78. Смирнова, Е.Д. Логическая семантика и философские основания логики / Е.Д. Смирнова. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1986. - 160 с.

79. Смирнова, Е.Д. Логика и философия / Е.Д. Смирнова. М. : Росспэн, 1996.-299,3. с.

80. Сорина, Г.В. Принятие решений как интеллектуальная деятельность / Г.В. Сорина. 2-е изд. - М. : Канон +, 2009. - 272 с.

81. Стяжкин, Н.И. Формирование математической логики / Н.И. Стяжкин. М. : Наука, 1967. - 508 с.

82. Финн, В.К. О некоторых модификациях логики аргументации / В.К Финн, Д.В. Панкратов // Смирновские чтения : 2 междунар. конф. -М., 1999.-С. 29-34

83. Финн, В.К. Об интеллектуальном анализе данных / В.К. Финн // Новости искусственного интеллекта. 2004. - № 3. - С. 3-18

84. Финн, В.К. Об одном варианте логики аргументации / В.К. Финн // Научно-техническая информация. Сер. 2., Информационные процессы и системы 1996. - № 5-6. — С. 3-19.

85. Финн, В.К. Синтез познавательных процедур и проблема индукции / В.К. Финн // Научно-техническая информация. Сер. 2., Информационные процессы и системы 1999. - № 1-2. - С. 8-45.

86. Финн, В.К. Стандартные и нестандартные логики аргументации I. / В.К. Финн // Логические исследования. М., 2006. - Вып. 13. - С. 157-189.

87. Фишер, Р. Путь к согласию, или Переговоры без поражения / Роджер Фишер, Уильям Юри. М. : Наука, 1992. - 158 с.

88. Фреге, Г. Логика и логическая семантика : сб. тр. / Готлоб Фреге ; пер. с нем. В.Б. Бирюкова. М. : Аспек-Пресс, 2000. — 512 с.

89. Фреге, Г. Логические исследования / Готлоб Фреге. Томск : Водолей, 1997.- 127 с.

90. Фреге, Г. Логические исследования. Часть третья: структура мысли / Готлоб Фреге / / Логика и логическая семантика: сб. тр. / Готлоб Фреге. М., 2000. - С. 356-370.

91. Фреге, Г. Размышления о смысле и значении / Готлоб Фреге // Логика и логическая семантика : сб. тр. / Готлоб Фреге. М., 2000. — С. 247-252.

92. Шалак, В.И. Альтернативное определение логического следования / В.И, Шалак // Логические исследования. — М., 2006. -Вып. 13. С. 274-286.

93. Швырев, B.C. Теория / B.C. Швырев // Новая философская энциклопедия : в 4 т. М.: Мысль, 2001. - Т. 4. - С. 42-45.

94. Шрамко, Я.В. Логическое следование и интуиционизм : проблема релевантизации интуиционистской логики / Я.В. Шрамко ; НАН Украины; Институт философии. — Киев : ВИЛО Л, 1997. — 179с.

95. Шрамко, Я.В. Обобщенные истинностные значения: решетки и мультирешетки / Я.В. Шрамко // Логические исследования. М., 2002. -Вып. 9.-С. 264-291.

96. Шрамко, Я.В. Релевантная логика сохраняет не-ложность (чисто семантическое доказательство) / Я.В. Шрамко // Вестник Моск. ун-та. Сер. 7, Философия. 1994. - №1. - С. 61-64.

97. Abbot, J.C. Semi-Boolean algebra / J.C. Abbot // Matematichiski Vesnik. 1967. - № 4 (19). - P. 177-198.

98. Ackerman, W. Bergiindung einer strengen Implikation / W. Ackerman // The Journal of symbolic logic. 1956. - Vol.21, № 2. - P. 113-28.

99. Alternative logics. Do sciences need them? / ed. by Paul A. Wiengartner. Berlin ; Heidelberg ; New York : Springer, 2003. — 361 p.

100. Amgoud, Leila. Agents that argue and explain classifications / Leila Amgoud, Mathieu Serrurier // Journal of autonomous agents and Multi-Agents Systems. 2008. - Vol.16, № 2.- P. 187-209.

101. Amgoud, Leila. A formal framework for handling conflicting desires / Leila Amgoud // 7th European Conference on symbolic and quantitative approaches to reasoning with uncertainty (ECSQARU-2003). Aalborg, 2003. - P. 552-563.

