автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.01
диссертация на тему: Способ бытия и процессы формирования математических объектов

Полный текст автореферата диссертации по теме "Способ бытия и процессы формирования математических объектов"

На правах рукописи

ПУШКАРЕВ Юрий Викторович

СПОСОБ БЫТИЯ И ПРОЦЕССЫ ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

Специальность 09.00.01 - онтология и теория познания

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата философских наук

Новосибирск 2005

Работа выполнена на кафедре философии Новосибирского государственного педагогического университета

Научный руководитель - доктор философских наук, профессор СычеваЛюдмила Сергеевна

Официальные оппоненты: - доктор философских наук, профессор Райбекас Альберт Янович

- доктор философских наук, доцент Князев Николай Алексеевич

Ведущая организация - Новосибирская государственная академия экономики и управления

Защита состоится « £ » ¿._2005г. в ^& часов на заседании

диссертационного совета ДМ 212.249.01 при Сибирском государственном аэрокосмическом университете им. академика М.Ф. Решетнева по адресу: 660014, г. Красноярск, пр. им. газ. «Красноярский рабочий», 31, зал заседаний совета

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского государственного аэрокосмического университета

Автореферат разослан « ¿^Ус/и 2005г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат философских наук, профессор

В.И. Замышляев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования

Вопросы о том, что собой представляют математические объекты - число, линия, треугольник, обсуждаются в философии, начиная с Платона, и до сих пор не имеют позитивного решения. Обычно считают, что математические объекты - это идеальные объекты, существующие в особом сверхчувственном мире. Вехи на пути решения вопросов о том, где и как существуют такие объекты -номинализм, реализм, концептуализм - в средние века, неономинализм, неореализм, а также логицизм, формализм, интуиционизм, конструктивизм в первой половине XX века. Как показывает В.В. Целищев в недавно вышедших книгах1, споры о том, что собой представляют математические объекты и с помощью каких познавательных способностей их можно изучать, совершенно не затихают в современной философии математики. Существование математических объектов в особом идеальном мире требует и каких-то необычных интеллектуальных способностей человека, с чем трудно согласиться рациональным умам. Утверждение Эрмита о том, что математические объекты «существуют вне нас в силу той же необходимости, как и объекты реального мира, и мы их встречаем или их открываем и изучаем точно так, как это делают физики, химики или зоологи»2 не соответствует практике математической деятельности. Поэтому в диссертации принято два принципиальных решения: первое - автор присоединяется к начавшимся уже попыткам осознать сущность математических объектов как семиотических, т.е. как гуманитарных (связывая с математическими знаками правила оперирования с ними), и второе - нам представляется продуктивным предположение В.В. Целищева о том, что в рамках философии математики следует перейти от решения традиционных вопросов о природе математических объектов к эпистемологической ориентации этой дисциплины. Сказанное означает, что наряду с онтологическими вопросами о статусе математических объектов как гуманитарных, мы рассмотрим в диссертации вопросы теории познания - как именно возникают новые математические объекты, в частности, интеграл, какие познавательные процессы обусловливают и сопровождают возникновение интеграла и интегрального исчисления. История становления метода интегрирования, а только затем понятия интеграла, растянулась почти на две тысячи лет. В такой ситуации актуален вопрос, какие факторы с одной стороны, способствовали, а с другой - тормозили развитие данной области математики, ответа, на который до сих пор не существует. Таким образом, актуальность настоящего исследования определяется, как тем, что мы включаемся в обсуждение онтологических проблем (где и как существуют математические объекты), так и тем, что определенное решение о статусе математических объектов влечет за собой наш анализ теоретико-познавательных вопросов о процессах возникновения новых объектов в математике. При этом становление

1 Целищев В В Философия математики - Новосибирск, 2002, Целищев В В Онтология математики объекты и структуры - Новосибирск, 2003

2 Цит по Бурбаки Н Очерки по истории математики - М, 1963 - С 29

3

интегрального исчисления выступает для нас в качестве эмпирического материала для анализа гносеологических закономерностей возникновения нового в математике. Мы в этом случае следуем мысли И. Лакатоса о том, что история науки есть пробный камень методологии науки.

Степень разработанности проблемы исследования

Вопрос о предмете математических объектов в разные исторические эпохи в явной или неявной форме обсуждали Демокрит, Архимед, Пифагор, Платон, Аристотель - в Античности; Августин, Фома Аквинский, И.Росцелин, П .Абеляр

- в Средневековье; А.Гельвеций, Д.Дидро, Г.Лейбниц, И.Кант - в Новое время.

Философия математики, по мнению В.В. Целищева, есть часть философии, и в ней отражаются все те тенденции, которые свойственны всей философии. «Философия даже относительно элементарных ветвей математики

— это такая дисциплина, в которой ясно фокусируются теории о природе языка, знания, указания и истины. Стало очевидно, что традиционная философия математики столкнулась с дилеммами, обусловленными современной теорией познания, и, стало быть, мы имеем дело с эпистемологическим уклоном в философии математики»3. Для рассмотрения особенностей математических объектов большое значение имеет литература как по фундаменталистской, так и по нефундаменталистской философии математики. Классическая литература по философии математики может быть отнесена к фундаменталистскому направлению, в рамках которого вопросы механизмов развития математики, как правило, не затрагиваются. В настоящем исследовании важны те работы фундаменталистской философии математики, где ставятся вопросы о сущности математики, о способе бытия ее объектов. Это классические работы по обоснованию математики Б.Рассела, А.Н.Уайтхеда, Д.Гильберта, о математических структурах - Н.Бурбаки, исследования о природе математического знания Г.И.Рузавина, А.К.Сухотина, Е.А.Беляева, В.М.Розина, О.С.Розумовского, Н.А.Киселевой и др.

Нефундаменталистская философия математики начала формироваться в середине 60-х годов прошлого столетия под влиянием работ Т.Куна, М.Полани. В семидесятые годы толчком к ее развитию в западных академических кругах послужила дискуссия о применимости идей Т.Куна к изучению развития математики. Нефундаменталистская философия математики была нацелена не на изучение сущности математики или оснований математического знания, а на исследование тех норм и образцов, которым действительно следуют математики, на поиск реальных путей развития математического знания. Основная задача нефундаментализма - поиск общих схем, поиск закономерностей развития математики. К нефундаменталистскому направлению относятся работы таких отечественных и зарубежных авторов, как А.Г.Барабашев, В.В.Мадер, Б.С.Грязнов, И.С.Кузнецова, В.В.Целищев, П.Мэдди, Х.Филд, П.Бенацерраф и др. На стыке фундаменталистского и нефундаменталистского подходов написаны работы В.Я.Перминова.

В рамках нефундаменталистского направления большое значение приобретают исследования развития математики в широком социокультурном

3 Целищев В.В. Философия математики. - Новосибирск, 2002. - С. 37

4

контексте. Адекватная картина этого развития оказывается невозможной без учета влияния разнообразных социокультурных факторов. Исследования по истории математики последних десятилетий убедительно показывают, что развитие математики не несет в себе черты предопределенности и может существенно задаваться переменчивым культурным окружением.

Акцент на гуманитарное и социокультурное познание математики представлен в работах Д.У.Гиббса, В.П.Хавина, Р.Коллинза, Н.С.Розова, МАРозова, А.Г. Барабашева, А.А. Григоряна, Л.С.Сычевой, Р.К.Кадыржанова и др. В.П.Хавин утверждает, что математические объекты не могут иметь независимого существования вне рамок математического языка. Как бы не решался вопрос о статусе математических объектов, сами эти объекты доступны только через язык математики.

В 80-е годы XX века М.А.Розов предложил решение вопроса о способе бытия математических объектов в рамках теории социальных эстафет. По его мнению, «математические объекты не зависят от индивидуального человеческого сознания, ибо они в своем бытии обусловлены всем контекстом культуры, всей практикой человечества и противостоят отдельному человеку или целому поколению как явление не менее объективное, чем язык. Но, будучи явлением культуры, они и развиваются не по законам естественнонаучных объектов, а вместе с культурой и по ее законам»4. Анализ научного знания в рамках теории социальных эстафет исследуется в работах М.А.Розова, С.С.Розовой, Н.И.Кузнецовой, Л.С.Сычевой, С.Б.Шапошника, М.Ю.Веркутиса и других. Для достижения цели настоящего исследования актуальны работы по историографии математики А.П.Юшкевича, К.А.Рыбникова, В.С.Малаковского, В.В.Прасосова, В.К.Петросяна и др. Те или иные аспекты истории развития и становления дифференциально-интегрального исчисления разрабатывали Н.Н.Лузин, В.А.Никифоровский, Л.С.Фрейман, В.П.Хавин, Н.И.Симонов и др. Диссертация опирается также на анализ работ собственно исследователей и создателей математического анализа - Архимеда, И.Кеплера, Р.Декарта, Г.Лейбница и др.

Цель и задачи исследования

Цель исследования - изучить вопросы о способе бытия математических объектов и выявить процессы их формирования на базе использования теории социальных эстафет.

Для реализации этой цели предполагается решить следующие задачи:

1. проанализировать философские дискуссии о статусе математических объектов, выявить причины, обусловливающие непреходящую диску ссионность темы;

2. выявить онтологическую сущность математических объектов в рамках теории социальных эстафет;

3. проанализировать факторы возникновения интегрального исчисления как новой системы правил оперирования со знаками, для чего рассмотреть:

4 Розов М.А. Способ бытия математических объектов. // Методологические проблемы развития и применения математики. Сборник научных трудов. - М, 1985. - С.25

а) роль предметных наук в становлении новых разделов математики;

б) роль рефлексивных преобразований в возникновении новых объектов математики в условиях неведения;

в) влияние программ систематизации знаний (коллекторских программ) и ценностных ориентации фундаментальной и прикладной науки на формирование интегрального исчисления.

Объект исследования - математическое знание, в частности, математические объекты и математические теории.

Предмет исследования - способы бытия математических объектов и процессы формирования новых математических объектов, главным образом -интеграла и интегрального исчисления как нового раздела математики.

Теоретической и методологической основой исследования являются общие принципы и нормы научного рационального философского мышления. Наиболее значимыми для настоящей работы являются следующие общефилософские научные принципы: принцип культурно-исторической обусловленности знания; принцип системности, основой которого является целостное отображение исследуемой системы, междисциплинарный синтез, использование различных методов анализа, каждый из которых способствует раскрытию определенных сторон изучаемого объекта; принцип понятийного и концептуального конструктивизма. В качестве средства анализа использованы представления М.А. Розова о социальных куматоидах как онтологии гуманитарного познания.

Научная новизна исследования заключается в том, что впервые изучены процессы формирования новых математических объектов как становление новых традиций и правил оперирования со знаками (знаки, соответственно, тоже новые), что потребовало разработки как онтологических, так и гносеологических аспектов темы.

1. Ни в философии прошлого, ни в современной философии математики не получено общепринятое решение вопроса о статусе математических объектов. Непреходящая дискуссионность этих вопросов обусловлена тем, что не решен вопрос о способе бытия математических объектов - о том, где и как существуют математические знаки, что они обозначают.

2. Следует различать вопрос о способе бытия математических объектов, т.е. о способе их существования, который достаточно редко обсуждается, и вопрос, который постоянно возникает в дискуссиях (в частности, в интуиционизме) - какие математические объекты существуют, имеет ли смысл, например, говорить о существовании таких объектов, относительно которых доказаны только теоремы существования, но способ нахождения которых не известен.

3. Приняв во внимание дилемму Бенацеррафа («если математика представляет собой исследование объективных идеальных сущностей и если когнитивные способности человека позволяют ему познавать только чувственные объекты, то как он может познавать математические объекты?»), диссертант присоединился к относительно новой традиции - осознавать

математические объекты как род гуманитарных объектов, а именно - как социальные куматоиды.

4. Утверждение о том, что математические объекты - это социальные куматоиды, означает, что они представляют собой совокупность исторически сложившихся правил оперирования со знаками, фиксирующими количественные стороны реальности. Математические объекты - это семиотические объекты культуры, имеющие, как и все объекты культуры, особую онтологическую природу - программ, реализующихся на постоянно сменяющемся материале. В отличие от знаков обыденного языка особенность математических знаков состоит в том, что они представляют собой оперативные системы или - конструктор, - систему исходных элементов, связанных определенными операциями, позволяющими создавать из исходных новые объекты. В таком случае ответить на вопрос о появлении новых объектов в математике - значит выяснить, какие причины или факторы приводят к возникновению того или иного конструктора.

5. Выявлены следующие процессы, обусловливающие формирование интегрального исчисления как нового конструктора (новой программы или новой системы правил):

а) взаимодействие традиционных математических дисциплин и предметных наук, составляющих программно-предметный комплекс наук, в рамках которого дисциплины выделенных групп взаимно обслуживают друг друга - предметные дисциплины поставляют математике задачи, а она, в свою очередь, - разрабатывает методы их решения. Только в рамках комплекса дисциплины получают свое обоснование и завершение.

б) рефлексивные преобразования деятельности - переход от решения задач на вычисление площадей, объемов, проведения касательных, к задачам на создание исчисления, обоснования существенно новых процедур -интегрирования и дифференцирования. В результате рефлексивного переосмысления интегралы и дифференциалы превращаются из средства решения предметных задач в объект исследования и обоснования математической дисциплины (математического анализа);

в) функционирование коллекторской программы, которая организует знание вокруг новых референтов - интеграла, дифференциала. Нужно было освободить знание о новых математических объектах от подчинения предметным задачам и представить исчисление в чистом виде. Это важно потому, что ценности прикладной науки (а именно так выглядело при своем возникновении знание об интегралах) и ценности фундаментальной - различны. Прикладной науке важно, чтобы метод «работал», фундаментальная же наука стремится к знанию о новых объектах, к тому, чтобы ввести их в математику по канонам этой науки, тогда как сначала существование интегралов было оправдано тем, что с их помощью можно было вычислять площади и объемы.

Теоретическая и практическая значимость исследования

Теоретическое значение работы определяется, прежде всего, проведенным в ней философско-методологическим анализом актуальной проблемы способа бытия математического объекта. Работа имеет теоретический характер, и

полученные в ней результаты могут представлять интерес для философов, математиков и всех, кто интересуется философией математики и процессами ее становления и развития. Результаты проведенной работы могут быть использованы для дальнейшего гносеологического анализа вопросов о способе бытия математических объектов и механизмах их формирования.