102. Amgoud, Leila. On bipolarity in argumentation frameworks / Leila Amgoud, Claudette Cayrol, Marie-Christine Lagasquie, Pierre Livet // International journal of intelligent systems. 2008. - Vol. 23. — P. 1-32.

103. Amgoud, Leila. A reasoning model based on the production of acceptable arguments / Leila Amgoud, Claydette Cayrol // Annals of mathematics and artificial intelligence. 2002. - № 34. - P. 197-215.

104. Anderson, Alan Ross. Entailment : the logic of relevance and necessity. In 2 vol. / by Alan Ross Anderson, Nuel D. Belnap, Jr.; with contributions by J. Michael Dunn. Princeton (N.J). : Princeton University Press, 1975-1992.

105. Anscombre, J.C. L'argumentation dans la langue / Jean-Claude Anscombre, Oswald Ducrot. Bruxelles : P. Mardaga, 1983. - 184 p. : ill.

106. Aqvist, Lennart. A new approach to the logical theory of interrogatives / Lennart Aqvist. Uppsala, 1965. — 221 p.

107. Arieli, O. Bilattices and paraconsistency / O. Arieli, A. Avron // Frontiers of paraconsistent logic / ed. by Diderik Batens . et al.. -Baldock, Hertfordshire (England), 2000 P. 11-27.

108. Arieli, O. Logical bilattices and inconsistent data / O. Arieli, A. Avron. // Proceedings 9th IEEE Annual Symposium on logic in computer science, IEEE Press. Edinburg, 1994. - P. 468^76.

109. Arieli, O. Reasoning with logical bilattices / O. Arieli, A. Avron // Journal of logic, language and information. 1996. - Vol.5, №1. - P. 25-63.

110. Atkinson, K. Justifying practical reasoning / K. Atkinson, T. Bench-Capon, P. McBurney // Workshop on computational models of natural argument (CMNA). Valencia, 2004. - P. 87-90.

111. Avron, Arnon. The structure of interlaced bilattices / Arnon Avron // Mathematical structures in computer science. Cambridge, 1996. - № 6. — P. 287-299.

112. Barendregt, H.P. Lambda calculi with types / H.P. Barendregt // Handbook of logic in computer science. Vol. 2. - Oxford , 1992. - P. 4184.

113. Barendregt, H.P. The lambda calculus : its syntax and semantics / H.P. Barendregt.- Amsterdam ; New York : North-Holland Pub. Co. ; New York : Sole distributors for the U.S.A. and Canada Elsevier North-Holland, 1981. -xiv, 615 p. : ill.

114. Barth, E.M. From axiom to dialogue : a philosophical study of logics and argumentation / E.M. Barth, E.C.W. Krabbe. Berlin ; New York : W. de Gruyter, 1982. - xl, 337 p.

115. Belnap, N.D. A useful four-valued logic / N.D. Belnap // Modern uses of multiple-valued logic / ed. by J. M. Dunn, G. Epstein. Dordrecht, 1977.- P. 8-37.

116. Belnap, N. D. How a computer should think / N.D. Belnap I I Contemporary aspects of philosophy / ed. by G. Ryle. Stocksfield, 1977 -P. 30-55.

117. Bench-Capon, Trevor J.M Argument based explanation of the British Nationality act as a logic program / T.J.M. Bench-Capon, F.P. Coenen, P. Orton // Computers, law and AI. 1993. - Vol. 2, № 1. - P. 53-66.

118. Bench-Capon, Trevor J.M. Argumentation / T.J.M. Bench-Capon, H. Prakken // Information technology & lawyers : advanced technology in the legal domain, from challenges to daily routine. Berlin, 2006. — P. 61-80.

119. Bench-Capon, Trevor J.M. Computational models, argumentation theories and legal practice / T.J.M. Bench-Capon, J.B. Freeman, H. Hohmann, H. Prakken // Argumentation machines : new frontiers in argument and computation. Boston, 2004. - 85-120.

120. Bench-Capon, Trevor J.M. Deep models, normative reasoning and legal expert systems / T.J.M. Bench-Capon // Proceedings of 2nd International Conference on AI and the law. Vancouver, 1989. — P. 37-45.

121. Bench-Capon, Trevor J.M. Developing heuristics for the argument based explanation of negation / T.J.M. Bench-Capon, P.H. Leng // Logic programs proceedings of the AAAI-Workshop on computational dialectics. -Seattle, 1994.-P. 1-8.