Практическая значимость диссертационного исследования заключается в том, что полученные в нем результаты могут быть использованы при преподавании философии и методологии науки, теории познания, истории математической науки, а также в процессе дальнейшего совершенствования программ и тематических планов учебных дисциплин естественно-гуманитарного цикла.

Апробация работы

Результаты исследований, выполненных по теме диссертации, обсуждались на семинаре по эпистемологии и философии науки на кафедре философии НГУ и опубликованы в сборнике научных статей семинара «Гносеологический анализ представлений о реальности в науке»; также обсуждались на кафедре философии НГПУ и опубликованы в аспирантском сборнике Новосибирского государственного педагогического университета, составленном по материалам научных исследований аспирантов, соискателей, докторантов.

Отдельные аспекты диссертационного исследования представлялись на ежегодной международной студенческой конференции Новосибирского государственного университета «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2001,2004); обсуждались на региональной научной конференции молодых ученых Сибири в области гуманитарных и социальных наук «Перспективы гуманитарных и социальных исследований в ХХ1в.» в институте философии и права СО РАН (Новосибирск, 2003); в рамках международного конгресса «Образование и наука в XXI веке: проблемы интеграции и правового регулирования» (21-25 ноября 2003 г.) и опубликованы в серии трудов научного методического центра философии образования НГПУ «Философия образования» (Новосибирск, 2004); использовались в курсе лекций и семинарских занятий по философии для студентов естественно-географического факультета НГПУ, а также в разработке электронного учебно-методического пособия по философии для студентов НГПУ и отражены в сборнике научных работ студентов, аспирантов и преподавателей естественно-географического факультета НГПУ.

Диссертация обсуждалась на кафедре философии и социальных наук Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М.Ф.Решетнева.

Структураработы

Цель и задачи исследования определили структуру работы, которая состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка использованной литературы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Во введении обосновывается актуальность темы, излагается степень разработанности проблемы, формулируются цель и задачи исследования, определяются научная новизна и методологическая база исследования, формулируются положения, выносимые на защиту, устанавливается теоретическая и практическая значимость исследования.

В первой главе «Проблема статуса математических объектов» рассматривается вопрос о природе математических объектов как фундаментальный онтологический вопрос, решение которого определяет постановку многих других вопросов в философии математики.

В параграфе 1.1. «Обсуждение вопросов о сущности математических объектов в истории философию) рассмотрено, как ставились вопросы о природе математических объектов философами прошлых эпох. Платон, как известно, считал, что математические объекты неизменны, вечны и существуют в некотором независимом, сверхчувственном мире идей. Согласно Платону математические объекты существуют вне и независимо от человеческого сознания. Больше того, они существуют не в материальном мире, а в мире идеальном. Наиболее отчетливо платонистская тенденция проявляется в теории множеств Г.Кантора, где вводятся не только бесконечные множества различной мощности, но сами эти множества рассматриваются как некие самостоятельные сущности, принадлежащие к особому идеальному миру. Именно о таком абсолютном платонизме, постулирующем существование самостоятельного мира идеальных объектов, который содержит все абстрактные понятия и отношения математики, стали говорить Г.Кантор и его последователи.

Аристотель признает объективный характер математических объектов, но в противовес Платону, не помещает их в какой-то особый мир идей, а считает существующими в особом смысле в реальном мире. Аристотель говорил: «как могут идеи, если они сущности вещей, существовать отдельно от них?»5 Аристотель считал, что простейшие, первичные истины, характеризующие эти понятия, могут непосредственно усматриваться и поэтому являются априорными. Относительно всего остального научного знания он утверждал, что оно должно выводиться дедуктивным путем из первичных посылок. Аристотель не решил вопрос о способе бытия математических объектов (и идей в целом), однако его критика решения Платона является все же продвижением вперед. Нерешенность вопросов о способе бытия идей, в том числе математических, породила в средневековье дискуссию номинализма и реализма. Реализм развивал доктрину Платона о существовании универсалий независимо от мысли, которая может открывать, но не создавать их. Номинализм констатирует, что общие понятия лишены онтологического статуса и связывает их существование в качестве имен только со сферой мышления. Спор между

Аристотель. Метафизика. // Аристотель. Сочинения* В 4т. - М, 1981. - Т. 1. - С. 86

платонистами и номиналистами шел о том, можно ли приписать множеству такое же существование, как и отдельному его элементу.

Концепция Аристотеля сыграла прогрессивную роль не только для математики своего времени, но и для последующего ее развития. Так, например, Р. Декарт подходил к проблеме математического существования в основном с позиций Аристотеля. Математический объект он рассматривал как результат абстракции, а сама математика выступала у него как наука о величине и порядке. Рассматривая математические объекты как результат абстрагирующей деятельности мышления, материалистическая концепция, восходящая к Аристотелю, смогла объяснить, почему математика может применяться для изучения действительности. Однако, и аристотелевская, и возникшая позднее локковская теории абстракции не смогли дать ответа на вопрос, почему мы используем в математике такие понятия, как математическая бесконечность, хотя они и не имеют своих коррелятов в действительности. Возможно, это объясняется тем, что Аристотель и Локк, по мнению Г.И. Рузавина, описывали только процесс отвлечения чувственно воспринимаемых свойств и поэтому их построения годились лишь для классификации и описания явлений, но не для раскрытия их сущности. Французские материалисты XVIII в., резко критиковавшие идеализм и религию, в объяснении математической абстракции сами исходят из идеалистических оснований. Так А.Гельвеций говорит, что «алгебраические понятия не имеют никакого реального значения до применения их к чувственным предметам и не представляют никакой определенной идеи». Д.Дидро подчеркивает, что «математические идеи являются лишь способами мышления, объекты их, вещи универсальные, обладают только идеальным существованием». Такой подход к математическим объектам обусловлен тем, что для французских материалистов мышление есть универсальное чувство, и поэтому они не допускают другого объяснения существования абстрактных объектов, кроме идеального. Ведь если математические объекты нельзя воспринимать чувствами, значит, им ничто не соответствует в реальном мире.

Проблему способа бытия математического объекта И.Кант мыслит в контексте своего учения о «вещах в себе». «Вещью в себе» И. Кант, прежде всего, называет то, чем предметы познания являются сами по себе, то есть независимо от познания, от тех чувственных и логических форм, посредством которых эти предметы воспринимаются и мыслятся нашим сознанием. В этом смысле непознаваемость «вещей в себе» означает, что всякое расширение и углубление наших знаний, поскольку оно осуществляется в субъективных формах чувственности и рассудка, является познанием лишь явлений, а не «вещей в себе». Именно в этом смысле И.Кант полагает, что математика, будучи, безусловно, достоверной наукой, не является отражением объективной реальности и поэтому достоверна только для нас, поскольку она согласуется со свойственными нам априорными формами чувственности и рассудка.

В параграфе 1.2. «Современные дискуссии о статусе математических объектов» проанализированы противостояния современных философов в вопросе о существовании математических объектов.

Большинство работающих математиков, по мнению В.В.Целищева, стоит на позиции платонизма. Идет дискуссия о том, существуют ли математические объекты, где и как они существуют, и, наконец, какие математические объекты считать существующими. Современный платонизм в области математики утверждает существование другого, нематериального, мира, «населенного» математическими объектами; люди, с их точки зрения, имеют внечувственное

осознание математических структур, называемое часто интуицией математика и

6

«при помощи интуиции мы входим в контакт с математическими сущностями» . Сторонники платонизма выделяют следующие моменты, склоняющие в пользу платонистской концепции: естественный мир меняется, математические понятия неизменны, следовательно, они не являются отражением внешнего мира; в то время, как естественные науки в своём развитии зависимы от нашего восприятия внешнего мира, от его изменения, математика развивается автономно; элемент случайности в процедурах эмпирических наук приводит к постоянному сомнению, но то, что однажды доказано в математике, остается неопровержимым'. Но это лишь психологическое объяснение платонистской концепции, а отнюдь не её обоснование.

Математические объекты существуют в особом мире, это не вызывает математических трудностей, но - не ясно, как человек контактирует с этим миром. «...Математические объекты, например, числа, являются вечными и вневременными. А подобные вечные объекты могут быть в свою очередь истолкованы как мысли Бога»8.

Понимание сущности математических объектов интуиционистами связано с их утверждением, что математика обладает не только формальным, но и содержательным значением. При этом они высказывают мысль о том, что «математические предметы постигаются мыслящим духом, математическое

9

знание не зависит от опыта» .

Интуиционисты, говоря о том, что математические объекты существуют в себе, независимо от мышления, имели в виду, что в объективной реальности есть предпосылки для их умственного построения.

Х.Б.Карри отмечал, что «доктрина, из которой исходят сторонники интуиционизма, опирается на утверждение о существовании так называемой изначальной интуиции, с помощью которой человеческий разум „строит" натуральные числа и континуум. Считается, что существуют только те объекты, которые конструирует человеческий разум. Построение это по необходимости конечное, так что такие понятия, как множество всех натуральных чисел, следует рассматривать как нечто, находящееся в процессе роста»

В противоположность классической математике, опирающейся на абстракцию актуальной бесконечности, конструктивная математика ограничивается только потенциальной бесконечностью. Иными словами,

6 Целищев В.В. Философия математики. - Новосибирск, 2002. - С.32

7 Цит. по Кузнецовой И.С. Гносеологические проблемы математического знания. - Ленинград, 1984. - С. 11.

8 Рассел Б. Введение в математическую философию. Перевод с англ. Целищева В.В. - М. - 1996. - С. 51

9 Гейтинг А. Обзор исследований по основаниям математики. - М.; Л., 1936. - С. 9

10 Карри X. Б. Основания математической логики. — М., 1969. - С.29

бесконечная совокупность здесь никогда не рассматривается как завершенная, актуальная, а только как становящаяся, возникающая в процессе неограниченного построения все новых и новых ее элементов. А.А.Марков считает возможным ограничиться более слабой абстракцией потенциальной осуществимости, т. е. возможностью построения математических объектов в отвлечении от практических условий их реализации.

Объекты, с которыми имеет дело конструктивная математика, могут быть либо фактически построенными, либо построенными в потенциальном смысле, т.е. в предположении, что допустимо построить последующий конструктивный объект, если задан или построен предыдущий. Однако практическое осуществление программы конструктивного обоснования математики связано с немалыми трудностями. Как правило, такие трудности возникают тогда, когда приходится выражать такие понятия и принципы классической математики, для которых не существует конструктивных аналогов. Значительные расхождения возникают и в результатах, относящихся к теоремам существования. Все это значительно усложняет изложение конструктивного математического анализа и пока еще не дает никакого выигрыша в отношении приложений его к решению конкретных задач естествознания и техники.

В последнее время обособились теории, авторы которых полагают, что математика ближе к гуманитарным наукам, а может даже к социально-культурным. Так, Р.Коллинз отстаивает тезис о социальной природе всякого познания, в том числе, естественнонаучного и математического, исходя из того, что понимание любого, даже самого простого математического выражения предполагает встроенность человека в математическую традицию, контакт с сетью учителей и т.п., то есть математические объекты реальны в том же смысле, в каком реально человеческое общение - это «реальность процессов деятельности реальных человеческих существ, выполняемой во времени и

11

локализованной в пространстве» .

Традиционно платонизм, по мнению В.В.Целищева, считался спорным онтологически как доктрина о существовании вне и независимо от разума объектов, обитающих в сфере идеального. Эпистемологическое возражение против платонизма, сформулированное П.Бенацеррафом, приведенное В.В.Целищевым в книге «Философия математики», («если математика представляет собой исследование объективных идеальных сущностей и если когнитивные способности человека позволяют ему познавать только чувственные объекты, то как он может познавать математические объекты?»), делает упор на невозможности эпистемологического доступа к такого рода объектам. Мы видим, таким образом, что те или иные онтологические решения вопроса о том, что собой представляют математические объекты, в каком мире они существуют, неминуемо влекут за собой необходимость отвечать на другой вопрос - как человек познает соответствующие объекты.

В своем исследовании мы полагаем, что математика находится ближе к гуманитарным, чем к естественным наукам. Она имеет дело с семиотическими

11 Коллинз Р. Социальная реальность объектов естествознания и математики. Перевод Н СРозова // Философия науки. - №2 (10). - 2001. - С.12

объектами (число, интеграл, корень и т.д.) так же, как и гуманитарные науки (слово, знак и т.д.). Непреходящая дискуссионность темы обусловлена нерешенностью вопроса о способе бытия математических объектов как разновидности семиотических объектов. Математические объекты (числа, функции, интегралы и т.п.) не найдены в природе, а сконструированы человеком. Исчезает налет мистики (уже не нужно допускать какой-то особый мир, не нужно постулировать некую особую интуицию и т.п.) и появляется возможность исследовать, как именно конструируются математические объекты, что и делается в предлагаемой работе.

В параграфе 1.3. «Эстафеты как способ бытия математических объектов», рассматривается решение проблемы онтологического статуса математических объектов, предложенное М.А.Розовым12. Теория социальных эстафет, подробно разработанная М.А.Розовым - это своеобразная онтология, в рамках которой можно рассматривать различные культурные явления, в том числе и математические объекты. Социальные эстафеты - это процессы постоянного воспроизведения непосредственных живых образцов поведения, которые существуют, с одной стороны, как элементарные эстафеты, основанные на непосредственном подражании; с другой - как опосредованные эстафеты. Предлагаемый им вариант решения проблемы онтологического статуса математических объектов - рассмотрение объектов математики не как естественнонаучных объектов, а как объектов, с которыми человек действует по определенным правилам. Математические объекты не зависят от индивидуального человеческого сознания, они в своем бытии обусловлены всем контекстом культуры, всей практикой человечества и противостоят отдельному человеку или целому поколению как явление, не менее объективное, чем язык. Отдельно взятая эстафета - это элементарный социальный куматоид, т.е. некоторая программа или совокупность программ, в рамках которых организуется и функционирует все время обновляющий себя материал13. Трактуя математические объекты как эстафеты или куматоиды, мы получаем способ их исследования - изучение тех программ, которые связаны в традиции с каждым математическим объектом - числом, интегралом, группой и т.п., - а именно - изучение вопросов о том, что привело к формированию каждой такой программы, как видоизменяется та или иная программа и т.п.