122. Bench-Capon, Trevor J.M. Persuasion in practical argument using value-based argumentation frameworks / T.J.M. Bench-Capon // Journal of Logic and Computer. 2003. - Vol. 13, №3. - P. 429-448.

123. Bench-Capon, Trevor J.M. PLAID Proactive legal assistance / T.J.M. Bench-Capon, G. Staniford // Proceedings of the Fifth International Conference on AI and law. - New York, 1995. - P. 81-88.

124. Bench-Capon, Trevor J.M. Support for policy makers: formulating legislation with the aid of logical models / T.J.M. Bench-Capon // 1st International Conference on AI and the Law. Boston, 1987. — P. 181-189.

125. Bench-Capon, Trevor J.M. Using toulmin's argument schema to explain logic programs / T.J.M. Bench-Capon, D.Lowes, A.M. McEnery // Knowledge based systems. 1991. - Vol. 4, No 3. - P. 177-183.

126. Bench-Capon, Trevor. J.M. Value based argumentation frameworks / T.J.M. Bench-Capon // Proceedings of non monotonic reasoning. -Toulouse (France), 2002. Vol.24. - P. 444-453

127. Beziau, Jean-Yves. Universal logic / Jean-Yves Beziau // Logica-94. Proceedings of the 8th International Symposium. Prague, 1994. - P. 73-93.

128. Beziau, Jean-Yves. What is "formal logic" Электронный ресурс. / Jean-Yves Beziau // Revista Brasileira de Filosofla. 2009. - № 232.

129. URL: http://www.ivb-logic.org/ivb-form-final-sp.pdf (дата обращения: 26.02.2012).

130. Bialynicki-Birula, A. On the representation of quasi-Boolean algebras / A. Bialynicki-Birula, H. Rasiowa // Bulletin de l'Academie Polonaise des Sciences. 1957. - Classe 3, № 5. - P. 259-261.

131. Bochman, A. Biconsequence relations: a four-valued formalism of reasoning with inconsistency and incompleteness / A. Bochman // Notre Dame : Journal of Formal Logic. 1998. - Vol. 39, № 1. - P. 47-73.

132. Bochman, A. Explanatory nonmonotonic reasoning / Alexander Bochman. -Hackensack, NJ : World Scientific, 2005. xiv, 408 p.

133. Bondarenko, A. G. An abstract, argumentation-theoretic approach to default reasoning / A.G. Bondarenko, P. M. Dung, R. A Kowalski, F. Toni // Articial Intelligence. 1997. - Vol. 93. - № 1-2. - P. 63-101.

134. Bergman, Christina. Jason: a Java-based Agent Speak interpreter used with saci for multi-agent distribution over the net / Christina Bergman, Manoela Ilic. Lisboa, 2005. - 22 p.

135. Bunder, M.W. Combinators, proofs and implicational logics / M.W. Bunder // Handbook of philosophical logic / ed. by D.M. Gabbay and F. Guenthner. Dordrecht; Boston, 2002.- P. 229-286.

136. Cayrol, C. On decision problems related to the preferred semantics for argumentation framework / C.Cayrol, S. Doutre, M. Jerome // Journal of logic and computation. -2003. Vol. 13, № 3. - P. 377-403.

137. Chesnevar, C. Logical models of argument / C. Chesnevar, A. Maguitman, R. Loui //ACM Computing Surveys. 2001. - Vol. 32. - P. 337383.

138. Church, Alonco. The calculi of lambda-conversion / Alonzo Church. -Princeton : Princeton university press, 1941. — 77 p., ill.

139. Curry, H.B. Combinatory logic. In 2 vol. / Haskell B. Curry, Robert Feys. Amsterdam : North-Holland Pub. Co., 1958-1972.

140. Curry, H.B. Functionality in combinatory logic / Haskell B. Curry // Proceedings of National Academy of Science USA. 1934 - № 20. - P. 584-590.

141. Dijkstra, P. Towards a multi-agent system for regulated information exchange in crime investigations / P. Dijkstra, F.J. Bex, H. Prakken, C.N.J. De Vey Mestdagh // Artificial Intelligence and Law. — 2005. — Vol. 13. P. 133-151.

142. Dunn, J. M. The algebra of intensional logics : PhD diss. / J. Michael Dunn ; University of Pittsburgh. Ann Arbor, 1966. - 177 p.