Установка на эмпирическое исследование семиотических объектов, по мнению М.А.Розова, приводит к ряду трудностей и парадоксов, выявленных им в философии науки и обозначенных как проблема объективации и проблема атрибутивности. Первая возникает вследствие того, что в рамках классического естествознания существует стандартная установка представлять объект изучения как нечто внешнее и независящее от исследователя. В гуманитарных науках ситуация иная, поскольку анализ текста начинается с его понимания. Только акт понимания позволяет отличить текст от бессмысленного набора пятен на бумаге. Но осмысленность текста, его понимаемость существует или

12 Розов М-А. Способ бытия математических объектов. // Методологические проблемы развития и применения математики. Сборник научных трудов - М.: Наука, 1985. - С.20-35

13 Степин B.C., Горохов В. Г., Розов МЛ Философия науки и техники. - М, 1995. - С.85.

13

проявляется только в отношении к тому, кто его воспринимает. Сам исследователь выступает в роли прибора или индикатора. Если мы хотим выяснить, чем именно обусловлена осмысленность текста, мы должны изучать не пятна краски на бумаге, а наше с ними взаимодействие, иначе говоря, мы должны самих себя включить в сферу рассмотрения. Это и будет означать, что нам не удалось отделить объект от самих себя, противопоставить его исследователю.

Вторая проблема возникает, когда анализ выделенных объектов не позволяет объяснить их взаимодействие. Сколько бы мы ни исследовали текст с точки зрения физики, химии или физиологии, мы не сумеем объяснить ситуацию понимания или отличить понимающего человека от непонимающего. Текст неатрибутивен. Интересующие нас характеристики в широких пределах не зависят от материала, они точно повисают в воздухе. Атрибутивное описание объекта связано с выделением из всего множества функциональных характеристик таких, которые специфичны для изучаемого объекта. То, что интеграл написан рядом с суммой - функциональная, ситуативная характеристика. А то, что с помощью него можно вычислить объемы геометрических тел - это уже свойство. Функциональные характеристики Существуют двояко - как характеристики чисто функциональные, которые не специфичны для данного материала и целиком обусловлены внешней ситуацией, и как характеристики проявления свойств. Атрибутивное описание не фиксирует событий или процессов. Описание свойств — это описание не того, что в данный момент происходит или происходило, но тех возможностей, которые заложены в изучаемом материале. Реализация этих возможностей в форме конкретных взаимодействий одного объекта с другими объектами — проявление свойств и есть атрибутивная ситуация. В нее входят изучаемый объект, свойства которого нас интересуют; индикатор — другой объект или объекты, с которыми вступает во взаимодействие изучаемый объект; событие — то, что имеет место в результате взаимодействия изучаемого объекта и индикатора14. В нашем случае интеграл - объект, человек «понимающий» -индикатор, процесс вычисления - событие. Для значка есть определенный

набор правил вычисления (либо выписаны табличные интегралы - наиболее часто встречающиеся интегралы, которые уже вычислены и результат можно использовать сразу), такой же, но уже свой набор правил есть и для ,/", а также и для любого другого математического объекта. С проблемой объективации дело обстоит сложнее. В гуманитарных науках анализ текста начинается с его понимания, но осмысление текста проявляется только в отношении к тому, кто его воспринимает. Мы должны самих себя включить в сферу рассмотрения. В математике также нужен исследователь в роли прибора. Не все знают, что нужно делать, если написано уравнение *}х+\+4х =2, для этого и нужен исследователь, понимающий это, знающий, что существует определенный набор правил для решения уравнения этого вида, знающий свойства , и знаков «+» и «=». Математические объекты как культурные объекты задаются системой

14 Розов М.А. Проблемы эмпирического анализа научных знаний. - Новосибирск: Наука, 1977. - С. 66

14

образцов и правил, и именно образцы и правила будут в дальнейшем выявляться нами при исследовании формирования представлений об интеграле и становлении интегрального исчисления.

Во второй главе «Особенности онтологии математики: формы, средства и методы задания объектов в математике» рассматривается роль правил и образцов решенных задач при формировании новых математических объектов, возможности математического конструктора для задания объекта в математике, формы существования математических методов.

В параграфе 2.1. «Математический конструктор как средство задания объектов в математике» выявляется специфика математических объектов, которые обычно являются оперативными системами, т.е. представляют собой совокупности знаков и операции с ними.

Науки с «конструктором» отличаются от описательных наук тем, что они исследуют явления путем мысленного конструирования, то есть путем построения таких моделей, которые содержат в себе возможность трансформации, перестройки15. Работая в рамках науки с конструктором, исследователь осуществляет движение как бы в двух плоскостях, постоянно согласовывая их друг с другом. Конструкторские представления - это генератор гипотез. Они направляют на поиск новых фактов и, кроме этого, при столкновении с новыми явлениями задают особую процедуру объяснения, состоящую в том, что исследователь мысленно конструирует явления-модели в пределах тех возможностей, которые предоставляет ему исходный «конструктор». В физике можно говорить, например, об атомно-молекулярном конструкторе. В математике конструкторы представляют собой оперативные системы, куда входят наборы знаков (геометрических, алгебраических и т.д.) и правил оперирования с ними. Конструирование новых математических объектов из уже имеющихся - преобразование чертежей, чем широко пользуется уже Евклид, впоследствии - преобразование алгебраических выражений и т.п. - необходимый атрибут работы математика. Появление новых объектов в математике можно представить как изменение правил математической игры. Однако как деятельность вообще, так и в математике, далеко не всегда задается правилами, а в исходных и фундаментальных случаях деятельность воспроизводится по непосредственным образцам. Далее в параграфе рассматривается роль образцов при формировании математического знания, для чего анализируются классические работы Т.Куна и М.Полани.

Одним из главных источников создания методологической основы новой концепции науки стала работа Т.Куна «Структура научных революций». Т.Кун дает принципиально иную, чем Р. Мертон, интерпретацию социальных характеристик науки, перенося акцент на их субъективные аспекты. Характеризуя нормальную науку, Т.Кун предлагает понятие «дисциплинарной матрицы», куда входят символические обобщения, метафизические парадигмы, ценности, образцы научной деятельности, образцы решенных задач. Существенно, что деятельность в науке по мысли Т.Куна не может быть

15 Розов М А. Проблемы эмпирического анализа научных знаний. - Новосибирск. Наука, 1977. - С 12.

15

детерминирована только системой правил. Она определяется парадигмой, традицией, так как невозможно задать все правила, которые управляют деятельностью ученого. М.Полани, на которого ссылается Т.Кун, подчеркивая, что многие успехи ученых зависят от «скрытого знания», разработал концепцию неявного знания. Основным стержнем концепции неявного знания является положение о существовании двух типов знания: центрального, или явного, эксплицируемого, и периферического, неявного, скрытого, имплицитного. Имплицитный элемент познавательной активности субъекта трактуется им не просто как неформализуемый избыток информации, а как необходимое основание логических форм знания. М.А.Розов, развивая мысль о значимости непосредственных образцов, традиций в целом в деятельности ученого, подчеркивает, что традиции могут быть как вербализованными, существующими в виде текстов, так и невербализованными, существующими в форме неявного знания. Последние передаются от учителя к ученику или от поколения к поколению на уровне непосредственной демонстрации образцов деятельности или, по терминологии М.А.Розова, на уровне социальных эстафет. Он выделяет два типа неявного знания и неявных традиций. Первые связаны с воспроизведением непосредственных образцов деятельности, вторые предполагают текст в качестве посредника. Первые невозможны без личных контактов, для вторых такие контакты необязательны. Новые математические объекты, в частности, интеграл, интегрирование задаются достаточно долго не с помощью правил, а путем обращения к образцам решенных задач. Появление правил интегрирования - это достаточно поздний период в развитии интегрального исчисления.

В параграфе 2.2. «Формы существования математических методов» подчеркивается прежде всего, что первоначально метод в математике существует как образец решенной предметной задачи, т.е. метод не выделен сначала как самостоятельный результат познавательной деятельности. Решенная задача имеет обычно два результата: предметный результат и метод его получения. В некоторых случаях метод является новым и впоследствии оказывается гораздо более значимым, чем тот предметный результат, ради которого решалась задача. Примером может служить работа Архимеда по нахождению формулы для вычисления объема шара. Он не только выводит формулу, т.е. конкретное выражение для объема шара, но и излагает метод, позволивший отыскать эту формулу16. Методы как самостоятельный продукт математической деятельности существуют а) в виде списка правил, например, сейчас сформулированы основные правила дифференцирования; б) в виде алгоритма - примером может служить алгоритм как последовательность действий при извлечении квадратного корня; в) в виде таблицы - значимость таблиц в науке невозможно переоценить. Они являются своеобразной формой социальной памяти и систематизации знания. Таблицы есть во многих науках: в физике - «Таблица плотности материалов» или «Таблица физических постоянных»; в астрономии - «Таблица наиболее ярких звезд, видимых с территории России»; в географии - таблица «Доля неграмотных взрослых в

16 Архимед. Сочинения. - М: Физматгиз, 1962. - С. 298-327

16

развивающихся странах Африки» и т д. Однако, если в физике, в астрономии и географии представлен опыт вычислений и наблюдений тех или иных величин, фиксирующих результаты экспериментальной деятельности, то в математике это таблица умножения, список табличных интегралов и т. д., как результаты работы в математическом конструкторе. Это не опыт измерений, а опыт вычислений, которые каждый мог бы проделывать по определенным правилам. Однако потому, что таблица умножения, представляющая собой произведение первых натуральных чисел, написанных в десятеричной позиционной системе исчисления, в результате проверок (сложением), имеет постоянный результат, она нашла свое применение во всех точных науках. То же можно сказать и о многих таблицах, существующих в математике, которые служат для упрощения нахождения значений трудно вычисляемых функций, имеющих широкое применение.

Математика, как совокупность правил, постоянно демонстрирует способность к развитию. Опыт решения содержательных арифметических задач (как и опыт решения, например, шахматных задач, с которыми часто сравнивают математику) не весь фиксирован в виде правил. Любое появление новых объектов в математике, по-видимому, можно интерпретировать как изменение правил математической игры. Можно выделить следующие механизмы формирования новых математических объектов: а) стихийное возникновение чисел, геометрических фигур и т.д., в материальной практической деятельности человека; б) стихийное возникновение новых математических объектов в ходе решения традиционных математических задач (отрицательные и комплексные числа, группы Э.Галуа, неопределенный интеграл); в) целенаправленное конструирование математических объектов (двойные и тройные интегралы); г) задание математических объектов через изменение какой-либо аксиомы в принятой ранее системе аксиом, что стало возможно после формирования геометрии Лобачевского - возникновение этой геометрии можно представить двояко - как открытие нового мира математических объектов, существенно отличающегося от того мира, что представлен в геометрии Евклида, - и как метод (новый) задания математических объектов (присоединение к 4 постулатам Евклида нового постулата, отличающегося от принятого Евклидом); д) возникновение математических объектов при решении предметных задач или задач других наук (теория полиномов П.Л.Чебышева).

В третьей главе «Процессы формирования интегрального исчисления как новой математической дисциплины» рассматривается формирование интегрального и дифференциального исчисления как нового математического конструктора, выросшего в самостоятельную дисциплину, роль программно-предметного комплекса, рефлексивных преобразований, коллекторских программ и ценностных ориентаций в формировании исчисления.

Глава начинается параграфом 3.1. «Презентизм и антикваризм в историко-математических исследованиях», где рассматриваются трудности, с которыми сталкиваются исследователи при анализе исторических документов, в

том числе и при изложении истории математики, определяемые в литературе как презентизм и антикваризм, и показывается, с какой позиции адекватно рассматривать процесс становления интегрального и дифференциального исчисления.

Одна из основных проблем для историка науки - понять, каким образом внешние, социокультурные, политические и мировоззренческие обстоятельства сказываются на результатах научного творчества, как они могут быть выражены в абстракциях теорий,- постулатах, методике проведения эксперимента. В настоящее время целый ряд историков математики занят полным переосмыслением древнегреческой математической традиции. Они считают совершенно неправомерным традиционный подход к источникам с позиций математических представлений XIX—XX вв. и пытаются восстановить их «истинный» смысл в контексте античной культуры. Объяснения природных и социальных феноменов претерпевают изменения со временем, и историк науки может показать изменения в тех объяснениях, которые в наибольшей степени демонстрируют прогресс научного мышления, происходящий с течением времени. Его эмпирической базой являются, прежде всего, научные тексты прошлого — книги, журнальные статьи, отчеты о работе лабораторий, если они, конечно, сохранились. Может быть переписка ученых, рукописи и черновики, автобиографические очерки и воспоминания. Трудность состоит в том, что тексты опубликованных работ призваны рассказать не о том, как именно автор пришел к своему новому результату, а показать степень обоснованности этого результата и его согласованность с другими знаниями, уже признанными достоверными.

«Презентизм» и «антикваризм» — это термины, в которых научное сообщество историков культуры зафиксировало две основные целевые установки, в рамках которых совершается любое историко-культурологическое исследование. Презентизм — стремление рассказать о прошлом языком современности. Антикваризм — желание восстановить картины прошлого во всей их внутренней целостности, безо всяких отсылок к современности. Каким же образом эти установки определяют реальный ход исторической реконструкции и само прочтение исторических источников? Возможен ли рациональный выбор одного из этих методологических подходов к анализу прошлого?

Позиции исследователей в этом вопросе неоднозначны. Р.Д.Коллингвуд обосновывает непродуктивность презентистской позиции в понимании мышления прошлых эпох. Трудность историка, по мнению Н.И.Кузнецовой, состоит в том, что «вопрос» коренится в историческом прошлом, которое нам не дано, а «ответ» - перед нами, теперь и сейчас17. Однако же и антикваризм, в чистом виде, последовательно не реализуем. Невозможно при изучении евклидовых «Начал», полностью отрешиться от современных представлений и встать на точку зрения современника Евклида. Историк математики С.С.Демидов пишет: «Мы вынуждены время от времени подпирать наш

Кузнецова Н И. Статус и проблемы истории науки. // Философия и методология науки. Под ред. В И.Купцова. - М.: Аспект Пресс, 1996. - С. 341

антикваризм презентистскими подпорками. Так что, если, с точки зрения антикваристов, презентизм имеет свои отвратительные черты, то и антикваризм не лишен таковых»18.