143. Dunn, J.M. Algebraic Methods in Philosophical logic / J. Michael Dunn, Gary M. Hardegree. Oxford ; New York : Oxford University Press, 2001.-xv, 470 p. : ill.

144. Dung, P. M. An Argumentation theoretic foundation of logic programming / Phan Ming Dung // Journal of Logic Programming. — 1995. -Vol. 22, №2.-P. 151-177.

145. Dung, P. M. An argumentation semantics for logic programming with explicit negation / Phan Ming Dung // OCLP'93 : proceedings of the tenth international conference on logic programming on Logic programming. -Cambridge (MA), 1993. P. 616-630.

146. Dunn, J.M. Combinators and structurally free logic / J.Michael Dunn, R.K. Meyer // Logic Journal of IGPL. 1997. - Vol. 5, № 4. - P. 505-537.

147. Dung P.M. A Dialectic procedure for skeptical assumption-based argumentation / P.M. Dung P.M., P. Mancarella, F. Toni // First International Conference on Computational Models of Argument (COMMA 2006). Liverpool, 2006. - P. 112-127.

148. Dung, P.M. Dialectic proof procedures for assumptionbase, admissible argumentation / P.M. Dung, R.A. Kowalski, F. Toni // Artificial Intelligence. 2006. - Vol. 170. - P. 114-159.

149. Dunn, J. M. Intuitive semantics for first-degree entailment and "coupled trees" / J. Michael Dunn // Philosophical Studies. 1976. - Vol. 29.-P. 149-168.

150. Dunn, J.M. An intuitive semantics for first degree relevant implications (abstract) / J. Michael Dunn // The Journal of Symbolic Logic. -1971.- Vol. 36. P. 362-363.

151. Dung, P. M. On the acceptability of arguments and its fundamental role in nonmonotonic reasoning and logic programming and n-person games / Phan Ming Dung // Artificial Intellegence. 1995. - Vol. 77, № 2. - P. 321-357.

152. Dunn, J.M. Relevance logic / J. Michael Dunn, G. Restall// Handbook of Philosophical Logic. 2nd ed. - Dordrecht, 2002. - Vol. 6. — P. 1-136.

153. Dunn, J.M. Relevance logic and entailment//Handbook of Philosophical Logic / J. Michael Dunn / ed. by D.Gabbay and F.Guenthner. 1986.-Vol. 3.-P. 117-224.

154. Dung, P. M. Two party immediate response disputes: properties and efficiency / P. M. Dung, T.J.M. Bench-Capon // Artificial Intelligence. -2003. Vol. 49. - P.221-250.

155. Ferguson, K. G. Monotonicity / Keneth G. Ferguson // Practica reasoning argumentation. 2003. - Vol. 17, № 3. - P. 335-346.

156. Fitting, M. Bilattices and the semantics of logic programming / Melvin C. Fitting // Journal of Logic Programming. 1991. - Vol. 11. - P. 91-116.

157. Fitting, M. Bilattices and the theory of truth / Melvin C. Fitting // Journal of Philosophical Logic. 1989. - Vol. 18. - P. 225-256.

158. Fitting, M. Bilattices are nice things / Melvin C. Fitting // Self-Reference : CSLI publications / ed. by V. F. Hendricks, S. A. Pedersen, T. Bolander. Cambridge, 2004. - P. 53-77

159. Fitting, M. Bilattices in logic programming / Melvin C. Fitting // The Twentieth International symposium on multiple-valued logic. Charlotte (North Carolina), 1990. - P. 238-246.

160. Fitting, M. Kleene's logic, generalized / Melvin C. Fitting // Journal of Logic and Computation. 1991. - Vol. 1, № 6. - P. 797-810.

161. Fitting, M. Kleene's three-valued logic and their children / Melvin C. Fitting // Fundamenta Informaticae. 1994. - Vol. 20. - P. 113-131.

162. Frankowski, S. Formalizing a plausible inference / S. Frankowski // Bulletin of the Section of Logic. 2004. - Vol. 33. - P. 41-52.

163. Ginsberg, M. Multi-valued logics / Matthew Ginsberg // Proceedings of AAAI-86 : Fifth National Conference on Artificial Intellegence. Los Altos, 1986.-P 243-247.

164. Ginsberg, M. Multivalued logics: a uniform approach to reasoning / Matthew Ginsberg // Computer Intelligence. 1988. - Vol. 4. - P. 256-316.

165. Girard J.-Y. Linear logic / J.-Y. Girard // Theoretical Computer Science. 1987. -Vol. 50. - P. 1-101.

166. Gordon, T.F. The Carneades model of argument and burden of proof / T.F. Gordon, H. Prakken, D.N. Walton // Artificial Intelligence. 2007. -Vol. 171.-P. 875-896.

167. Gordon, T.F. Oblog-2: a hybrid knowledge representation system for defeasible reasoning / T.F. Gordon // Proceedings of the First International

168. Conference on Artificial Intelligence and Law (May 1987). New York, 1987.-P. 231-239.

169. Gordon, T. F. The pleadings game : an artificial intelligence model of procedural justice / Thomas F. Gordon. Dordrecht; Boston : Kluwer Academic Publishers, 1995. - xiii, 245 p.

170. Gottwald, S. A treatise on many-valued logics / Siegfried Gottwald. — Baldock (Hertfordshire, England) ; Philadelphia (PA) : Research Studies Press, 2001.-xii, 604 p.

171. Groenendijk, J. Questions / J. Groenendijk, M. Stokhof// Handbook of Logic and Language / ed. by Johan van Benthem, Alice ter Meulen. -Amsterdam, 1997.-P. 1055-1124.

172. Hage, J. C. Hard cases : a procedural approach / Jaap C. Haag, Ronald Leenes, Arno R. Lodder // Artificial Intelligence and Law. 1993. - Vol. 2, №2.-P. 113-167.

173. Hage, J. C. Monological reason based logic / Jaap C. Hage // Proceedings of the Fourth International Conference on Law and Artificial Intelligence. New York, 1993. - P. 30-39.

174. Hage, J. C. Reason-based Logic : a logic for reasoning with rules and reasons / Jaap C. Hage, Bart Verheij // Law, Computers & Artificial Intelligence. 1994. - Vol. 3. - № 2/3. - P. 171-209.

175. Hamblin, C.L. Questions / C.L. Hamblin // Australian Journal of philosophy. 1958. - № 36. - P. 159-68.

176. Hamblin, C.L. Questions in Montague English / C.L. Hamblin // Foundation of language. 1973. - № 10. - P. 41 -53.

177. Handbook of the logic of argument and inference : the turn towards the practical / ed. by Dov Gabbay . et al..- New York : Elsevier, 2002.792 p.

178. Harrah, D. The logic of questions / D. Harrah // Handbook of philosophical logic / ed. by D.M. Gabbay, F. Guenthner. Dordrecht, 1984. -Vol.2 - P. 715-764.

179. Hart, H.L. A. The ascription of responsibility and rights / Herbert Lionel Adolphus Hart // Proceedings of the Aristotelean Society. London, 1948.-Vol. 49.-P. 171-194.

180. Hindley, J. Rodgers. Introduction to combinators and X-calculus. / J. Roger Hindley, Jonathan P. Seldin. Cambridge Cambridgeshire. ; New York : Cambridge University Press, 1986. - 360 p.: ill.

181. Hindriks, K.V. Agent programming in 3 APL / Koen V. Hindriks, Frank S. De Boer, Wiebe Van der Hoek, John-Jules Ch. Meyer // Autonomous agents and multi-agent systems. 1999. - Vol.2., № 4. - P. 357-401.

182. Hintikka, J. New foundations for a theory of questions and answers / Jaakko Hintikka // Questions and Answers. Dordrecht, 1983. - P. 159190.

183. Hintikka, J. The semantics of questions and the questions of semantics. Helsinki, 1976. - 200 p. - (Acta Philosophica Fennica ; Fasc. XXVIII, №4).

184. Johnson, Ralph H. Logical self-defense / Ralph H. Johnson, J. Anthony Blair. Toronto ; New York : McGraw-Hill Ryerson, 1977. - xiv, 236 p.

185. Knuth, D. E. Backus normal form vs. Backus Naur-Form / Donald E. Knuth // Communications of the ACM. 1964. - Vol. 7, № 12. - P. 735736.

186. Kraus, S. Reaching agreements throughs argumentation: a logical model and implementation / S. Kraus, K. Sycara, A. Evenchik // Artificial Intelligence. 1998. - Vol. 104. - P. 1-69.