Презентистский подход имеет то существенное преимущество, что он реализуем в чистом виде. Однако этот подход, выявляя линию исторического развития теорий, игнорирует микроструктуру процесса, полностью скрывает реальные механизмы, осуществляющие это развитие. Он позволяет нарисовать картину чистой эволюции идей, но не позволяет ответить на вопросы такого типа: каковы причины возникновения теории и стимулы ее развитии? почему теория резко изменяет направление своего развития? Любой историк должен понимать, что источник написан не на языке современной науки, что его содержание надо реконструировать и попытаться перевести на современный язык. В противном случае, источник просто не был бы источником. Иными словами, историк, понимая, насколько это возможно, язык источника, должен описать его содержание на языке, доступном современному человеку. Антикваризм же связан не с пониманием, а с объяснением. В своем анализе возникновения интегрального исчисления мы будем стремиться выявить и описать социокультурный контекст формирования исчисления, те традиции, которые определяли его развитие, ибо в некоторых работах по истории исчисления имеют место презентистские тенденции.

В параграфе 3.2. «Программно-предметные комплексы дисциплин и их роль в формировании исчисления» рассматривается социокультурный контекст возникновения и функционирования интегрального исчисления, те традиции, которые определяли его становление. Прежде всего, в параграфе обращается внимание на то, что в своем возникновении математика тесно связана с практическими потребностями (в счете, в частности, в подсчете налогов, в вычислении площадей и объемов и т.д.), а также с другими дисциплинами, в ответ на «запрос» которых в математике формируются те или иные методы, в частности, методы интегрального исчисления. Взаимодействие дисциплин при формировании исчисления - это не отдельный частный случай, а некоторая общая закономерность, зафиксированная МА.Розовым в представлениях о программно-предметных комплексах19, когда дисциплины предметной ориентации, с одной стороны, и методической - с другой взаимно обслуживают друг друга - первые предоставляют содержательные задачи, вторые -разрабатывают методы их решения. Так, интегральное исчисление долгое время формировалось в ответ на задачу определения площади фигур, ограниченных кривыми. В работах Кеплера существенен был интерес астрономии (Кеплеру как астроному требовалось знать, какую площадь эллипса заметает радиус-вектор), Ньютону в рамках механики требовалось уметь вычислять мгновенную скорость. Таким образом, при решении одной задачи существуют две разных возможности организации знания: либо фиксируются конкретные характеристики изучаемых объектов (тогда складываются дисциплины

18 Демидов С.С. Презентизм и антикваризм в историко-математическом исследовании. // Вопросы истории естествознания и техники. - №3. -1994. - С. 13-23

19 Степин B.C., Горохов В.Г., Розов МЛ. Философия науки и техники. - М., 1995. - С. 171-174

19

конкретно-предметной ориентации), либо - методы получения этих характеристик (т.е. имеет место программно-методическая ориентация) и возникают методические дисциплины по отношению к первым. Механика, астрономия, геометрия - предметные дисциплины комплекса, а формирующийся математический анализ играет роль методической дисциплины по отношению к ним. Только в рамках комплекса каждая из дисциплин получает определенность.

Далее рассматриваются некоторые вехи на пути становления интегрального исчисления в рамках программно-предметных комплексов. У истоков интегрального исчисления стоял Архимед. Пользуясь результатом Демокрита (который вычислил объем конуса) и Евдокса (создал метод исчерпывания) Архимед, применяя открытое им условие равновесия рычага, вывел формулу для объема шара. Архимед решает конкретную задачу, лежащую в области геометрии. Референция в работе Архимеда - объем шара. Получена формула для объема шара, однако при выводе этой формулы им использовалась идея равновесия из механики. Наряду с конкретным результатом - объема шара, - в деятельности Архимеда можно выделить метод получения этого результата. Архимед хорошо понимал свое новаторство: «Он (метод перехода от одной формулы к другой) может принести математике немалую пользу; я предполагаю, что некоторые современные нам или будущие математики смогут при помощи

указанного метода найти и другие теоремы, которые нам еще не приходили в

20

голову» .

Иоганн Кеплер, принявший эстафету у Архимеда, пользуясь образцами решенных Архимедом задач, расширил круг задач - от правильных кривых тел, рассмотренных еще Архимедом, он переходит к изучению тел, образованных вращением круга около прямой, не проходящей через его центр, а также вращением других конических сечений. Это понадобилось ему для обоснования справедливости законов движения планет, а также для решения задачи отыскания целесообразной формы винных бочек. Здесь программно-предметный комплекс включал астрономию, геометрию, механику и математику. При этом предложил новый метод суммирования бесконечно малых величин.

П.Ферма продолжил дело И.Кеплера. Но в то время как И.Кеплер геометрическую задачу приводит к геометрической, П.Ферма приводит ее к задаче алгебраической, к суммированию геометрической прогрессии. Правда, по форме рассуждения П.Ферма — ортодоксально-геометрические, но за этой формой без всякого труда различается алгебраическое содержание - пишут В.А.Никифоровский и Л.С.Фрейман. Но в те времена такой раздел математики, как алгебра, считали подручным средством, разработанным для нужд практиков, и возможно, поэтому Ферма (как и И.Ньютон) использует геометрический язык, а не алгебраический.

В течение XVII столетия было с успехом разобрано много задач связаны с вычислением предела. Но в каждом случае само вычисление предела ставилось в зависимость от того или иного остроумного приема, специально подобранного для каждой отдельной задачи. Одним из главных достижений анализа была замена этих специальных искусственных процедур одним общим методом,

20 Архимед Сочинения. - М.: Физматгиз, 1962. - С. 299

который представлял бы собой правила или совокупность правил и приемов дифференцирования и интегрирования.

Накопился также достаточно большой запас образцов решенных задач, ныне решаемых с помощью дифференцирования. Однако не было еще выделено особой операции дифференцирования, понятий, равнозначных понятиям производной и дифференциала. Не была ясна связь дифференциальных и интеграционных методов, так как жизнь предлагала много задач на интегральное исчисление, но мало - на дифференциальное и долгое время поиски шли порознь, и преобладали работы по интегрированию. Математический анализ формировался в рамках программно-предметного комплекса, который состоял из «терминов и установок алгебры, геометрии, механики — сложившихся уже к тому времени наук»21 и поэтому, при решении проблемы в одной из этих наук не обходилось без участия другой. Всякое новое математическое исчисление в большинстве случаев проходит период формирования в пределах уже существующей системы математических наук, используя их средства. Наличие программно-предметного комплекса в становлении интегрального исчисления имеет для него как позитивные следствия, так и негативные. Позитивные -задачи предметных наук требовали разработки новых методов и дали тем самым импульс к возникновению новых методов вычисления. Негативные -интегральное исчисление возникло сначала как некоторая техника вычисления площадей и объемов, а дифференциальное исчисление - как метод проведения касательных в точке. Именно включенность интегрального и дифференциального исчисления в решение задач других наук тормозило выделение специфических референтов самостоятельной математической дисциплины (математического анализа) и породило задачу обоснования анализа, которую только в XIX смогли решить Коши и Вейерштрасс - задание интеграла как объекта «чистой» математики, важного самого по себе, который связан с другими объектами математики, а не только с объектами других наук (механики, астрономии), который был бы введен по канонам математики, а не только являлся удобным средством для нахождения объемов тел.

В параграфе 3.3. «Рефлексивные преобразования в становлении исчисления в условиях неведения» показывается, что рефлексивные преобразования выступают в качестве механизма формирования интегрального исчисления. Существенную роль в развитии науки играют новации -преднамеренные и непреднамеренные. Первые возникают как результат целенаправленных акций, вторые — только побочным образом. Первые, согласно Т.Куну, происходят в рамках парадигмы, вторые — ведут к ее изменению. М.А.Розов существенно уточнил это деление, противопоставив, друг другу незнание и неведение. Незнание — элемент коллекторской программы науки, существенно определяющий потенциал ее развития. В отношении неведения «невозможен целенаправленный поиск неизвестных или, точнее, неведомых явлений. Мы должны просто продолжать делать то, что делали до сих пор, ибо неведение открывается только побочным образом»22. В

21 Рыбников К.А. История математики. - М, 1974 - С. 168

22 Степин В С, Горохов В Г., Розов М.А. Философия науки и техники. - М., 1996. - С. 117-118

настоящем параграфе нас интересует область неведения, ибо формирование интегрального исчисления как раз является новацией в математике, возникшей в условиях неведения.

Рефлексией мы, вслед за МАРозовым, будем называть изменение прежних и создание новых смысловых структур, инициирующихся сознательно23. Переходя на общий уровень рассмотрения, можно говорить о рефлектирующих системах, могущих оценивать собственное состояние и, на основе этого, осуществлять его изменение. Деятельность есть продукт рефлексии. Рефлексивными являются преобразования одной деятельности в другую, которые инициируются различными осознаниями наших целевых установок (или, другими словами, сменой нашей рефлексивной позиции). Если в результате таких преобразований ничего не меняется, кроме самой целевой установки, то преобразования будут рефлексивно-симметричными. В исходной задаче интегрального исчисления - нахождении Архимедом объема шара -референцией является шар, определенное геометрическое тело. Для решения задачи Архимед осуществляет множество действий и переосмыслений, например, достраивает чертеж, где наряду с шаром появляются цилиндр и конус, при этом шар, цилиндр и конус получаются как вращение окружности или прямой вокруг некоторых осей, т.е. используется геометрический конструктор. Само появление этих осей, переход от исследуемых тел к дискам, представление системы (шар и конус, с одной стороны и цилиндр - с другой) как рычага, находящегося в равновесии, означало переключение с конкретной задачи вычисления объема шара на задачу установления равновесия получившихся тел, которую Архимед мог решить. В итоге он получает не только формулу, т.е. конкретное выражение для объема шара, но и метод отыскания этой формулы. Рефлексивное преобразование деятельности в процессе формирования интегрального исчисления означает, что исследователи в какой-то момент переходят от поиска формул для площадей и объемов тел к решению совсем других задач, а именно, к выяснению того, что собой представляет метод вычисления площадей, впервые использованный Архимедом.

В параграфе 3.4. «Ценностные ориентации в чистой и прикладной математике» определяется роль ценностных установок в деятельности ученого и формировании исчисления. Т.Кун рассматривает ценности в качестве одного из элементов дисциплинарной матрицы. По его мнению, общепринятые ценности - важные детерминанты поведения группы, а индивидуальная модификация в применении общепринятых ценностей играет весьма существенную роль в науке24. Обычно выделяют два типа ценностных ориентаций в науке: 1) познавательная или фундаментальная, 2) прикладная, инженерная. Фундаментальная ориентация часто соседствует с обсуждением вопроса о практической значимости получаемых знаний. Однако встречается и их противопоставление. Так, Архимед, по словам И.Н.Веселовского, считал

23 Там же- С. 153-158

24Кун Т. Структура научных революций. Перевод с англ. И.З Налетова. Ред. и послесловие С Р Микулинского и Л.А.Марковой. - М : Прогресс, 1977. - С. 243

практическое применение науки стоящим вне науки, в лучшем случае -третьестепенным занятием для ученого25. Его высказывания основываются на сообщениях Плутарха, а именно: «Хотя эти изобретения заслужили ему репутацию сверхчеловеческой проницательности, он не снизошел до того, чтобы оставить какое-либо писаное сочинение по таким вопросам, а, считая низким и недостойным делом механику и искусство любого рода, если оно имеет целью пользу и выгоду, все свои честолюбивые притязания он основывал на тех умозрениях, красота и тонкость которых не запятнаны какой-либо примесью обычных житейских нужд»26.

Смена ценностных установок науки, прежде всего, сказывается на отношении к знанию, на способах его интерпретации и обоснования, на постановке новых задач. Иоганн Кеплер, применяя метод суммирования актуально бесконечно малых, в некоторых случаях отходит от строгости изложения, вводя интуитивные соображения. Кеплер пишет: «Весьма правдоподобно, что поверхность полусферы есть среднее пропорциональное между поверхностями обоих конусов». В большинстве высказываний об интуитивной правдоподобности результата или других рассуждений Кеплер отсылает к Архимеду, который «это доказывает со всей строгостью»27. Здесь проявляется прагматистская установка прикладной науки - когда не заботятся о точности доказательства. «Интуитивные понятия — такие как площадь или наклон кривой, — имеют как будто бы абсолютный смысл «в себе», и нет надобности в привлечении каких-либо вспомогательных вписанных многоугольников или секущих и их пределов. Без сомнения, желание сформулировать адекватные определения площади или наклона кривой как «вещей в себе» вполне оправдано с психологической точки зрения. Но при зрелых установках, которые так часто расчищали путь к подлинному прогрессу мысли, приходится отбросить это желание и в предельном переходе видеть их

единственное приемлемое в научном смысле определение. В XVII в. не было

28

интеллектуальных традиций, которые допускали бы такой радикализм» . Прагматистская установка в процессе формирования интегрального исчисления наличествует довольно долго. Энгельс писал: «большинство людей дифференцируют и интегрируют не потому, что они понимают, что они делают, а просто потому, что верят в это, так как до сих пор результат всегда получался

29

правильный» .

Переходя от одной ценностной установки к другой, мы получаем каждый раз новые степени свободы. Познавательная установка оправдывает получение и систематизацию знаний, не имеющих непосредственных практических приложений. Инженерная установка освобождает от необходимости все как-то интерпретировать, что обеспечивает иногда выживание новых подходов и представлений на первых этапах их формирования. Так выживали мнимые числа, так выживали и методы дифференциального и интегрального исчисления.

25Архимед. Сочинения. - М.: Физматгиз,1962. - С. 11

26 Стройк Д Я. Краткий очерк истории математики. - М, 1978. - С. 70-71

27 Рыбников К.А. История математики. - М: Изд-во МГУ, 1974. - С. 155

28 Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика. - М., 2001. - С. 462

29 Маркс К., Энгельс Ф. Сочинения. - М. - Т.20

Постоянное взаимодействие двух выделенных ценностных установок и переключение с одной на другую — это общая закономерность развития

30

науки .

В параграфе 3.5. «Роль коллекторских программ в формировании исчисления» определяется значимость программ организации знания как механизма формирования интегрального исчисления, для чего анализируется проблема начала исчисления.

Исследуя историю той или иной научной дисциплины, мы постоянно сталкиваемся с проблемой* начала: с какого именно момента можно говорить, что выделилась данная дисциплина, заняла особое место в системе научного знания? В большинстве случаев «зародыши» тех или иных идей можно найти уже в глубине веков, но там они существовали в ином контексте, и их появление не всегда свидетельствовало о рождении новой науки. Попытка решить проблему начала в историографии интегрального исчисления с точки зрения традиционного для историков науки поиска первых формулировок содержания научной дисциплины, заводит проблему в тупик. «Рассматривая рассуждения Архимеда при выводе формулы для вычисления объема шара, Д.Пойа говорит об открытии Архимедом интегрального исчисления, которое усилиями многих мыслителей было поставлено на ноги в конце XXVIII века, т.е. через два тысячелетия после Архимеда»31. При обсуждении проблемы начала каждой науки, следует анализировать формирование программ отбора, организации и систематизации знания, т.е. коллекторских программ, ибо именно наличие соответствующей коллекторской программы свидетельствует о том, что выделен новый референт и вокруг него собираются знания.

Математический анализ формировался, как мы видели, сначала в рамках и терминах алгебры, геометрии и механики. Создание нового исчисления означало выделение операций дифференцирования и интегрирования, разработки единообразного алгоритма для вычисления любых площадей и объемов геометрических фигур. В 1696 году появился первый учебник дифференциального исчисления и его приложений к геометрии: «Анализ бесконечно малых» Г.Ф.Лопиталя. Появление этого учебника означало, что выделен новый референт - не площади и объемы - традиционные референты геометрии, а - бесконечно малое, и именно о нем строится знание в новой математической дисциплине.

Таким образом, мы видим, что математика развивается под влиянием таких факторов, как решение конкретных математических задач, таких, например, как вычисление площадей и объемов (что привело к интегральному исчислению), решение уравнений выше пятой степени в радикалах (привело к возникновению идеи групп и теории групп), доказательство пятого постулата Евклида (привело к появлению неевклидовой геометрии) и т.д.; а также под влиянием решения задач других наук, тесно связанных с математикой -механики, астрономии, различных разделов физики. Именно действие этих двух факторов обусловило очень сложный и извилистый путь становления

30 Наука и ценности Отв. редактор А.Н.Кочергин. - Новосибирск: Наука, 1987. - С. 15

31 Никифоровский В.А., Фреймам Л.С. Рождение новой математики. - М.: Наука, 1976.

интегрального исчисления. Однако только внешних факторов совершенно недостаточно для становления математической дисциплины. Она должна еще быть сконструирована на неких единых, чисто математических, а не прикладных основаниях. Это и было сделано в рамках функционирования коллекторской программы, которая, с одной стороны, «извлекла» из приложений приемы интегрирования, а затем в ее рамках был разработан (Вейерштрассом) единый язык, единое видение интегрирования и дифференцирования как собственно математических операций. Это означает, что сложилась другая составляющая того программно-предметного комплекса дисциплин, формирование которого началось с работ Архимеда, -математический анализ как программно-методическая дисциплина.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих публикациях:

1. Пушкарев Ю.В. Пути формирования референции математического знания / Ю.В. Пушкарев // Материалы XXXIX международной научной конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Философия. - Новосибирск: НГУ.2001.- С.73-75.

2. Пушкарев Ю.В. Строение математического знания и проблема референции / Ю.В. Пушкарев // Аспирантский сборник НГПУ - 2001 (По материалам научных исследований аспирантов, соискателей, докторантов) под ред. А.Ж. Жафярова. - Часть 5. Новосибирск: изд-во НГПУ, 2001.- С.100-110.

3. Пушкарев Ю.В. Философия о специфике математических объектов и проблеме их существования в математике / Ю.В. Пушкарев // Материалы региональной научной конференции молодых ученых Сибири в области гуманитарных и социальных наук «Перспективы гуманитарных и социальных исследований в XXI в.» - Новосибирск, 2003.- С.28-31.

4. Пушкарев Ю.В. Становление интегрального исчисления, как новой реальности в математике / Ю.В. Пушкарев // Гносеологический анализ представлений о реальности в науке: сборник научных статей. -Новосибирск: НГУ, 2004. - С.112-131.

5. Пушкарев Ю.В. Понимание науки как социокультурного феномена: образовательные аспекты деятельности ученого / Ю.В. Пушкарев // Философия образования. - Новосибирск. - 2004. - №11(3). - С. 46-53.

6. Пушкарев Ю.В. К вопросу о гносеологическом развитии математического знания / Ю.В. Пушкарев // Сборник научных работ студентов, аспирантов и преподавателей естественно-географического факультета НГПУ.- Новосибирск: ГЦРО, 2004.- вып.6.- С. 256-261.

Подписано в печать 04.04.2005. Формат бумаги 60x84/16. Бумага офсетная Гарнитура Times New Roman Cyr Уч.-изд. л. 1,5. Усл. п. л. 1,4. Тираж 100. Заказ №59

Отпечатано УОП НГОНБ 630007, г. Новосибирск, ул. Советская, 6

914

22 ДПР 2005

Оглавление научной работы автор диссертации — кандидата философских наук Пушкарев, Юрий Викторович

Введение.

Глава 1. Проблема статуса математических объектов.

1.1. Обсуждение вопросов о природе математических объектов в истории философии.

1.2. Дискуссии о статусе математических объектов в философии математики.

1.3. Социальные эстафеты как способ бытия математических объектов.

Глава 2. Особенности онтологии математики: формы, средства и методы задания объектов в математике.

2.1. Математический конструктор как средство задания объектов в математике.

2.2. Формы существования математических методов.

Глава 3. Процессы формирования интегрального исчисления как нового

раздела математики.

3.1. Презентизм и антикваризм в историко-математических исследованиях.

3.2. Программно-предметные комплексы дисциплин и их роль в формировании исчисления.

3.3. Рефлексивные преобразования деятельности в становлении исчисления.

3.4. Ценностные ориентации в чистой и прикладной математике.

3.5. Роль коллекторских программ в формировании исчисления.

Введение диссертации2005 год, автореферат по философии, Пушкарев, Юрий Викторович

Актуальность темы исследования

Вопросы о том, что собой представляют математические объекты -число, линия, треугольник, обсуждаются в философии начиная с Платона и до сих пор не имеют позитивного решения. Обычно считают, что математические объекты - это идеальные объекты, существующие в особом сверхчувственном мире. Вехи на пути решения вопросов о том, где и как существуют такие объекты - номинализм, реализм, концептуализм - в средние века, неономинализм, неореализм, а также логицизм, формализм, интуиционизм, конструктивизм в первой половине XX века. Как показывает В.В. Целищев в недавно вышедших книгах [См. Целищев В.В., 2002 и 2003], споры о том, что собой представляют математические объекты и с помощью каких познавательных способностей их можно изучать, совершенно не затихают в современной философии математики. Существование математических объектов в особом идеальном мире требует и каких-то необычных интеллектуальных способностей человека, с чем трудно согласиться рациональным умам. Утверждение Эрмита о том, что математические объекты «существуют вне нас в силу той же необходимости, как и объекты реального мира, и мы их встречаем или их открываем и изучаем точно так, как это делают физики, химики или зоологи» [Бурбаки Н., 1963, С. 29] не соответствует практике математической деятельности. Поэтому в диссертации принято два принципиальных решения - первое - автор присоединяется к начавшимся уже попыткам осознать сущность математических объектов как семиотических, т.е. как гуманитарных (связывая с математическими знаками правила оперирования с ними), и второе - нам представляется продуктивным предположение В.В. Целищева о том, что в рамках философии математики следует перейти от решения традиционных вопросов о природе математических объектов к эпистемологической ориентации этой дисциплины. Сказанное означает, что наряду с онтологическими вопросами о статусе математических объектов как гуманитарных мы рассмотрим в диссертации вопросы теории познания -как именно возникают новые математические объекты, в частности, интеграл, какие познавательные процессы обусловливают и сопровождают возникновение интеграла и интегрального исчисления. История становления метода интегрирования, а только затем понятия интеграла, растянулась почти на две тысячи лет. В такой ситуации актуален вопрос, какие факторы с одной стороны, способствовали, а с другой - тормозили развитие данной области математики, ответа на который до сих пор не существует. Таким образом, актуальность настоящего исследования определяется как тем, что мы включаемся в обсуждение онтологических проблем (где и как существуют математические объекты), так и тем, что определенное решение о статусе математических объектов влечет за собой наш анализ теоретико-познавательных вопросов о процессах возникновения новых объектов в математике. При этом становление интегрального исчисления выступает для нас в качестве эмпирического материала для анализа гносеологических закономерностей возникновения нового в математике. Мы в этом случае следуем мысли И. Лакатоса о том, что история науки есть пробный камень методологии науки.

Степень разработанности проблемы исследования

Проблеме способа бытия математических объектов посвящена значительная философская литература. Вопрос о статусе математических объектов в разные исторические эпохи в явной или неявной форме обсуждали Демокрит, Архимед, Пифагор, Платон, Аристотель - в Античности; Августин, Фома Аквинский, И.Росцелин, П.Абеляр - в Средневековье; А.Гельвеций, Д.Дидро, Г.Лейбниц, И.Кант - в Новое время.

Философия математики, по мнению В.В. Целищева, есть часть философии, и в ней отражаются все те тенденции, которые свойственны всей философии. «Философия даже относительно элементарных ветвей математики — это такая дисциплина, в которой ясно фокусируются теории о природе языка, знания, указания и истины. Стало очевидно, что традиционная философия математики столкнулась с дилеммами, обусловленными современной теорией познания, и, стало быть, мы имеем дело с эпистемологическим уклоном в философии математики» [Целищев В.В., 2002, С. 37]. Для рассмотрения особенностей математических объектов большое значение имеет литература как по фундаменталистской, так и по нефундаменталистской философии математики. Классическая литература по философии математики может быть отнесена к фундаменталистскому направлению, в рамках которого вопросы механизмов развития математики, как правило, не затрагиваются. В настоящем исследовании важны те работы фундаменталистской философии математики, где ставятся вопросы о сущности математики, о способе бытия ее объектов. Это классические работы по обоснованию математики Б.Рассела, Уайтхеда, Д.Гильберта, о математических структурах - Н.Бурбаки, исследования о природе математического знания Г.И. Рузавина, А.К. Сухотина, Е.А. Беляева, H.A. Киселевой и др.

Нефундаменталистская философия математики начала формироваться в середине 60-х годов прошлого столетия под влиянием работ Т.Куна, М .Полани. В семидесятые годы толчком к ее развитию в западных академических кругах послужила дискуссия о применимости идей Т.Куна к изучению развития математики. Нефундаменталистская философия математики была нацелена не на изучение сущности математики или оснований математического знания, а на исследование тех норм и образцов, которым действительно следуют математики, на поиск реальных путей развития математического знания. Основная задача нефундаментализма - поиск общих схем, поиск закономерностей развития математики. К нефундаменталистскому направлению относятся работы таких отечественных и зарубежных авторов, как А.Г.Барабашев,

В.В.Мадер, Б.С.Грязнов, И.С.Кузнецова, В.В.Целищев, П.Мэдди, Х.Филд, П.Бенацерраф и др. На стыке фундаменталистского и нефундаменталистского подходов написаны работы В.Я.Перминова.

В рамках нефундаменталистского направления большое значение приобретают исследования развития математики в широком социокультурном контексте. Адекватная картина этого развития оказывается невозможной без учета влияния разнообразных социокультурных факторов. Исследования по истории математики последних десятилетий убедительно показывают, что развитие математики не несет в себе черты предопределенности и может существенно задаваться переменчивым культурным окружением.

Акцент на гуманитарное и социокультурное познание математики представлен в работах Д.У.Гиббса, В.П.Хавина, Р.Коллинза, Н.С.Розова, М.А.Розова, А.Г. Барабашева, A.A. Григоряна, Л.С.Сычевой, Р.К.Кадыржанова и др. В.П.Хавин утверждает, что математические объекты не могут иметь независимого существования вне рамок математического языка. Как бы не решался вопрос о статусе математических объектов, сами эти объекты доступны только через язык математики.

В 80-е годы XX века М.А. Розов предложил решение вопроса о способе бытия математических объектов в рамках теории социальных эстафет. По его мнению, «математические объекты не зависят от индивидуального человеческого сознания, ибо они в своем бытии обусловлены всем контекстом культуры, всей практикой человечества и противостоят отдельному человеку или целому поколению как явление не менее объективное, чем язык. Но, будучи явлением культуры, они и развиваются не по законам естественнонаучных объектов, а вместе с культурой и по ее законам» [Розов М.А., 1985, С.25]. Анализ научного знания в рамках теории социальных эстафет исследуется в работах М.А.Розова, С.С.Розовой, Н.И. Кузнецовой, Л.С.Сычевой, С.Б.

Шапошника, М.Ю. Веркутиса и других. Для достижения цели настоящего исследования актуальны работы по историографии математики

A.П.Юшкевича, К.А. Рыбникова, В.С.Малаковского, В.В.Прасосова,

B.К.Петросяна и др. Те или иные аспекты истории развития и становления дифференциально-интегрального исчисления разрабатывали Н.Н.Лузин, В.А.Никифоровский, Л.С.Фрейман, В.П.Хавин, Н.И.Симонов и др. Диссертация опирается также на анализ работ собственно исследователей и создателей математического анализа - Архимеда, И.Кеплера, Р.Декарта, Г.Лейбница и др.

Цель и задачи исследования

Цель исследования - изучить вопросы о способе бытия математических объектов и выявить процессы их формирования на базе использования теории социальных эстафет.

Для реализации этой цели предполагается решить следующие задачи:

1. проанализировать философские дискуссии о статусе математических объектов, выявить причины, обусловливающие непреходящую дискуссионность темы;

2. выявить онтологическую сущность математических объектов в рамках теории социальных эстафет;

3. проанализировать факторы возникновения интегрального исчисления как новой системы правил оперирования со знаками, для чего рассмотреть: а) роль предметных наук в становлении новых разделов математики; б) роль рефлексивных преобразований в возникновении новых объектов математики в условиях неведения; в) влияние программ систематизации знаний (коллекторских программ) и ценностных ориентаций фундаментальной и прикладной науки на формирование интегрального исчисления.