187. Lodder, A. Dialaw: a dialogical framework for modelling legal reasoning / A. Lodder, A. Herzog // Proceeding of the 5th International conference on "Artificial Intelligence and law". New York, 1995. - P. 146155.

188. Lodder, A. DiaLaw : on legal justification and dialogical models of argumentation / Arno R. Lodder. Dordrecht; Boston : Kluwer Academic Publishers, 1999.- xii, 198 p.

189. Loui, R.P. Defeat among arguments: a system of defeasible inference / R.P. Loui // Computational Intelligence. 1987. - Vol. 3, № 1. - P. 100106.

190. Loui, R. P Process and policy: resource-bounded nondemonstrative argument / R.P. Loui // Computational Intelligence. 1998. - Vol. 14, № 1. -P. 1-38.

191. Maksimova, L.L. An interpolation and separation theorem for the logical systems e and r / L.L. Maksimova // Algebra and Logic. 1971. -Vol. 10.-P. 232-241.

192. Maksimova, L. L. A semantics for the calculus E of entailment / L.L. Maksimova // Bulletin of the section of logic. 1973. - Vol. 2. - P. 18-21.

193. Malinowski, G. Q-consequence operation / G. Malinowski // Reports on mathematical logic. 1990. - Vol. 24. - P. 49-59.

194. Malinowski, G. Towards the concept of logical many-valuedness/ G. Malinowski // Folia Philosophica. 1990. - Vol. 7. - P. 97-103.

195. McCarty, L.T. A computational theory of legal argument: technical Report / L. T. McCarty, N. S. Sridharan // LRP-TR-13. Laboratory for Computer Science Research. New Brunswick, 1982. — P. 1-36.

196. Meyer R.K. A Boolean-Valued Semantics for R // Research Papers of Logic Group, Dept. oh Philosophy, Research School of Social Sciences, Australian National University, №4., 1979.

197. Meyer, R.K. Career inductive stops here (and here =2) / R.K. Meyer // Journal of philosophical logic. 1979. - Vol. 8. - P. 361-371.

198. Meyer, R.K. Intuitionism, entailment, negation / R.K. Meyer // Truth, Syntax and Modality / ed. by H.Leblanc. New York, 1973. - P. 168-198.

199. Meyer, R.K. New axiomatics for relevant logics / R.K. Meyer // Journal of philosophical logic. 1974. - Vol. 3. - P. 53-86.

200. Nute, D. Defeasible logics / D. Nute // Handbook of logic in Artificial Intellegence and logic Programming. Oxford, 1994. - Vol. 3. - P. 355395.

201. Odintsov, S.P. Constructive negations and paraconsistency / Sergei P. Odintsov. New York : Springer, 2008. - 228 p.

202. Odintsov, S.P. On axiomatizing Sramko-Wansing's logic / S.P. Odintsov // Studia Logica. 2009. - Vol. 91. - P. 407-428.

203. Parson, S. Agent that reason and negotiate by arguing / S. Parson, C. Sierra, N.R. Jennings // Journal of Logic and Computation. 1998. - Vol. 8, № 3. - P. 261-292.

204. Perelman, C. La nouvelle rhetorique: traite de 1'argumentation / C. Perelman, L. Olbrechts-Tyteca Bruxells : l'Universite de Bruxelle, 1958. -286 p.

205. Pollock, J. L. Defeasible reasoning / J.L. Pollock // Cognitive Science, 1987.-Vol. 11.-P. 481-518.

206. Pollock, J.L. How to reason defeasibly / J.L. Pollock // Artificial Intellegence. 1992. - Vol. 57. - P. 1-42

207. Pollock, J. Knowledge and justification / John L. Pollock. Princeton (N.J.) : Princeton University Press, 1974. - xii, 348 p.

208. Pollock, J. L. A theory of defeasible reasoning / J.L. Pollock // International Journal of Intelligent Systems Volume. 1991. - Vol. 6. — P. 33-54 .

209. Prakken, H. AI & Law : logic and argument schemes/ H. Prakken // Argumentation. 2005. - Vol. 19. - P. 303-320.

210. Prakken, H. Argument-based logic programming with defeasible priorities / H. Prakken, G. Sartor // Journal of Applied Non-classical Logics. 1997.-Vol. 7.-P. 25-75.

211. Prakken, H. Coherence and flexibility in dialogue games for argumentation / H. Prakken // Journal of Logic and Computation. — 2005. -Vol. 15.-P. 1009-1040.