Объект исследования - математическое знание, в частности, математические объекты и математические теории.

Предмет исследования - способы бытия математических объектов и процессы формирования новых математических объектов, главным образом - интеграла и интегрального исчисления как нового раздела математики.

Теоретической и методологической основой исследования являются общие принципы и нормы научного рационального философского мышления. Наиболее значимыми для настоящей работы являются следующие общефилософские научные принципы: принцип культурно-исторической обусловленности знания; принцип системности, основой которого является целостное отображение исследуемой системы, междисциплинарный синтез, использование различных методов анализа, каждый из которых способствует раскрытию определенных сторон изучаемого объекта; принцип понятийного и концептуального конструктивизма. В качестве средства анализа использованы представления М.А. Розова о социальных куматоидах как онтологии гуманитарного познания.

Научная новизна исследования заключается в том, что впервые изучены процессы формирования новых математических объектов как становление новых традиций и правил оперирования со знаками (знаки, соответственно, тоже новые), что потребовало разработки как онтологических, так и гносеологических аспектов темы.

1. Ни в философии прошлого, ни в современной философии математики не получено общепринятое решение вопроса о статусе математических объектов. Непреходящая дискуссионность этих вопросов обусловлена тем, что не решен вопрос о способе бытия математических объектов - о том, где и как существуют математические знаки, что они обозначают.

2. Следует различать вопрос о способе бытия математических объектов, т.е. о способе их существования, который достаточно редко обсуждается, и вопрос, который постоянно возникает в дискуссиях (в частности, в интуиционизме) - какие математические объекты существуют, имеет ли смысл, например, говорить о существовании таких объектов, относительно которых доказаны только теоремы существования, но способ нахождения которых не известен,.

3. Приняв во внимание дилемму Бинацеррафа («если математика представляет собой исследование объективных идеальных сущностей и если когнитивные способности человека позволяют ему познавать только чувственные объекты, то как он может познавать математические объекты?»), диссертант присоединился к относительно новой традиции -осознавать математические объекты как род гуманитарных объектов, а именно - как социальные куматоиды.

4. Утверждение о том, что математические объекты - это социальные куматоиды, означает, что они представляют собой совокупность исторически сложившихся правил оперирования со знаками, фиксирующими количественные стороны реальности. Математические объекты - это семиотические объекты культуры, имеющие, как и все объекты культуры, особую онтологическую природу - программ, реализующихся на постоянно сменяющемся материале. В отличие от знаков обыденного языка особенность математических знаков состоит в том, что они представляют собой оперативные системы или -конструктор, - систему исходных элементов, связанных определенными операциями, позволяющими создавать из исходных новые объекты. В таком случае ответить на вопрос о появлении новых объектов в математике - значит выяснить, какие причины или факторы приводят к возникновению того или иного конструктора.

5.Выявлены следующие процессы, обусловливающие формирование интегрального исчисления как нового конструктора (новой программы или новой системы правил): а) взаимодействие традиционных математических дисциплин и предметных наук, составляющих программно-предметный комплекс наук, в рамках которого дисциплины выделенных групп взаимно обслуживают друг друга - предметные дисциплины поставляют математике задачи, а она, в свою очередь, - разрабатывает методы их решения. Только в рамках комплекса дисциплины получают свое обоснование и завершение. б) рефлексивные преобразования деятельности - переход от решения задач на вычисление площадей, объемов, проведения касательных, к задачам на создание исчисления, обоснования существенно новых процедур - интегрирования и дифференцирования. В результате рефлексивного переосмысления интегралы и дифференциалы превращаются из средства решения предметных задач в объект исследования и обоснования; в) функционирование коллекторской программы, которая организует знание вокруг новых референтов - интеграла, дифференциала. Нужно было освободить знание о новых математических объектах от подчинения предметным задачам и представить исчисление в чистом виде. Это важно потому, что ценности прикладной науки (а именно так выглядело при своем возникновении знание об интегралах) и ценности фундаментальной - различны. Прикладной науке важно, чтобы метод «работал», фундаментальная же наука стремится к знанию о новых объектах, к тому, чтобы ввести их в математику по канонам этой науки, тогда как сначала существование интегралов было оправдано тем, что с их помощью можно было вычислять площади и объемы.

Теоретическая и практическая значимость исследования

Теоретическое значение работы определяется, прежде всего, проведенным в ней философско-методологическим анализом актуальной проблемы способа бытия математического объекта. Работа имеет теоретический характер, и полученные в ней результаты могут представлять интерес для философов, математиков и всех, кто интересуется философией математики и процессами ее становления и развития. Результаты проведенной работы могут быть использованы для дальнейшего гносеологического анализа вопросов о способе бытия математических объектов и механизмах их формирования.

Практическая значимость диссертационного исследования заключается в том, что полученные в нем результаты могут быть использованы при преподавании философии и методологии науки, теории познания, истории математической науки, а также в процессе дальнейшего совершенствования программ и тематических планов учебных дисциплин естественно-гуманитарного цикла.

Апробация работы

Результаты исследований, выполненных по теме диссертации, обсуждались на семинаре по эпистемологии и философии науки на кафедре философии НГУ и опубликованы в сборнике научных статей семинара «Гносеологический анализ представлений о реальности в науке»; также обсуждались на кафедре философии НГПУ и опубликованы в аспирантском сборнике Новосибирского государственного педагогического университета, составленном по материалам научных исследований аспирантов, соискателей, докторантов.

Отдельные аспекты диссертационного исследования представлялись на ежегодной международной студенческой конференции Новосибирского государственного университета «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2001, 2004); обсуждались на региональной научной конференции молодых ученых Сибири в области гуманитарных и социальных наук «Перспективы гуманитарных и социальных исследований в ХХ1в.» в институте философии и права СО РАН (Новосибирск, 2003); в рамках международного конгресса «Образование и наука в XXI веке: проблемы интеграции и правового регулирования» (21-25 ноября 2003г.) и опубликованы в серии трудов научного методического центра философии образования НГПУ «Философия образования» (Новосибирск, 2004); использовались в курсе лекций и семинарских занятий по философии для студентов естественно-географического факультета НГПУ, а также в разработке электронного учебно-методического пособия по философии для студентов НГПУ и отражены в сборнике научных работ студентов, аспирантов и преподавателей естественно-географического факультета НГПУ. Диссертация обсуждалась на кафедре философии и социальных наук Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М.Ф.Решетнева.

Структура работы

Цель и задачи исследования определили структуру работы, которая состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка использованной литературы, включающего 217 наименований.

Заключение научной работыдиссертация на тему "Способ бытия и процессы формирования математических объектов"

Заключение

Подведем итоги работы. Мы рассмотрели вопрос о способе бытия математических объектов и проанализировали процессы их формирования на базе использования теории социальных эстафет.

Философия и математика тесно связаны в своем историческом развитии - многие крупные философы рассматривали вопрос о природе математических объектов и, наоборот, математики часто обращались к философии. Оба эти интереса совершенно не случайны. Математические объекты изначально содержат в себе тайну — представляя наиболее строгую науку, сами эти объекты выглядят как что-то существенно отличное от вещей материального мира. Именно эту особенность математических объектов отразил Платон, полагая, что математические понятия существуют как особые сущности между миром идей и миром материальных вещей. Аристотель в противовес Платону не помещает эти объекты в какой-то особый мир идей, а считает их существующими в особом смысле в реальном мире. Позиции Платона и Аристотеля, как известно, воспроизводились в средневековом споре реализма и номинализма, где обсуждалось, можно ли приписать множеству такое же существование, как и отдельному его элементу.

Начиная с работ Фреге, Уайтхеда и Рассела, можно говорить о философии математики как специальной философской дисциплине, обсуждающей широкий круг проблем, куда входят не только вопросы о статусе математических объектов, но вопросы о специфике математики как науки, о том, каковы стимулы и механизмы ее формирования, инициированная книгой Т.Куна проблема - есть ли научные революции в математике и т.д. В современной онтологии математики существует множество направлений, дискутирующих о статусе математических объектов, и, в той или иной степени противостоящих платонизму.

Большинство математиков не могут примирить в одной модели явно искусственный, конструктивный характер математики, т.е. то обстоятельство, что ее объекты строятся людьми, и объективность математического знания. Конструктивный характер математических объектов отмечают большинство представителей философии математики. Однако «рукотворная» природа математических объектов порождает сомнение в объективности исследуемой математиками реальности. Узко понятая объективность (как независимость от человека) не дает возможности отнести эту важнейшую ценностную характеристику любого знания к математике.

Было зафиксировано также, что те или иные решения об онтологическом статусе математических объектов приводят к различным ответам о том, как человек познает эти объекты. В частности, существование математических объектов в ином, нематериальном мире, влечет за собой утверждение, что «люди имеют внечувственное осознание математических структур», входя в контакт с этими структурами с помощью интуиции.

Принятый в диссертации вариант решения вопроса об онтологическом статусе математических объектов - рассмотрение объектов математики не как естественно-научных объектов, а как объектов культуры и соответственно развивающихся по законам культуры. Для описания таких объектов использовалась разработанная М.А. Розовым теория социальных эстафет. Математические объекты в этой теории представлены как социальные куматоиды, т.е. некоторая программа или совокупность программ, в рамках которых организуется и функционирует все время обновляющий себя материал. Трактуя математические объекты как эстафеты или куматоиды, мы получаем способ их исследования -изучение тех программ, которые связаны в традиции с каждым математическим объектом - числом, интегралом, группой и т.п., - а именно - изучение вопросов о том, что привело к формированию каждой такой программы, как видоизменяется та или иная программа и т.п. Математические объекты как культурные объекты задаются системой образцов и правил, и именно образцы и правила в дальнейшем выявлялись нами при исследовании формирования представлений об интеграле и становлении интегрального исчисления. Интегральное исчисление выступало для нас в качестве эмпирического материала, который помогал выявить гносеологические особенности формирования новых математических объектов.

Уподобив математические объекты гуманитарным (семиотическим), мы поставили вопрос - чем отличаются числа, функции, интегралы, группы (как объекты математики) от обычных знаков, которые изучает лингвистика как наука о естественном языке. Ответ на этот вопрос -математические объекты это оперативные системы, где все знаки связаны друг с другом определенными правилами и знаки (или их комбинации) преобразуются по определенным правилам. Всякий математический объект с этой точки зрения входит в то или иное исчисление, порождая совокупность методов, задающих каждое исчисление. Мы рассмотрели в связи с этим вопрос, как существуют математические методы, всегда ли они есть некий перечень правил или действий со знаками или существуют и как-то иначе.

Мы показали, что методы как правило существуют сначала как образцы решенных задач, т.к. деятельность решения задачи обычно имеет два результата: предметный результат и тот способ, которым этот результат был получен. Метод в математике может существовать также в виде списка правил; в виде алгоритма; в виде таблицы. Математика, как совокупность правил, постоянно демонстрирует способность к развитию. Опыт решения содержательных задач не весь фиксирован в виде правил. Любое появление новых объектов в математике можно интерпретировать как изменение правил математической игры.

Значительную роль в формировании математического знания играют традиции, правила, ценности, определяющие присутствие в математике форм неявного знания, которые передаются на уровне непосредственной демонстрации образцов деятельности. Были выделены также следующие механизмы формирования новых математических объектов: а) стихийное возникновение чисел, геометрических фигур и т.д., в материальной практической деятельности человека, б) стихийное возникновение математических объектов в ходе решения математических задач (группы Э. Галуа, неопределенный интеграл), 3) целенаправленное конструирование математических объектов (двойные, тройные интегралы), 4) аксиоматическое задание математических объектов через системы аксиом (геометрия Н.И. Лобачевского), и д) возникновение математических объектов при решении предметных задач или задачи других наук (теория полиномов П.Л. Чебышева).

Определенное решение вопроса о способе бытия математических объектов - существование их как социальных куматоидов, т.е. как определенных программ, позволило поставить вопрос о том, как возникают новые программы деятельности со знаками (и как возникают сами знаки). Этот вопрос рассматривался нами на материале истории формирования такого математического объекта как интеграл. Обращение к истории математики естественно было связать с анализом позиций презентизма и антикваризма как двух различных методологических программ в рамках историко-научных исследований. Позиция презентизма как трактовка текстов по истории науки в терминах современной науки отвергается современными историками науки. Однако антикваризм как описание источника на языке той эпохи, когда этот источник был создан, тоже не устраивает историков. Выход состоит в том, чтобы не переизлагать источник на современном языке, а в том, чтобы выявить и описать социокультурный контекст возникновения и функционирования источника, те традиции, которые все это определяли.

Рассматривая социокультурный контекст формирования интегрального исчисления, те традиции, которые определяли его возникновение, мы прежде всего обратили внимание на то, что новые математические объекты как правило исподволь возникают либо при решении задач уже существующих математических наук, либо - в рамках предметных наук, которым «требуется» математика. Становление интегрально-дифференциального исчисления происходило в рамках программно-предметного комплекса, который связывал предметно-ориентированные дисциплины - механику, астрономию, геометрию, с вновь формирующейся программно-методической дисциплиной, впоследствии получившей название математический анализ. Было показано, что в рамках предметных наук возникли задачи на вычисление площадей и объемов, приведших к методу интегрирования и, соответственно, понятию интеграла, и задачи на проведение касательных, приведшие к методам дифференцирования. Следующий необходимый шаг - выделение специфического референта новой дисциплины - интеграла (и тесно связанного с ним понятия производной) и собственно становление методически ориентированной дисциплины - математического анализа.

Специально подчеркнуто, что наличие программно-предметного комплекса в становлении исчисления имеет как позитивные следствия для математической дисциплины, так и негативные. Позитивные - задачи предметных наук требовали разработки новых методов и дали тем самым импульс к возникновению новых методов вычисления. Негативные интегральное исчисление возникло сначала как некоторая техника вычисления площадей, дифференциальное исчисление - как метод проведения касательных в точке. Именно включенность интегрального и дифференциального исчисления в решение задач других наук тормозило выделение самостоятельных референтов новой математической дисциплины {математического анализа) и породило задачу обоснования анализа, которую впоследствии решали О.Коши и К.Вейерштрасс - задание интеграла как объекта «чистой» математики, важного самого по себе, который связан с другими объектами математики, а не только с объектами других наук.