212. Prakken, H. Dialogues about the burden of proof / H. Prakken, C. Reed, D.N. Walton // Proceedings of the Tenth International Conference on Artificial Intelligence and Law.- Bologna, 2005. P. 115-124.

213. Prakken, H. Logics for defeasible argumentation / H. Prakken, G.A.W Vreeswijk // Handbook of philosophical logic / ed. by D. Gabbay, F. Guenthner. Dordrecht; London, 2002. -Vol. 4. - P. 219-318.

214. Prakken, H. Logical tools for modelling legal argument: a study of defeasible reasoning in law / Henry Prakken. Dordrecht; Boston : Kluwer Academic Publishers, 1997. - xiii, 314 p.

215. Prakken, H. The role of logic in computational models of legal argument a Critical Survey / H. Prakken, G. Sartor // Computational logic: from logic programming into the future : in honor of Bob Kowalski. -Berlin, 2001 P. 342-380.

216. Prakken, H. The three faces of defeasibility in the law / H. Prakken, G. Sartor // Ratio Juris. 2004. - Vol. 17, №1.- P. 118-139.

217. Priest G. Introduction: paraconsistent logics / G.Priest, R. Routley // Studia Logica. 1984. - Vol.43, № 1/2. - P. 3-16.

218. Priest, G. Paraconsistent Logic / G.Priest // Handbook of philosophical logic / ed. by D. Gabbay, F. Guenthner. Dordrecht; London, 2002. - Vol. 6. - P. 287-393./i 11

219. Rahwan, I. Argumentation-base negotiation /1. Rahwan, S.D. Ramchurn, N.R. Jennings, P. McBurney, S. Parsons, and L. Sonenberg // The Knowledge engineering review. — Vol. 18, № 4. — P. 343-375;;

220. Rahwan I. On Interest-Based Negotiation / Iyad Rahwan, Liz Sonenberg, and Frank P.M. Dignum // Advances in Agent Communication. -2004.- Vol. 2922.-P. 383-401. ;

221. Ramsey, E.P. The foundations of mathematics and other logical essays / Frank Plumpton Ramsey ; ed. by R.B. Braithwaite. London : K. Paul, Trench, Trubner & Co, 1931.- xviii, 292 p.

222. Rao, A. S. Decision procedures for BDI logics / A.S. Rao, M. P. George // Journal of logic and computation. 1998. - Vol. 8, № 3. - P. 293342.

223. Rasiowa, H. The mathematics of metamathematics / H. Rasilova, R. Sikorski. Warszawa : Panstwowe Wydawn. Naukowe, 1963. - 519 p.

224. Rasiowa, H. An algebraic approach to non-classical logics / Helena Rasiliva. Warszawa : Polish Scientific Publishers, 1974. - xv, 403 p.

225. Relevant logics and their rivals : Part. 1 The basic philosophical and semantical theory / ed. by R.R. Routley, V. Plumwood, R.K. Meyer. -Atascadero (CA) : Ridgeview Pub. Co., 1982. 382 p :;;

226. Restall, G. Display Logic and Gaggle Theory / G. Restall // Reports on Mathematical Logic. 1995. - Vol. 29. - P. 133-146. /

227. Restall, G. An introduction to substructural logics / Greg Restall. -London ; New York : Routledge, 2000. xiv, 381 p.

228. Restall, G. A useful substructural logic / G. Restall // Bulletin of the Interest Group in Pure and Applied Logic. 1994. - Vol. 2, №2. - P. 135146.

229. Routley, R. The American plan completed: alternative classical-style semantics, without stars, for relevant and paraconsistent logics / Richard Routley // Studia logica. 1984. - Vol. 43. - P. 131-158.

230. Routley, R. Exploring Meinong's jungle and beyond : an investigation of noneism and the theory of items / Richard Routley.- Canberra : Research School of Social Sciences, Australian National University, 1980. xix, 1035 p.

231. Routley, R. Semantics of entailment / Richard Routley, Robert K. Meyer // Truth, syntax and modality : proceedings of the Temple University Conference on Alternative Semantics / ed. by Hugues Leblanc. — Amsterdam, 1973. P. 194-243.

232. Routley, R. Semantics of frstdegree entailment / Richard Routley, Valerie Routley // Nous. 1972. - Vol. 3. - P. 335-359.