В деятельности ученых, принимавших участие в становлении интегрального исчисления, было показано, что существенную роль играли рефлексивные преобразования математической деятельности, которые явились одним из источников новаций в математике в условиях неведения, Рефлексивные преобразования как изменение целевой установки исследователя обусловливают «незапланированные» новации. Действительно, в ходе становления математического анализа существенно было осознать, что важным является не сами по себе формулы для вычисления площадей и объемов, а новые математические объекты -интегральные суммы, операции с пределами и т.п.

Существенна также роль ценностных установок в деятельности ученого и формировании исчисления. Человеческая деятельность, в том числе и научная, носит целенаправленный характер и связана с ценностными ориентациями. Существует два типа характеристик ценностной ориентации в науке: первом случае ценностная ориентация познавательная или фундаментальная, а во втором - прикладная, инженерная. Фундаментальная ориентация соседствует с обсуждением вопроса о практической значимости получаемых знаний. Каждая из ценностных установок дает определенный простор для действий ученого. Первоначально новое исчисление формировалось в рамках решения утилитарных задач - важны были методы вычисления площадей и объемов, образованных кривыми - действовала прагматистская установка. Однако со временем новое исчисление должно было быть осознано как ценное само по себе, помимо того, что оно дает методы решения предметных задач - здесь работала установка не на пользу, а на истину.

Таким образом, на основании анализа исторического материала формирования интегрального исчисления было заключено, что математика развивается под влиянием двух «внешних» факторов. Во-первых, решения конкретных математических задач, таких, например, как вычисление площадей и объемов (что привело к интегральному исчислению), решения уравнений выше пятой степени в радикалах (привело к возникновению идеи групп и теории групп), доказательство пятого постулата Евклида (привело к появлению неевклидовой геометрии) и т.д.; во-вторых, решения задач других наук, тесно связанных с математикой - механики, астрономии, различных разделов физики. Именно действие этих двух факторов обусловило очень сложный и извилистый путь становления интегрального исчисления - оно как средство решения конкретных задач и выполняло сначала некую подсобную роль. Однако только внешних факторов совершенно недостаточно для становления математической дисциплины. Она должна еще быть сконструирована на неких единых, чисто математических, а не прикладных основаниях. Это и было сделано в рамках функционирования коллекторской программы, которая, с одной стороны, «извлекла» из приложений приемы интегрирования, а затем в ее рамках был разработан (Вейерштрассом) единый язык, единое видение интегрирования и дифференцирования как собственно математических операций.

Список научной литературыПушкарев, Юрий Викторович, диссертация по теме "Онтология и теория познания"

1. Адамар Ж. Исследования психологии процесса изобретения в области математики. Перевод с фр. М.А.Шаталовой. Под ред. И.Б.Погребысского. М., 1970.

2. Андреева Г.М. Психология социального познания. М., 1997.

3. Андреева Г.М. Социальная психология. М., 1997.

4. Аносов Д.В. Взгляд на математику и нечто из нее. М., 2000.

5. Антипов Г.А., Фахрутдинова А.З. Ценности науки и ценности ученого. // В сб. Наука и ценности. Отв. редактор д-р филос.н. А.Н.Кочергин. Новосибирск: Наука, 1987. - С.57-72

6. Анциферов Л.И. Физика. 10 класс. М.: Мнемоза, 2002.

7. Аристотель. Никомахова этика. // Аристотель. Сочинения в 4х т. -т.4-М., 1981.

8. Аристотель. Метафизика. //Аристотель. Сочинения: В 4т. т.1 -М.: Мысль, 1976.

9. Архимед. Сочинения. М.: Физматгиз,1962.

10. Асмус В.Ф. Иммануил Кант. М.: Наука, 1973. - 535с.

11. Астрономия. 11 класс. М.: Дрофа, 2002.

12. Афанасьев В.Н. и др. Математическая теория конструирования систем управления. — М., 1989.

13. Бабайцев А.Ю. Эпистемология. // Новейший философский словарь. Сост. А.А.Грицанов. Мн.:Изд-во В.М.Скакун, 1999. - С.847-848.

14. Барабашев А.Г. Бесконечность в математике: сборник трудов. -М., 1997.

15. Барабашев А.Г. Будущее математики. Методологические аспекты прогнозирования. М.: Изд-во МГУ, 1991.

16. Барабашев А.Г. Диалектика развития математического знания (закономерности эволюции способа систематизации). М.: Изд-во Моск.Ун-та, 1983. - 166с.

17. Барабашев А.Г. О прогнозировании развития математики посредством анализа формальных структур познавательных установок. // В сб. Стили в математике: социокультурная философия математики. Под ред. А.Г.Барабашева. — СПб.: РХГИ, 1999. С.460-463

18. Барабашев А.Г. Философия математики как теоретическая и прикладная область знания. // В сб. Методологический анализ закономерностей развития математики. Ред. Барабашев А.Г. М., 1989.

19. Башмакова И.Г. Очерки по истории математики. М., 1997.

20. Башмакова И.Г. Становление алгебры. М., 1979.

21. Бейлисон A.A. Математические структуры и структура математики. // В сб. Методологический анализ закономерностей развития математики. Ред. Барабашев А.Г. М., 1989.

22. Беллюстин В. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики. М., 1941.

23. Беляев Е.А., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики. М.: Изд-во МГУ, 1981.

24. Боголюбов А.Н. Математики. Механики. (Биографический справочник) Киев: Наукова Думка, 1983 - 640с.

25. Бодунов H.A. Математические модели в естествознании. М., 1997.

26. Бурбаки Н. Интегрирование (меры, интегрирование мер). -Перевод с фр. Е.И.Стечкиной. М.: Наука, 1967. - 396с.

27. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. Перевод И.Г.Башмаковой. Под ред. К.А.Рыбникова. М., 1963.

28. Быченкова И.А., Сычева JI.C. Традиция как объект гуманитарного познания: Монография. Новосибирск: НГУ, 2001. - 130с.

29. Вавилов В.В. Изобретатель криволинейных координат. М., 2000.

30. Вариационные принципы механики: Сборник статей. М., 1959.

31. Вейль Г. Математическое мышление. Пер с англ. М.: Наука, 1989.

32. Веркутис М.Ю. Гносеологический анализ процессов формирования нового знания в математике: рефлексивные преобразования и рациональные переходы. Автореферат диссертации на соискание уч.ст.к.филос.н. Новосибирск: НГПУ, 2002. - 25с.

33. Вернигоров Ю.М. и др. Элементы математики в физике. Ростов на Дону., 2000.

34. Веселовский И.Н. Вступительная статья. // Архимед. Сочинения. -М.: Физматгиз, 1962.

35. Вечтомов Е.М. О философии математики. Киров, 2000.

36. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. Перевод с нем., ред. А.П.Юшкевич. М., 1960.

37. Витгенштейн JI. О достоверности. // Вопросы философии. М., 1984. -№8.-С. 142-149

38. Волошинов A.B. Математика и искусство. М.: Просвещение, 1992.

39. Вопросы истории физико-математических наук. М., 1963.

40. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М., 1967.

41. Гейзенберг В. Физика и философия. Часть и целое. М.: Наука, 1989.

42. Гейтинг А. Обзор исследований по основаниям математики. М.; Л., 1936

43. Гейтинг А. Интуиционизм. Введение. М., 1965

44. Гельвеций А. О человеке, его умственных способностях и его воспитании. М., 1938.

45. Гиршвальд А.Я. История открытия логарифмов. Харьков, 1952.

46. Гносеологические проблемы математического познания: современные зарубежные исследования (научно-аналитический обзор). Автор обзора З.А.Сокулер. Отв.ред. А.И.Панченко. М., 1984. - 70с.

47. Гносеологический анализ представлений о реальности в науке. Сборник научных статей. Новосибирск: НГУ, 2004. - 232с.

48. Горчаков Ю.М. Теория групп. М., 1998.

49. Грязнов Б.С. О взаимоотношении проблем и теорий. М.: Наука, 1985.

50. Гудстейн Р. Л. Математическая логика. М., 1961.

51. Декарт Р. Рассуждение о методе. // Декарт Р. Избранные произведения. М., Изд-во полит.литературы, 1950. - С.257-319

52. Декарт Р. Избранные произведения. М., Изд-во полит.литературы, 1950. - 710с.

53. Демидов С.С. О работе Д. Гильберта «Аксиоматическое мышление» // Методологический анализ оснований математики. М., 1988.-С.104-107

54. Демидов С.С. Презентизм и антикваризм в историко-математическом исследовании. // Вопросы истории естествознания и техники. №3. -1994.- С.13-23

55. Дидро Д. Собрание сочинений в 2х т. М.—Л., 1939.

56. Дробницкий О. Ценность // Философская энциклопедия, т.5, -С.462

57. Жуков Н.И. Философские основания математики. — Минск, 1990.

58. Заика Ю.В. Управление и алгоритмы наблюдения и идентификации. Петрозаводск, 2001.

59. Закономерности развития современной математики: Методологические аспекты. Под ред. М.И. Панова. М.: Наука, 1987.

60. История математики XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. Под ред. А.Н. Колмогорова, А П. Юшкевича. М.: Наука, 1978.

61. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. В 3 т. М.: Наука, 1970-1972.

62. История отечественной математики с древнейших времен до конца XVIII века. В 4х томах. Отв. Редактор И.З.Штокало. Киев: Наукова Думка, 1966. - 492с.

63. Каазик Ю.Я. Математический словарь. Таллин, 1985. - 296с.

64. Каган В.Ф. Основания геометрии. Учение об основании геометрии в ходе ее исторического развития. 4.1. - М. - Л.: Гостехиздат, 1949. -492с.

65. Кадыржанов Р.К. Проблемы социально-культурной природы математического познания. Алма-Ата: Гылым, 1992. - 129с.

66. Кант И. Основы метафизики нравственности. Критика практического разума. // Кант И. Сочинения в 6 т., т.4 (1) М., 1965.

67. Кант И. Сочинения в шести томах. т.З - М., 1964.

68. Карнап Р. Философские основания физики. М.: Прогресс, 1971.

69. Карри X. Б. Основания математической логики. М., 1969

70. Келле В.Ж. Научное познание и ценности гуманизма. // В сб. Ценностные аспекты развития науки. Отв.ред. Н.С.Злобин, В.Ж.Келле. -М.: Наука, 1990.-С.7- 18

71. Келле В.Ж., Мирская Е.З., Игнатьев A.A. Марксизм и современная западная наука. // Современная западная социология науки. М., 1988.

72. Кеплер И. Стереометрия винных бочек. 1935.

73. Клайн М. Математика: поиск истины. Перевод с англ. Ю.А.Данилова. М.: Мир, 1988. - 295с.

74. Клайн М. Математика: утрата определенности. М.: Мир, 1984. -434с.

75. Князев H.A. Философские аспекты науки как компонента образования. // Философия образования. Новосибирск. - №7. - 2003. -С.3-12

76. Козлова М.С. Философия и язык: Критический анализ некоторых тенденций эволюции позитивизма XX в. М.: Мысль, 1972. - 254с.

77. Коллинз Р. Социальная реальность объектов естествознания и математики. Перевод Н.С.Розова // Философские науки. №2 (10). -2001.-C.3-23

78. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. М.: Наука, 1991.

79. Конач И.И. Физическая химия. М., 1999.

80. Конык Г.К. Философские вопросы физико-математических и технических наук. — Казань, 1999.

81. Кузнецов А.П. География. 10 класс. М.: Дрофа, 2002.

82. Кузнецова И.С. Гносеологические проблемы математического знания. Л., 1984

83. Кузнецова Н.И. Аксиологические условия формирования науки. // В сб. Наука и ценности. Отв. редактор д-р филос.н. А.Н.Кочергин. -Новосибирск: Наука, 1987. С.111-134

84. Кузнецова Н.И. Статус и проблемы истории науки. // Философия и методология науки. Под ред. В.И.Купцова. М.: Аспект Пресс, 1996. -С.ЗЗЗ -361

85. Кун Т. Логика открытия или психология исследования? // Философия науки. №3: Проблемы анализа знания. — М., ИФ РАН, 1997. -С. 24

86. Кун Т. Структура научных революций. Перевод с англ. И.З.Налетова. Ред. и послесловие С.Р.Микулинского и Л.А.Марковой. 2-е издание. М.: Прогресс, 1977. - 306с.

87. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М., 2001.

88. Лакатос И. Доказательства и опровержения. М., 1967.

89. Лейбниц Г.В. Сочинения: В 4т. Т.2. - М., 1983.

90. Лекторский В.А. Вступительная статья. // Полани М. Личностное знание. На пути к посткритической философии. М.: Прогресс, 1985. -С. 6-9

91. Лузин Н.Н. Интеграл и тригонометрический ряд. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1951.

92. Лэйси X. Свободна ли наука от ценностей? Ценности и научное понимание. / Пер. с англ. Л.В.Сурковой, В.А.Яковлева, А.И.Панченко; Под ред. В.А.Яковлева. М.: Логос, 2001. - 360с.

93. Мадер В.В. Введение в методологию математики. (Гносеологические, методологические и мировоззренческие аспекты математики. Математика и теория познания). М.: Интерпракс,1995. -464с.

94. Малаковский B.C. Избранные главы истории математики. — М., 2002.

95. Марков А. А. О логике конструктивной математики. М., 1972

96. Марков А. А. О конструктивной математике.-Тр. Матем. ин-та им. В.А.Стеклова, 1962, т. 62

97. Маркс К. и Энгельс Ф. Сочинения. М., 1955. - т. 20.

98. Математика в современном мире. М.: Мир, 1967.

99. Математическая энциклопедия в 5ти т. Под ред. И.М.Виноградова. -М., 1977.

100. Методологический анализ закономерностей развития математики. Под ред. Барабашева А.Г. М.: Наука, 1989.

101. Методологический анализ оснований математики. Под ред. М.И.Панова. М.: Наука, 1988.

102. Мид М. Культура и мир детства. М., 1988.

103. Митрофанова С.С. Функции ценностных установок в научном исследовании. // В сб. Наука и ценности. Отв. редактор д-р филос.н.