233. Schonfinkel, M. Uber die Bausteine der matematischen Logik // Mathematischen Annalen. 1924. - Bd. 92. - P. 305-316.

234. Shramko, Y. Entailment Relations and/as truth values / Y. Shramko, H. Wansing // Bulletin of the Section of Logic. 2007. - Vol. 36, № 3/4. P. 131-143.

235. Shramko, Y. Hyper-contradictions, generalized truth values and logics of truth and falsehood / Y. Shramko, H. Wansing // Journal of Logic, Language and Information. 2006. - Vol. 15. - P. 403-424.

236. Shramko, Y. Some useful 16-valued logics: how a computer network should think / Y. Shramko, H. Wansing // Journal of Philosophical Logic. -Vol. 34, №2.-P. 121-153.

237. Shramko, Y. The trilattice of constructive truth values / Y. Shramko, J.M. Dunn, T. Takenaka // Journal of Logic and Computation. 2001. - Vol. 11.-P. 761-788.

238. Subrahmanian S.A general framework for reasoning about1 inconsistency / S. Subrahmanian, L. Amgoud // 20th International Joint Conference on Artificial Intelligence (IJCAI'2007). Hyderabad (India), 2007.-P. 505-599.

239. Thistlewaite, P.B. Automated theorem-proving in non-classical logics / Paul B. Thistlewaite, Michael A. McRobbie, Robert K. Meyer.- London : Pitman ; New York : Wiley, 1988. 154 p.: ill.

240. Toulmin, S.E. The uses of argument / Stephen E. Toulmin. — Cambridge (U.K.); New York : Cambridge University Press, 1958. xiv, 247 p.

241. Urquhart, A. Basic many-valued logics / A. Urquhart // Handbook of Philosophical Logic. 2002. - Vol. 2. - P. 253-254.

242. Verheij, В. Automated assistance for lawyers / B. Verheij // Proceedings of the Seventh International Conference of Artificial Intellegence and Kaw. London, 1999. - P. 43-52.

243. Vreesweijk, G.A.W. Absrtact argumentation systems / Gerard A. W. Vreesweijk // Artificial Intellegence. 1997. - Vol. 90. - P. 225-279.

244. Vreeswijk, G.A.W., H. Prakken. Credulous and Sceptical Argument Games for Preferred Semantics / Gerard A.W. Vreeswijk, Henry Prakken // Proc. JELIA'2000, pp 239-253. LNAI 1919, 2000.

245. Wajsberg, M. Metalogische Beiträge / WajsbergM. //Wiadomosci Matematyczne. 1937. - Vol. 43. - S. 131-168.

246. Wansing, H. A note on two ways of defining a many-valued logic / H. Wansing, Y. Shramko // Logica Yearbook. 2007 / ed. by M. Peils. Prague, 2008.-P. 255-266.

247. Wansing, H. Suszko's thesis, inferential many-valuedness, and the notion of a logical system // Studia Logica. 2008. - Vol. 88, № 3. - P. 405-429.

248. Wooldridge, M.l, On the meta-logic of arguments / M.J. Wooldridge, P. McBurney, S. Parsons // Proceedings of the fourth international joint conference on Autonomous agents and multiagent systems. — Brooklin (USA), 2005. -P.560-567.

249. Zaitsev, D.V. A few more Usefull 8-valied logics for reasoning with tetralattice EIGHT4 / Dmitry V. Zaitsev // Studia Logica. 2009. - Vol. 92. . -P. 265-280.

250. Zaitsev, D.V. Intuitive 'approximate' semantics for FDE /Dmitry V. Zaitsev // Шестые Смирновские чтения: материалы Международной научной конференции (Москва, 17-19 июня 2009). М., 2009. - С. 60

251. Zaitsev, D.V Relevant generalization starts Here (and Here = 2)1 Dmitry Zaitsev, Oleg Grigoriev // Logic and Logical Philosophy. 2010. -Vol. 19.-P. 329-340.

252. Zaitsev, D.V. Two variations on the theme of "Useful Four-Valued Logic" / Dmitry V. Zaitsev // Journal of Multiple-Valued Logic and Soft Computing 2005. - Vol. 11, № 3-4. - 253-262.

253. Zaitsev, D.V. Yet Another Semantics for First-Degree Entailment / Dmitry V. Zaitsev // Bulletin of the section of logic. 1998. - Vol. 27, № V2. - P. 63-65.61.