104. A.Н.Кочергин. Новосибирск: Наука, 1987. - С.86-98

105. Можейко М.А. Номинализм. Реализм. Концептуализм. // Новейший философский словарь. Сост. А.А.Грицанов. Мн.:Изд-во

106. B.М.Скакун, 1999. С.471, 566-567, 332-333.

107. Молодший В.Н. Основы учения о числе в XVIII и начале XIX века. -М., 1963.

108. Молодший В.Н. Очерки по философским вопросам математики. -М.: Просвещение, 1969.

109. Наука и ценности. Отв. редактор д-р филос.н. А.Н.Кочергин. -Новосибирск: Наука, 1987. 242с.

110. Наука и ценности. Отв.ред. А.Н.Кочергин. Новосибирск: Наука, 1987.-242с.

111. Никифоровский В.А. Путь к интегралу. М., 1985.

112. Никифоровский В.А., Фрейман JI.C. Рождение новой математики. -М.: Наука, 1976.-197с.

113. Новейший философский словарь. Сост. А.А.Грицанов. Мн.:Изд-во В.М.Скакун, 1999. - 896с.

114. Ожегов С.И. Словарь русского языка. М.: «Русский язык», 1990.- 924с.

115. Очерки по истории математики. Под ред. Б.В.Гнеденко. М.: Из-во МГУ, 1997.

116. Перминов В.Я. Ложные претензии социокультурной философии науки. // В сб. Стили в математике: социокультурная философия математики. Под ред. А.Г.Барабашева. — СПб.: РХГИ, 1999. С.235-253

117. Перминов В.Я. Философия и основания математики. М., 2001.

118. Петров Ю.П., Петров Л.Ю. Неожиданное в математике и его связь с авариями. М., 2002.

119. Петросян В.К. Общий кризис теоретико-множественной математики и пути его преодоления. М., 1997.

120. Платон. Филеб, Государство, Тимей, Критий / Пер. с древнегреч.; Общ.ред. А.Ф.Лосева, В.Ф.Асмуса, А.А.Тахо-Годи. М.: Мысль, 1999. -656с. - (Классическая философская мысль).

121. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. Перевод с англ. И.А.Вайнштейна. Под ред. С.А.Яновской. 2-е издание исправленное. М.: Наука, 1975. - 463с.

122. Полани М. Личностное знание. На пути к посткритической философии. М.: Прогресс, 1985. - 344с.

123. Поппер К. Логика и рост научного знания. М.: Прогресс, 1983. -605с.

124. Поппер К. Нормальная наука и опасности, связанные с ней. // Философия науки. № 3: Проблемы анализа знания. М., ИФ РАН, 1997.

125. Прасосов В.В. Геометрия Лобачевского. М., 2000.

126. Проблема способа бытия объекта исследования как методологическая проблема. Новосибирск: НГУ, 2002. - 310с.

127. Проблема способа бытия объектов исследования в гуманитарных и естественных науках: Сборник научных статей. 2-е переработанное и дополненное издание. Новосибирск: Изд-во НГУ, 2001. - 200с.

128. Проблемно-ориентированный подход к науке: новая философия математики. Под ред. В.В.Целищева. — Новосибирск: Наука, 2001.

129. Пуанкаре А. Теория вероятностей. Ижевск, 1999.

130. Пушкарев Ю.В. Становление интегрального исчисления как новой реальности в математике. // Гносеологический анализ представлений о реальности в науке. Сборник научных статей. Новосибирск: НГУ, 2004.-С.112-132

131. Ракитов А.И. Курс лекций по логике науки. М.: Высшая школа, 1971.

132. Рассел Б. Введение в математическую философию. Перев. с англ. Целищева B.B. М. - 1996.

133. Рассел Б. Мудрость Запада. — М.: Республика, 1998.

134. Резников Л.О. Гносеологические вопросы семиотики. Л.: Изд-во ЛГУ, 1964.

135. Розин В.М., Москалева A.C. Ценность как предмет изучения. // Техническая эстетика, вып.6 Труды ВНИИТЭ. М., 1973. - С. 84-127.

136. Розов М.А. Классификация и теория как системы знания. // На пути к теории классификации: Сборник научных статей. Новосибирск: НГУ, 1995. - С.81-127

137. Розов М.А. Научное знание и механизмы социальной памяти: Автореферат диссертации на соискание уч.степени доктора философских наук. М.: Ротапринт МАСИ, 1990. - 45с.

138. Розов М.А. Презентизм и антикваризм две картины истории. // Вопросы истории естествознания и техники. - №3. -1994. - С. 13-23

139. Розов М.А. Проблема ценностей и развитие науки. // В сб. Наука и ценности. Отв. редактор д-р филос.н. А.Н.Кочергин. Новосибирск: Наука, 1987.-С.5-27

140. Розов М.А. Проблемы эмпирического анализа научных знаний. -Новосибирск: Наука, 1977. 222с.

141. Розов М.А. Способ бытия математических объектов. // Методологические проблемы развития и применения математики. Сборник научных трудов. М.: Наука, 1985. - С.20-35

142. Розов М.А. Теория социальных эстафет и проблема анализа знания. // Теория социальных эстафет: История Идеи - Перспективы. -Новосибирск, 1997.

143. Розов М.А. Традиции и новации в развитии науки. // Философия и методология науки. Под ред. В.И.Купцова. М. : Аспект Пресс, 1996. -С. 202-237

144. Розов М.А. Философия и проблема свободы человека. // В сб. Философская культура личности и научно-технический прогресс. — Новосибирск, 1987.

145. Розов М.А. Что такое теория социальных эстафет // Идея подражания в гуманитарном познании в очерках и извлечениях. -Новосибирск, 1998.

146. Розов Н.С. Природа «упрямой реальности» в философии естествознания и математики. // Философские науки. №2 (10). - 2001. - С.24-36

147. Розов Н.С. Философия гуманитарного образования (Ценностные основания и концепция базового гуманитарного образования в высшей школе) М., 1993. - 194с.

148. Розов Н.С. Ценности в проблемном мире: философские основания и социальные приложения конструктивной аксиологии. Новосибирск: НГУ, 1998.-292с.

149. Розова С.С. Опыт решения проблемы способа бытия знания и возможности его использования в гуманитарных науках. // Проблема способа бытия объекта исследования как методологическая проблема. -Новосибирск: НГУ, 2002. С.22-33

150. Розова С.С. Теория социальных эстафет в эпистемологических и философско-научных исследованиях. // В сб. Проблема способа бытия объекта исследования как методологическая проблема. Новосибирск: НГУ, 2002. - С.33-47

151. Розова С.С., Сычева JI.C. Типы теоретических объектов науки и вопрос об их реальности. // Гносеологический анализ представлений о реальности в науке. Сборник научных статей. Новосибирск: НГУ, 2004. - С. 5-25

152. Рузавин Г.И. О природе математического знания. М.: Мысль, 1968.

153. Рузавин Г.И. Об особенностях научных революций в математике. // В сб. Методологический анализ закономерностей развития математики. Ред. Барабашев А.Г. М., 1989.

154. Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики. М., 1983.

155. Рыбников К.А. Введение в методологию математики. М.: Изд-во МГУ, 1994-1995.

156. Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки. -М.: Просвещение, 1987.

157. Рыбников К.А. История математики. М.: Изд-во МГУ,1974. -455с.

158. Свиридюк Г.А. и др. Вводный курс истории и методологии математики. Челябинск, 1995.

159. Семенов Ю.И. Философия арифметики.

160. Современные зарубежные исследования по философским проблемам математики (научно-аналитический обзор). Автор обзора З.А.Сокулер. Отв.ред. А.И.Панченко. М., 1983. - 62с.

161. Степин B.C., Горохов В.Г., Розов М.А. Философия науки и техники. М., 1996.

162. Стили в математике: социокультурная философия математики. Под ред. А.Г.Барабашева. — СПб.: РХГИ, 1999. 552с.

163. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М. Наука, 1978. -334с.

164. Сухотин А.К. Философия в математическом познании. Томск, 1977.

165. Сычева Л.С. Волновая революция в гуманитарных науках. // Проблема способа бытия объектов исследования в гуманитарных и естественных науках: Сборник научных статей. 2-е переработанное и дополненное издание. Новосибирск: Изд-во НГУ, 2001. - С. 179-199

166. Сычева Л.С. Представления о реальности в древнегреческой и средневековой философии. // Гносеологический анализ представлений о реальности в науке. Сборник научных статей. Новосибирск: НГУ, 2004. - С.44-56

167. Сычева Л.С. Современные процессы формирования наук: опыт эмпирического исследования. Новосибирск, 1984. - 160с.

168. Сычева JI.С. Ценностные ориентации науки и явление научного лидерства. // В сб. Наука и ценности. Отв. редактор д-р филос.н. А.Н.Кочергин. Новосибирск: Наука, 1987. - С.72-86

169. Теория графов и ее применение: Сборник научных трудов. Под ред. Скоробогатова В.А.

170. Тимошенко И.Г. Научное познание в математике. Новосибирск: изд-во НГТУ, 2002.

171. Тихомиров В.М. О некоторых особенностях математики XX века. // В сб. Стили в математике: социокультурная философия математики. Под ред. А.Г.Барабашева. — СПб.: РХГИ, 1999. С.441-460

172. Тихомиров В.М. О некоторых особенностях математики XX века. // Историко-математические исследования. Вторая серия. М., 1999. -Вып. 3(38).- С.178-197.

173. Тулмин Ст., Человеческое понимание. М., 1984.

174. Философия естествознания XX века: итоги и перспективы. Материалы к первому всероссийскому философскому конгрессу: «Человек. Философия. Гуманизм». М., 1997.

175. Философия и методология науки. Под ред. В.И.Купцова. М. : Аспект Пресс, 1996. - 551с.

176. Философские проблемы оснований физико-математического знания. Ред. Лукьянец B.C. Киев, 1989.

177. Френкель A.A., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М.: Мир, 1960.-555с.

178. Хавин В. П. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной вещественной переменной. Санкт-Петербург, 1998.

179. Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия. Под ред. А.П. Юшкевича. М.: Просвещение, 1976.

180. Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей. Под ред. А.П. Юшкевича. М.: Просвещение, 1977.

181. Царский B.C. Понятие существования, логический позитивизм и формальная логика. // Философские вопросы современной формальной логики. -М., 1962.

182. Целищев В.В. Онтология математики: объекты и структуры. -Новосибирск: Нонпарель, 2003. 240с.

183. Целищев В.В. Поиски новой философии математики. // Философские науки. №3 (11). - 2001.

184. Целищев В.В. Философия математики. Часть I. Новосибирск: Наука, 2002.-212с.

185. Ценностные аспекты развития науки. Отв.ред. Н.С.Злобин, В.Ж.Келле. М.: Наука, 1990. - 293с.

186. Черняк B.C. Нормы научности и ценности культуры. // В сб. Ценностные аспекты развития науки. Отв.ред. Н.С.Злобин, В.Ж.Келле. -М.: Наука, 1990. С.182-197

187. Чисанашкин В.М. Красота физики. М., 2000.

188. Шапошник С.Б. Коллекторские программы в процессе формирования квантовой физики.// В сборнике научных работ: На теневой стороне: Теория социальных эстафет история, идея, перспективы. - Новосибирск: Сибирский хронограф, 2004. - С.356-379

189. Шафиев М.И. История физики. М., 1998.

190. Швырев B.C. Неопозитивизм и проблемы эмпирического обоснования науки. М.: Наука, 1966. - 215с.

191. Щедровицкий Г.П. Понимание как компонента исследования знаков. // В кн.: Вопросы семантики. Тезисы докладов. М.,1971.

192. Щедровидкий Г.П., Садовский В.Н. К характеристике основных направлений исследования знака в логике, психологии и естествознании. Сообщение III. // В кн.: Новые исследования в педагогических науках. -V. М.: Просвещение, 1965.

193. Энгельс Ф. Диалектика природы. М.: Госполитиздат, 1965.

194. Юшкевич А.П. Из истории возникновения математического анализа. М.: Наука, 1978.

195. Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 г. М.: Наука, 1968.

196. Barnes В. Scientific Knowledge and Sociological Theory. London, 1974.

197. Barrow J. Pi in the Sky. 1992.

198. Beth E. Mathematical Thought. Dordrecht: Reidel, 1965.

199. Bloor D. Knowledge and Social Imagery. London, 1976.

200. Bloor D. Wittgenstein and Mannheim on the Sociology of Mathematics// Studies on History and Philosophy of Science. 1973.V.4, № 2

201. Bloor D. Wittgenstein: A Social Theory of Knowledge. New York, 1983.

202. Field H. Science without Numbers, Princeton: University Press, 1980.

203. Frassen V. Platonism's pyrrhic victory. — In: The logical enterprise. New Haven; London, 1975

204. Jaroschka M. Zur Frage der Erkenntnisfortschrittes in der mathematischen Wissenschaft // Probleme der Erkenntnisforschrittes in der Wissenschaften. Wien, 1977. S. 119-174.

205. Maddy P. Realism in Mathematics. Oxford: University Press, 1990.

206. Mehrtens H. Kuhn and Mathematics: A Discuss Paper on the «Historiography of Mathematics» // Historia Mathematica, 1976. V. 3, № 3, P. 297-320

207. Maddy P. Philosophy of Mathematics: Prospects for the 1990s 1/ Synthese 88.— 1991. —P. 155 — 164.

208. Moschovakis Y. Descriptive Set Theory. — Amsterdam: North Holland, 1980.—P. 605.

209. Pascal B. Oeuvres conplites. Paris, 1963.

210. Perko R., Shopf P. Bemerkungen zum Paradigmenbegriff in der Entwicklungsgeschifte der Mathematik // Probleme der Erkenntnisforschrittes in der Wissenschaften. Wien, 1977. S. 175-188.

211. Putnam H. Review of the Concept of a Person // Philosophical Papers. Mind, Language and reality. Cambridge: University Press, 1975. - Vol. 2. -P. 132-133.

212. Restivo S. P. Mathematics and the Sociology of Knowledge, P.127

213. Weinberg J. An Examination of Logical Positivism. L., 1936.

214. WilderR.L. Mathematics as a Cultural System. Oxford, 1981.